О представлении решения гармонического и бигармонического уравнений в алгебрах Клиффорда

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 548 ББК В161. 55
В.В. МОЧАЛОВ
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО И БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЙ В АЛГЕБРАХ КЛИФФОРДА
Ключевые слова: алгебры Клиффорда, оператор Лапласа, бигармоническое уравнение, регулярные клиффордовозначные функции.
Рассмотрены гармонические и бигармонические функции многих переменных. Получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений в алгебрах Клиффорда.
V. MOCHALOV THE PRESENTATION OF THE SOLUTIONS OF HARMONIC AND BEHARMONIC EQUATIONS IN THE CLIFFORD ALGEBRAS
Key words: Clifford algebras, Laplas operator, Beharmonic equations, Clifford value regular functions.
In the Cliffords algebra found solutions of the harmonic and beharmonic equathions throw regulare functions.
Пусть Rp, q — алгебра Клиффорда размерности m = 2n (n = p + q) с базисом ea = eh… eit, 1 & lt- i1 & lt- … & lt- ik & lt- n, где мультииндекс a = i1 … ik пробегает все подмножества в множестве {1, … n}, совокупность которых обозначим через Гп. Пусть Єф = e0 = 1, ei … en — канонический базис ei2… n = ex и произведение в Rp, q определяется соотношением
eiej + ejei 2^ijSi, где Si = e2 = 1, i = 1,…, p, Si = ei =-1, i = p +1,…, p + q.
Обозначим через f = У fa (x)ea, x = У xaea, fa (x): Q ^ R функцию со
аєГ" аєГ"
значением в алгебре Клиффорда, определённую в области QcRm, а через
1 d
D = - У ea------- дифференциальный оператор. Функция f є Fp (kq)(Q), если
2 n аєГn dxa
компоненты fa єС (k)(Q).
F. Brackx, R. Delanghe, F. Sommen [8] рассмотрели в алгебре Rp, q дифференциальные операторы
n д --- n д
D = ?Se d~, D =Уe ,
i=o dx i=o dxf
действующие на функцию f = У fa (x)ea, где fa (x) — действительнозначная
аєГ"
функция, x = (x0, xb…, xn). Произведение D. D = D. D = Дп+ь где Дп+1 — обозначает оператор Лапласа в Rn+1.
М. П. Бурлаков, В. В. Показеев, Л. Е. Фрейдензон [2, 3] рассмотрели в алгебре Rpq дифференциальные операторы
D = - У Saea —, D = - У ea~^,
2n a^ dxa 2& quot- ОЄП, дГа
действующие на функцию f = У fa (x)ea, где x = (x0, …, xm). Произведение
оєГ& quot-
этих операторов D. D не дает оператор Лапласа. В [3] показано, что в алгеб-
рах Клиффорда Rpq Ф R4n+2,0, индексы p и q которых удовлетворяют одному из условийp + q = 2k- p + q = 4k + 1, q — нечетно- p + q = 4k + 3, q — четно, оператор Лапласа можно представить в виде
Д = 2n+1 уР D, Р D = 2n+1 УР D. p D,
РеГ"_1 РеГ"_1
где pD = SpgpDep, РD = SpgpDep, ep е Rp, q, Г"_1 — объединение подмножеств в
множестве (1,…, n-1}.
С. П. Кузнецов, В. В. Мочалов [4, 5] показали, что в произвольной алгебре Клиффорда Rpq Ф R21 индексы i, j, k можно выбрать таким образом, что оператор Лапласа имеет представление
Д = 2n+2 X PD. PD = 2n+2 уРD. pD,
Pern^i РеГ1
где pD = SpepDep, РD = SpepDep, ep еRp, q+1, ГП^ _ объединение подмножеств в множестве (1, …, i-1, i+1, …, j-1, j+1, …, k-1, k+1, …, n, n+1}.
Ф. А. Богашов, А. Г. Угодчиков [1] в алгебре кватернионов исследовали действительные функции fx0, x1, x2, x12), u (x0, x1, x2, x12), которые являются, соответственно, решениями гармонического и бигармонического уравнений:
ДГ = 0, Д2и = 0,
52 s2 s2 s2 (1)
Д=----.
