О предельных состояниях упруго подкрепленной пластины при продольно-поперечном изгибе

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

1 № 5
2008
539. 3
О ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИЯХ УПРУГО ПОДКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ ПРИ ПРОДОЛЬНО ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Д-р физ-мат. наук, проф. А.И. ШАШКИН канд. физ-мат. паук. доц. Н.В. МИНАЕВА
Найдена граница предельных состояний упруго подкрепленной пластины, находящейся под воздействием распределенных продольной и поперечной нагрузок.
Характеристики рассматриваемого объекта и внешних воздействий на него обозначим через X и /л, а характеристику, описывающую поведение объекта, обозначим через и.
В процессе эксплуатации характеристики объекта (и физические, и геометрические) изменяются, например, происходит процесс старения. Очевидно также, что для нормального функционирования рассматриваемого объекта зачастую необходимо, чтобы незначительные изменения его характеристик приводили к незначительным изменениям в поведении рассматриваемого объекта. Это означает, что непрерывность зависимости и от Х- необходимое условие нормальной работы изучаемого объекта.
Граница области непрерывности зависимости и (Х) и будет верхней границей эксплуатации объекта, т. е. верхней границей его предельных состояний. Верхней она будет потому, что причиной нарушения нормального функционирования объекта могут быть и другие явления, например разрушение.
Нарушение непрерывности зависимости характеристики, описывающей поведение объекта, от характеристики его свойств часто называют «катастрофой». В частности, если учитываемое изменение характеристики объекта происходит из-за его старения, то — «техногенной катастрофой». Следует отметить, что причиной нарушения нормального функционирования рассматриваемого объекта может быть, например, старение одного или нескольких его элементов.
Под требованием непрерывности и (К) при X = в дальнейшем будем понимать существование
окрестности у точки X = в которой и (К) однозначна и непрерывна.
Рассмотрим поведение упругой, шарнирно закрепленной по всем краям прямоугольной пластины. нагруженной поперечной нагрузкой интенсивности Р (х, у)9 а на краях при X = О и
X = а — продольными усилиями интенсивности /?2 • Пластина находится на упругой постели с коэффициентом жесткости Хл,
26 _Известия вузов. МАШИНОСТРОЕНИЕ___
№ 5 2008
Функция и (х, у), описывающая продольно-поперечный изгиб пластины, в рассматриваемой задаче по линейной теории является решением следующего уравнения [1]:
д2и
— + хи — О, дх
(1)
О и ^ С и О и ГЛГЛЛ/Ч
где V и = --т- + 1-г-у Н--т-- И — толщина пластины, и = и{)К2Х^у) — цилиндриче-
дх дх ду ду
ска я жесткость- ~ функция, описывающая изменение цилиндрической жесткости пла-
стины.
Граничные условия имеют вид
и (0,у) = и{а, у) = и (х90) — и (х, Ь) = 0
л2 о и _ д2и д2и
д2х л-0 Згу у=0 5
= 0
(2)

Пусть при = = Х20(л: 5>-у) задача (1),(2) допускает решение
и = Тогда состояние пластины, соответствующее этому решению, не будет предель-
ным, если решение задачи (1),(2) непрерывно зависит от Х2(х, у) ПРИ
(Х& gt-У)>- =^20 (Х& gt-У) —
Для проверки этой непрерывности, как следует из теоремы о неявных функциях [2], надо составить следующую задачу относительно вспомогательной функции ^у):
п0×2У (и0 + о + кр2 + = о, (3)
дх
щ (0, у) + С (0, у) = щ (а, у) + у) = щ (х, 0) + С О, 0) = м0 (х, Ъ) +х, Ъ) = 0

д2х

х=0
а2*


а2^

& gt-=0


(4)
у=Ь
Поскольку и = и0(х, у) является решением задачи (1),(2) при — А, 2 ~ то краевая задача относительно функции примет следующий вид:
дх
= о
у=Ь
а2с и ю
Э2х л-=0 п ^У
(5)
№ 5
2008
Итак, исследование непрерывности зависимости решения задачи (1),(2) от Х^, Х2 свелось к
нахождению условия, при котором задача (5),(6) имеет нетривиальное решение.
При равномерном по пластине изменении цилиндрической жесткости ее и коэффициента упругого основания Х{(х, у) = СОГ^ и Х2(х: >-у) = СОП^. Тогда Хи)(х, у) = СОШ1 и
Х20(х, у) = сот1.
Удовлетворяя граничным условиям (6), решение задачи (5),(6) ищем в виде
и.. птх. шу ц-asm-sin-
(7)
а Ь
В результате подстановки (7) в (5) получаем следующее условие нетривиальности решения задачи (5),(б):
А, А 0 0, ?1 ч ~
(8)
Х2(т4к4 + 2т2п2к2 + пА) — т2к2а +? = 0.
где а
hb2 712 Д
Р2^ =
я4 А
-Х1: к — -, а
Рис. 1
На рис. 1 приведены графики, соответствующие соотношению (8) при к — 2 и «1» — ОС = 1- «2" — а -2.
Уменьшению цилиндрической жесткости, т. е. старению, соответствуют графики этого рисунка при А, 20 & lt- 1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Вольмир A.C. Устойчивость упругих систем.- М.: Физматгиз, 1963.- 880 с.
Минаева Н. В. Адекватность математических моделей деформируемых тел. -М.: Научная книга, 2006. 235 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой