Экспоненциальная устойчивость линейных систем с распределенными параметрами

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Владимир Иванович Бойков
Сергей Владимирович Быстров —
Александр Игоревич Рябов
Ольга Карибековна Мансурова
канд. техн. наук, доцент- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: viboikov@mail. ru
канд. техн. наук- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: sbystrov@mail. ru
аспирант- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: ryabov. alex. ig@gmail. com
канд. техн. наук- Национальный минерально-сырьевой университет «Горный& quot-, Санкт-Петербург- доцент- E-mail: erke7@mail. ru
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики
Поступила в редакцию 13. 12. 12 г.
УДК 62−51
В. В. Григорьев, С. В. Быстров, И. М. Першин, А. К. Наумова, А. Н. Гурьянова
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ*
На основе частотных методов исследования систем с распределенными параметрами сформулирован модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости линейных систем.
Ключевые слова: экспоненциальная устойчивость, распределенные параметры, частотные методы.
Введение. Критерий устойчивости Найквиста [1, 2] относится к частотным критериям устойчивости линейных непрерывных систем с постоянными параметрами, он позволяет для систем с одним входом и выходом и единичной обратной связью по амплитудно-фазочастотным характеристикам (АФЧХ) разомкнутого контура устанавливать свойство асимптотической устойчивости замкнутой системы. Однако свойство асимптотической устойчивости не позволяет судить о скорости сходимости процессов системы к положению равновесия. Экспоненциальная устойчивость позволяет оценивать быстродействие системы по степени сходимости процессов к положению равновесия. Модификация критерия Найквиста дает возможность установить свойство экспоненциальной устойчивости для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами и тем самым оценить их быстродействие. Модифицированный критерий Найквиста экспоненциальной устойчивости распространяется на линейные системы с распределенными параметрами.
Модификация критерия Найквиста для линейных непрерывных систем с постоянными параметрами. Рассмотрим линейную непрерывную систему, передаточная функция разомкнутого контура которой Ж (я) представляет отношение двух полиномов
ад
W (s) =
A (s)
Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России& quot- на 2009−2013 гг. (государственный контракт № 14. 740. 11. 1080).
причем степень полинома Л (5) равна п, а В (5) — т (т & lt- п). При этом передаточная функция замкнутой системы имеет вид
Ф (=-^-,
Л (э) + В (5)
где Л (5)+В (5) — характеристический полином замкнутой системы. Введем вспомогательную передаточную функцию
Л (э) + В (5) = ?(5)
Ж,(5) = 1 + Ж (5) =
Л (5) Д (*)'-
где 0(5) = Л (э) + В (э) — характеристический полином замкнутой системы, = Л (э) — характеристический полином разомкнутого контура. Замкнутая система экспоненциально устойчива, если все корни ее характеристического полинома лежат левее прямой, параллельной мнимой оси, сдвинутой на значение, а (а — параметр экспоненциальной устойчивости, определяющий степень сходимости процессов к положению равновесия). Сведем задачу установления факта экспоненциальной устойчивости к классической задаче определения устойчивости, для чего введем конформное отображение вида
51 = 5 -а,
при этом характеристический полином замкнутой системы -0(5,) = Л (5,) — В (5,) должен иметь все корни характеристического полинома относительно переменной 5, в левой полуплоскости комплексной плоскости корней, и все корни должны иметь отрицательные вещественные части. Вспомогательная передаточная функция с учетом конформного отображения примет вид
ж,(5,) =
Перейдем к частотным передаточным функциям:
5, =. ш-а = ушь
при этом
дм)
Согласно принципу приращения аргумента, если разомкнутый контур имеет I корней, вещественная часть которых больше значения -а, а остальные п -1 корней имеют вещественные части, меньшие -а, то приращение аргумента / вспомогательной частотной передаточной функции должно быть равно
пп (п — 1) п I п
/ =----- + - = 1п.
2 2 2
Перейдя к АФЧХ разомкнутого контура, получим, что приращение аргумента /2 частотной передаточной функции разомкнутого контура
Ж (. ш,) =
Л (М)
относительно точки комплексной плоскости (-1,. =0) должно быть равно /2 = 1п.
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром а, то I = 0 и /2 = 0, т. е. АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура
Ж (/Ю1) не должна охватывать точку (-1,7=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости а.
Применение частотных методов к системам с распределенными параметрами. Для
пространствено-инвариантных распределенных систем [1−5] передаточная функция по каждой пространственной моде может быть представлена в виде:
W^s) = В^ф/А^), n, Y=1, 2,. ?=1, 2, …, 4,
(1)
причем степень полиномов An, y^(s) и Bn, y^(s) равна бесконечности. Пространственно-инвариантную систему структурно можно представить в виде бесконечной совокупности условно сосредоточенных систем (по каждой пространственной моде), при этом доказано [1], что если каждый контур устойчив, то устойчива и вся система.
Согласно работе [2], передаточная функция разомкнутой системы должна удовлетворять условиям, представленным в виде отношения аналитически целых функций:
1) lim
S-^ Wn
2) внутри контура интегрирования передаточная функция должна быть мероморфной.
Для определения возможности применения критерия Найквиста к каждому контуру системы управления необходимо провести анализ передаточной функции каждого из контуров.
Пример 1. Исследуем передаточную функцию процесса распространения тепла в цилиндрическом стержне.
Рассмотрим особенности применения частотного критерия Найквиста при анализе устойчивости в каждом контуре системы управления процессом распространения тепла в цилиндре конечных размеров, управляющее воздействие на который распределено по границе.
Согласно работам [1, 3], передаточная функция объекта по n-й моде входного воздействия может быть представлена в виде отношения функций Бесселя:
(R, s)
Wo, n (s) =
J
0, n
Jo (R s)
n=1,2, … ,
где Я, Я — заданные числа, — функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Представляя функцию в виде /од^), п=1, 2, …, рассмотрим поведение функции
на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса. Функция J0n](jz) при бесконечно больших значениях аргумента 2, согласно [4, 5], может быть представлена в виде следующего соотношения:
Jo, n (jz) =
1
(
(2nz)
½
exp (z)
1 + -
1
1−32
1! 8 z
2!(8 z)
Л
— +…
|argz| & lt--2, П = 1,®.
Найдем предел
lim W0 n (s) = lim
s^-x
s^x
i V2
, * V/2 eXPK)
1 1−32
1±+ -
1!8 z
f * Y
— +…
n 2!
8 z n
V J
2n z n
V J
1 1−32
1 ±+ -
1!8 zn
2! K)
¦ + …
, П = 1, ®,
(2)
значения аргументов функции могут быть найдены из следующих соотношений:
* I s V/2 *
s2 — + у2
Zn =
V a
n
R, Zn =