5×2 5×2 Cxf Sx122
Получены представления решений через регулярные функции, удовлетворяющие обобщенной системе уравнений Моисила-Теодореску.
В. В. Мочалов [6] в алгебре бикватернионов Hs для определенных в R8 действительных функцийfzo, Z1, Z2, Z12), u (zo, Z1, Z2, Z12), где Zk = xk + sy, s2 = 0, удовлетворяющих (1), получил представления решений через регулярные функции.
В работе В. В. Мочалова [7] в алгебре Клиффорда R30 получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений в R8 через
регулярные слева (справа) функции.
В настоящей статье в произвольной алгебре Клиффорда RpqФ R2,1 получены представления решений гармонического и бигармонического уравнений через регулярные слева (справа) функции.
1. Свойства коммутационных коэффициентов.
Пусть Rpq — произвольная алгебра Клиффорда. Коммутационные коэффициенты aap определяются из равенства: eaep = eapepea. Если ea и ep коммутируют, то aap = 1, если элементы ea, ep антикоммутируют, то aap = -1. В [2] доказано, что коммутационные коэффициенты обладают следующими свойствами:
aap аау aap Ду, p^y = (p У) ^(У p),
aap = (_1)l ^lp_anp,
где |а| обозначает длину элемента а.
Рассмотрим подалгебру A с Rp, q, канонический базис которой имеет вид e1, …, ei1, ei+1, …, en. Через Г П будем обозначать множество мультииндексов базиса этой подалгебры. Аналогичный смысл вкладывается в обозначение njk (из канонического базиса исключены элементы ei, e-, ek).
Справедливы следующие леммы [2, 5]: Лемма 1. Пусть аеГ", тогда [2]
n — n
El 2, если, а = 0 или, а = х, n — нечетно ааВ = ^
pein I 0, в остальныхслучаях
где х — индекс элемента ex = e1 … en.
Лемма 2. Пусть аеГ", тогда [5]
у =|2n, еслиа = 0,
pjf ^ a& lt-xp [0, в остальныхслучаях
В работе [3] доказано, что в алгебрах Клиффорда Rpq Ф R4n+2,0, индексы p и q которых удовлетворяют одному из условий p + q = 2k- p + q = 4k + 1, q — нечетно- p + q = 4k + 3, q — четно, оператор Лапласа можно представить в виде
Д = 2n+1 у p D. p D = 2n+1 у p D. p D, (2)
РеГп-1 реГ"_1
где pD = SpepDep, РD = SpepDep, ep e Rpq, Гп-1 — объединение подмножеств в
множестве {1, …, n-1}.
С. П. Кузнецов, В. В. Мочалов [4, 5] показали, что в произвольной алгебре Клиффорда Rpq Ф R21 индексы i, j, k можно выбрать таким образом, что оператор Лапласа имеет представление
Д = 2n+2 ypD. p D = 2n+2 yp D. pD, (3)
_ _ per, n?1 fe"?
где pD = SpepDep, D = SpepDep, ep e Rpq+1, Г? — объединение подмножеств в
множестве {1, …, i-1, i+1, …, j-1, j+1, …, k-1, k+1, …, n, n+1}, индексы i, j, k
выбираются так, чтобы e2 = -1, если v= ij, v= ik, v = jk. Соотношение (3)
справедливо при n = p + q & gt- 3, при n & lt- 3 считаем, что Гп+1 = {n + 1}, а оператор
Лапласа представляется в виде
Д = 2 n+1(D. D+n+1D. n+1 D) = 2 n+1 (D. D+n+1 D. n+1D),
где D = Sn+1en+1Den+1, D = ^n+1en+1 Dn+ben+1 e Rp, q+1.
Обозначим через f = Уfаeа, действительнозначную функцию со зна-
аеГи
чениями в алгебре Клиффорда, определенную в области QcRm. Функция f (w) e Fp, q (Q), если компоненты f,^ e C1 (Q).
Определение 1. Функция f (w) e Fp, q (Q) называется регулярной слева (справа) в области Q, если она удовлетворяет условиям
D.f = 0 (f D = 0). (4)
2. Алгебра R20. Сначала получим представление решений уравнений (1) в алгебре R20.
Алгебра R20 — это действительная ассоциативная некоммутативная алгебра размерности m = 4, порожденная векторами e1, e2. Базис алгебры образуют элементы {e0, e1, e2, e12}, где e0 — единица алгебры, e12 = e1e2, а элементы e1, e2, e12 обладают свойствами e2 = e| = e0, e^ = -e0, eftj + e^j = 0, i Ф j. Эти соотношения определяют операцию умножения в R20, которая записывается с помощью таблицы Кэли:
Є0 Є1 Є2 Є12
Є0 Є0 Є1 Є2 е12
Є1 Є1 Є0 Є12 Є2
Є2 Є2 -Є12 Є0 -Є1
Є12 Є12 -Є2 Є1 -Є0
(5)
В этой таблице приводятся результаты умножения символов, расположенных в первом столбце, на символы, расположенные в первой строке. Произвольный элемент алгебры можно представить в виде V = х0е0 + Хв + х2е2 + х12е12, сопряженный элемент V = х0е0 + Х1е1 + х2е2 — Х12е12. В алгебре В2,0 норма определяется равенством
||^|2 = 2(ж^А. 12 V) = 2(ж^+12ж12 V),
где
12? = 812в12?Єп = ХоЄо — Х1Є1 — Х2Є2 + Хі2Є12 ,
12? = 812 Є12 ^Є12 = Хо Єо — Х1Є1 — Х2Є2 — Х12 Є12.
Обозначим через /(м) = М?)е0 +/1(м)е1 + /2(?)е2 + /12(м~)е12 действительнозначную функцию со значениями в алгебре В2,0, определенную в области О с В4,
а через Б =11 е0 --- + е1 --- + е2 --- + е12 — | - дифференциальный оператор.
4 ^ -Х0 -х1 -х2 -х12)
С помощью (5) получим представление оператора Лапласа в алгебре В2,0 А = 8(Б. Б+12Б. 12 Б) = 8(ББ +12Б. 12 Б),
(6)
где 12 Б = 812Є12 БЄ12, 12Б =812 Є12 Бе^.
Рассмотрим функцию /(?) є ^2,0(О), О є В4, регулярную слева. Равенство (4) равносильно системе уравнений
-/& gt- + -/1 + -/2 -/12 = 0 -Х0 -Х1 -Х2 -Х12
-/0 ! -/1 ! -/2 -/12 = & gt-
-Х1 -Х0 -Х12 -Х2
-/0 -/1 + -/2 +/ = 0
-Х2 -Х12 -Х0 -Х1
-/0 -/1_+/ ±/12 = 0
(7)
Х12 -Х2__-Х1 -Х0
Условие регулярности справа / .Б = 0 равносильно системе уравнений
-/& gt- +/+/-/ = 0
-Х0 -Х1 -Х2 -Х12
/±-И- /2. + -/12 = 0
-Х1 -Х0 -Х12 -Х2
/+_-+І/і --1і = 0
-Х2 -Х12 -Х0 -Х1
-У 0 — + / + -/ц = 0
-Х12 -Х2 -Х1 -Х0
Пусть и = и (х0, х1, х2, х12) — действительная функция, удовлетворяющая гармоническому уравнению Аи = 0.
Теорема 1. Действительная функция и = и (х0, х1, х2, х12), удовлетворяющая гармоническому уравнению, может быть представлена в виде
и = ф+12 Ф = Ф+12 ф, (9)
где Ф (?) = /0(?)е0 + /1(м)е1 + /2(?)е2 + /12(?)е12 является либо регулярной слева, либо регулярной справа функцией:
ф (?) = /о (?)е0 + /1(?)е1 + /2(?)е2 — /12 (?)е12,
12 ф (?) = 812е12фМе12 = /0 (?)є" - /1 (?)е1 — /2 (?)Є2 + /12 (?& gt-12,
12 ф (?) = 812е12 ф (?)е12 = /о (?)є" - /1 (?)е1 — /2(?)е2 — /п^)^.
Доказательство. Согласно (6) уравнение Лапласа запишем в следующем виде:
Аи = 8(Б .Б. и+12Б. 12 Би) = 8(ББ и+12Б. 12 Би). (10)
Обозначим Б. и = / Учитывая действительность функции и, имеем
Б.и = /, 12Б. и=12/, 12Би=12/
Равенство (10) можно записать в виде
Б ./ + 812е12Б. /е12 = 0, У .Б + 812е12/. Бе12 = 0.