s 2 —
V ai J
n
V/2
R, Az
f * Л R- R
V J
s 2 -+
V ai
12
Vn =n-, n= 1,
xL
x L — заданное число. Преобразовав (2), получим
lim Wo, n (5) =

= lim
'- i i • 32
i ±+ ¦
I V/2 I
R
— • exp
V R J
I VV2 / '-s 2 '-
-+Vn V ai J
((- r)
i!8 z
n 2
!(8 Z n)
¦ +…
i i • 32
i ±+ ¦
i!8 Zn 2!(8zn)
¦ + …
n = i, (3)
Так как условия физической реализуемости предполагают R & lt- R, то
lim Won (s) = 0, п = 1,•
S^& lt-X>-
Предположим, что передаточная функция регулятора по п-й моде входного воздействия равна Kn (Kn — заданные числа- п=1, 2, …).
В этом случае характеристический полином разомкнутой системы п-го контура имеет
вид:
J0, п (Jzn) = 0, П =1, • Рассмотрим отображение правой полуплоскости S на плоскость r=jzn. Положим
s = Mi (cos Ф1 + j sin ф1), (4)
где М1 — модуль комплексного числа s- ф1 — фаза комплексного числа s. Подставив (4) в (3), получим
Г / 2 & quot-|½ —
jzn = j [М2 (C0S Ф1 + j sin Ф))nj R, П = 1, Ю, (5)
где M2=M1/a1, a1 — заданное число. Преобразовав (5), придем к следующему результату:
JZn =
, ч 2 W2 —
М2 (cos ф1 + j sin ф1) + уп R, п = 1,•
Для удобства рассмотрения комплексных чисел jZn (п = 1,) на комплексной плоскости Г (рис. 1) представим комплексное число jZn в наглядной форме
jzп = A exp (j^), п = h,
где
Ф2, п = Фз, п/2-
-М2 sin Ф1
Фз n = arctg
An= R
-M2 cos Ф! — уП ((2 sin Фl)2 + ((cos Фl — ^)
(6) (7)
i/4
— n = i,•
(8)
При фl = п/ 2 значение Ф2 n, согласно (6), (7), определяется из следующего соотношения:
Найдем предел
1
Ф2, л = Т агс*§
1
(Х4 Л
-М2 (
, П = 1, ю •
Нш Ф2п = Иш — агС?
М1ю М1ю 2