Таким образом, функция Б. и = / либо регулярна слева, либо регулярна
справа. Складывая равенства Б. и = / и 12 Б и=12/ или равенства Б .и = /,
12 Б. и=12/, получим
2 ^=/+12 /=/+12 /.
2 -Х0
Проинтегрировав эти равенства по х0, мы найдем представление решения гармонического уравнения _ _
и = 2| /& lt-Ях 0 + 2112 / йх0 = 2| / йх0 + 2112 /оХ0.
Обозначим 2 | /dx0 = Ф (и), получаем (9).
Пусть теперь и (х0, х1, х2, х12) — действительная функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению А2и = 0. Найдем представление решения бигармонического уравнения через регулярные слева (справа) функции.
Теорема 2. Действительная функция и (х0, х1, х2, х12), удовлетворяющая бигармоническому уравнению, представима в виде
и = - ([ ??йх0 +|12 ?12 ?йх0)+ 2(|ф^х0 +|12 Фdx0),
2… 10 + '-
и = 2 ((^^^х" +|12 ?12 ?йх0)+2(|фаХ0 +|12 фаХ0),
где Ф (?), ?(м) — регулярные слева функции- или в виде
и = -2 ([ ~??дх0 +112 ?12 ?йх0)+ 2([фсХ0 +112 Фdx0),
(11)
1 ??
где Ф (?), ?(м) — регулярные справа функции.
и = 2 (??дх0 +112 ?12 ?дх0)+ 2(ф^х0 +112 Фdx0),
Доказательство. Обозначим Аи = V, тогда Ау = 0. Из теоремы 1 следует, что действительная функция удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа
Ап = 2(? +12 ?), (13)
где ?(я) регулярная слева (или регулярная справа) функция. Решение уравнения (13) представимо в виде п = п1 + п2, где п1 — решение однородного уравнения Лапласа, а п2 — частное решение неоднородного уравнения. Из теоремы 1 следует, что п1 = 2(|ФйХ0 +| 12ФйХ0), где Ф — регулярная слева (или
регулярная справа) функция.
Чтобы найти частное решение уравнения (13), запишем его в виде
8(В.В. п2 +12 В. 12 В. п2)= 2(?+12?). (14)
Обозначим В. и2=р. Учитывая действительность функции п2, имеем В. п2 = р, 12 В. и2 = р, 12 В. п2 =12р. Перепишем равенство (14) в виде
8(В. р + 812 в12 В. Ре12)= 2(^ + 12^). (15)
С помощью равенств (7) можно показать, что р = - ?я, где? — регулярная слева функция, является частным решением (15). Таким образом, В. п2 = -(?я), 12 В. п2 = -^(1212?). Складывая эти равенства, получаем
1
-- = -(?я+12я12?). Проинтегрировав это равенство по х0, находим частное
дх0 2
решение (14):
п2 = 2 ([ ?^йх0 +112 w12Fdx0).
Таким образом имеем представление (11).
Равенство (13) представимо в виде_ _
8(р.В +812Є12 рВв12)= 2(?+12?). (16)
С помощью равенств (8) можно показать, что р = - я?, где? — регулярная справа функция, является частным решением (16). Отсюда следует представление (12).
3. Алгебра Клиффорда Яр, ч Ф Я21.
Произвольный элемент алгебры записывается в виде я = Ухава, сопряжен-
аєГ"
элемент и = Ухаеа = Уха8аеа, где 8а = в.
аеГи аеГи
В алгебре ЯРА норма определяется равенством ||и||2 = 2п У ха. В [5] дока-
аєГ"
і|2
зывается, что норма представима в виде ||я|| = 4 У8увуяяву = 4 У1я1 я, где
у^гП'-+1 уєгпі
1 я = 8у ву яву, 1 я = 8у ву Яву.
Обозначим через /(я) = У /ава — действительнозначную функцию со
аєГ"
значением в алгебре Клиффорда Яр, ф определенную в области О є Ят, а через 77 1 ^ д
В =- у ва-- дифференциальный оператор. В [5] доказано, что в произ-
2″ аєГ" Ха
вольной алгебре Клиффорда, отличной от Л21, оператор Лапласа можно представить в виде
д = 2П+2 = 2"+2 рВ, (17)
_ _ тєгїі уєг?і
где рВ =8рЄрВЄр, Р В =8рЄр Вер.
Пусть и = и (х0, х1, …, хх) — действительная функция, удовлетворяющая гармоническому уравнению Ди = 0.
Теорема 3. Действительная функция и = и (х0, х1, …, хх), удовлетворяющая гармоническому уравнению, может быть представлена в виде
и = 48рерФер, (18)
РєГ"
где Ф (ж) = X /а (Ч)еа является либо регулярной слева, либо регулярной
аєГ"
справа функцией.
Доказательство. Согласно (17) уравнение Лапласа запишем в следующем виде:
Ди = 2"+2 ХрВрВ. и = 2"+2 Хр В Ви = 0. (19)
УєГ1 уеГ"
Обозначим В. и = / Учитывая действительность функции и, имеем Б. и = /, рВ. и = /, рВ. и = /. Равенство (19) можно записать в виде
Ди = 2"+2 Хр/. рВ = 2"+2 ХрВр/ =
У^ГЙ! _ уеГ" _
= 2"+2 ^8ре^./. Вер = 2"+2 ^8рЄрВ. /ер = 0.
УЄГ1 уеГ"
Таким образом, функция В. и = / либо регулярна слева, либо регулярна справа.
1 Зи
Складывая равенства В. и = / рВ. и =р/, реГ^, получим--------------= Хр/.
4 Зх0 ре8Г"1
Проинтегрировав это равенство по х0, мы найдем представление решения гармонического уравнения и = 4 X |рМх0 = 4 X 8рер ([/ёх0)ер.
реГ1 ре-«
Пусть теперь и = и (х0, х1, …, хх) — действительная функция, удовлетворяющая бигармоническому уравнению Д2и = 0. Найдем представление решения бигармонического уравнения через регулярные слева (справа) функции.
Теорема 4. Действительная функция и = и (х0, х1, …, хх), удовлетворяющая бигармоническому уравнению, представима в виде
и =^Г1~1 X 8рер ([?яйх0)ер + 4 X 8рер ([Фdxo)ер, (20)
2 реГ|-+1 реГП+1
где Ф (я), F (w) — регулярные слева функции, или в виде
и = Т"2 X 8рер (wFdxo)ер + 4 X 8рер (Фdxo)ер, (21)
2 реГП+1 реГП+1
где Ф (я), F (w) — регулярные справа функции.
Доказательство. Обозначим Ди = V, тогда Ду = 0. Из теоремы 3 следует, что действительная функция и удовлетворяет неоднородному уравнению Лапласа
Ди = 4 X 8рер ([/±х0)ер, (22)
реГП+1
где /М) — регулярная слева (или справа) функция. Решение уравнения (22) представимо в виде и = и1 + и2, и1 — решение однородного уравнения Лапласа, а и2 — частное решение неоднородного уравнения. Из теоремы 3 следует, что
и = 4 X 8рер ([ Фdxo) ер,
реГП+1
где Ф — регулярная слева (или регулярная справа) функция.
Чтобы найти частное решение уравнения (22), запишем его в виде 2п+2 X рВрВ. и = 2п+2 XРDрВ. и = 4 X 8рер ([Фdxo)ер = 4 X8рeрFeр, (23)
УеГП+1 у.е.ГП+1 реГП+1 реГП+1
где F = |Фdx0. Обозначим В. и2 = р. Учитывая действительность функции и2, имеем р В. и2 = рр. Перепишем равенство (21) в виде
2п+2 XРD. Рр = 2п+2 XРРрВ = 4 XРF. (24)
УеГП+1 у.е.ГП+1 рєГП+1
Покажем, что р=FW, где F — регулярная слева функция, является частным решением (24). Имеем F (м) = X/аеа, М = Xхрёр = Xхр8рер,
аеГп реГп реГп
В 1 V З
В =- X еу-------.