п 1- = --, П = 1, ю •
Аналогично можно показать, что при ф1=-п/2 и М1 ^ ю значение ф2, п стремится к п/4.
1ш (?)? '-ф1 ^ Яе (^)
/ ^
X
Рис. 1
На рис. 1 показано отображение правой полуплоскости? на плоскость Г. Получаемое отображение представлено в виде секторов Л1 и Л2- М^ =К
Исследования, проведенные в работе [5], показывают, что функции (п), П = 1, ю,
в секторах Л1 и Л2 не имеют нулей, следовательно, функция Jo ^ (К, в) не имеет нулей, лежащих в правой полуплоскости Это отражает известное свойство устойчивости тепловых
* _
процессов. Исследуя функцию Jor[ (К, в), п = 1, ю, можно показать, что она также не имеет
нулей, лежащих в правой полуплоскости Представленная методика позволяет судить о нулях и полюсах передаточной функции по каждому контуру управления одномерным температурным полем.
Рассмотрим отображение области [О, в} в область [О,(О)}. Для этого представим выражение (6) с использованием обобщенной координаты О [1, 3]:
& gt-(О) = Л (^)ехр (7Ф2 (О)), О = Он
, ю.
где
Фз = агС?
Ф2 = Фз/2- -М 2 эт ф1
-М2 соз ф1 — О
Л (О) = К
2 2 ((2 эт ф1) + ((2 соэ ф1 — О)
14
О = Он, ю.
(9) (10)
(11)
При ф1=п/2 значение ф2, согласно (9), (10), определяется из следующего соотношения:
1. (-М2Л
Ф2 = 2агс1§

о = он, ю.
Найдем предел
1 f-M1 ^ п ^ --
lim ф2 = lim -arctg -- I =--, G = GH, да.
2 y-aG) 4
Аналогично можно показать, что при ф1= -п/2 и М^да значение ф2 стремится к п/4. На рис. 2 представлено отображение области {G, s} в область {G, jz (G)}. Это отображение
Исследования, проведенные в работах [1, 3], показывают, что рассматриваемая функция в областях Л1 и Л2 не имеет нулей, следовательно, функция п (72п), П = 1, записанная с использованием обобщенной координаты в виде Jo (О, Я, 5), не имеет нулей, лежащих в области [О, 5). Это отражает известное свойство устойчивости тепловых процессов. Аналогич-
*
но можно показать, что функция Jo (О, Я, 5), О = Он, да, также не имеет нулей, лежащих в
правой полуплоскости
Полученные результаты для передаточной функции, записанной с использованием обобщенной координаты, показывают, что передаточная функция не имеет нулей и полюсов, лежащих в правой полуплоскости 5, является мероморфной и на контуре интегрирования бесконечно большого радиуса не имеет особенностей. Следовательно, критерий Найквиста применим к оценке устойчивости рассматриваемых систем управления. Введя конформное отображение вида
51 = 5 -а,
проведем аналогичную процедуру с передаточной функцией вида
^?(51) = Д^О/А^Ы- п, У = 1, 2, …-? = 1, 2, …, 4.
Если разомкнутый контур экспоненциально устойчив с параметром а, то АФЧХ модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого контура W1]Y^(51) не должна охватывать точку (-1,7=0) комплексной плоскости, при этом линейная система будет экспоненциально устойчивой со степенью сходимости а.
Разомкнутый контур будет экспоненциально устойчив с параметром а, если пространственный годограф модифицированной частотной передаточной функции разомкнутого кон-
тура W (G, si) не будет охватывать линию (-1, j=0,G). При этом на системы с распределенными параметрами можно распространить оценки качества процессов [6].
список литературы
1. Григорьев В. В., Быстров С. В., Першин И. М. Синтез распределенных регуляторов: Учеб. пособие. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2011. 200 с.
2. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы. М.: Энергия, 1981. 303 с.
3. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. Пятигорск: Изд-во «РИО КМВ& quot-, 2007. 243 с.
4. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967. 599 с.
5. Янке П., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.
6. Быстров С. В., Григорьв В. В., Рабыш Е. Ю., Мансурова О. К. Анализ качества