2п уЄг» Зху
Условие регулярности слева В ^ = 0 равносильно равенству
2^X1/ еу еа= 0 (25)
? уе8Гп аеГп и& amp-у
Так как F. w = X X/ахр8реаер = 0, то согласно (25) имеем цепочку равенств:
аеГп реГп
В ^ = 27 X X X еу-Т 8реу еаер = - X XX еу
Зх
8рер +
и V У
2п ує8Гп аеГп реГп Зху 2п ує8Гп аєГп рєГ,
+ -1 X X X /аЗі8реуеаер = 2- X X X/а^р8реуеаер =
2 у.е.8Гп аеГп реГп Зху 2 ує8Гп аєГп рєГп
X X /а8 у.е.уеаеу = ~~ X X /аааХ8 у.е.уеа = ~~ X /аеа X ааХ.
2 уєГп аєГп 2 уєГп аєГп 2 аєГп уєГп
Из леммы 1 следует, что В. FW = /0е0, если п — четно, В. їїм = /0е0 + /хех, если п — нечетно. Таким образом, В. и2 = 2FW, рВ. и2 =8рeрFWeр, р є Г^.
Складывая эти равенства, получаем--------------2 = -- X8рeрҐмер. Проинтегриро-
4 Зх0 2"+2 рєГ"+1
вав эти равенства по х0, находим частное решение уравнения (22)
U2 = ^ Z SPep (fFwdx0)еР•
2 P^i
Таким образом имеем представление (20). Воспользуемся равенством (23)
2"+2 ZPDPD u = ZsPepFgp, (26)
рег'-" pergi
Можно показать, что функция p = wF, где F — регулярная справа функция, является частным решением (26). Отсюда следует представление (21).
Замечание 1. Если за основу взять представление оператора Лапласа (2), то решение гармонического уравнения Au = 0 представимо в виде
и = 2 Zsp^ep,
РеГ"-1
где Ф^) является регулярной слева, либо регулярной справа функцией. Решение бигармонического уравнения A2u = 0 представимо в виде
и = т1т Z spep (Fwdxo)p + 2 Z spep (Фdxo),
2n 1 per"_i per"_i
где Ф (w), F (w) — регулярные слева функции, или в виде
и = -2- Z spep (f (Fdxo)p + 2 Z spep (fФdxo),
2″ 2 pd^ per"_i
где Ф (w), F (w) — регулярные справа функции.
Литература
1. Богашев Ф. А., Угодчиков А. Г. Пространственные комплексные потенциалы в бигармо-нической задаче // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Все-союз. межвуз. сб. Горький: Горьк. ун-т, 1992. Вып. 50. С. 3−16.
2. Бурлаков М. П., Показеев В. В., Фрейдензон Л. Е. Клиффордов анализ. Ч. 1. Алгебры Киф-форда. Грозный: Изд-во Чечено-Ингуш. ун-та, 1988. С. 22. Деп. в ВИНИТИ 11. 03. 1988 г. № 1959.
3. Бурлаков М. П., Показеев В. В., Фрейдензон Л. Е. Клиффордов анализ. Ч. 2. Интегральные представления функций со значениями в алгебре Клиффорда. Грозный: Изд-во Чечено-Ингуш. ун-та, 1988. С. 51. Деп. в ВИНИТИ 11. 03. 1988 г. № 1960.
4. Кузнецов С. П., Мочалов В. В. Автоморфизмы алгебры Клиффорда и сильно регулярные функции // Известия вузов. Математика. 1992. № 10. С. 83−86.
5. Кузнецов С. П., Мочалов В. В. Представление оператора Лапласа и сильно регулярные функции в алгебрах Клиффорда // Актуальные задачи математики и механики: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1995. С. 56−70.
6. Мочалов В. В. О представлении решения гармонического и бигармонического уравнения в алгебре бикватернионов // Известия НАНИ ЧР. 1999. № 4. С. 5−10.
7. Мочалов В. В. О представлении решения гармонического и бигармонического уравнения в алгебре Паули // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 24−29.
8. Brackx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford analysis // Research Notes in Mathematics. 1982. № 76. 307 p.
МОЧАЛОВ ВЛАДИМИР ВИКТОРОВИЧ — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дискретной математики и информатики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (m622573@gmail. com).
MOCHALOV VLADIMIR — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of Chair of the Discrete Mathematics and Computer Science, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой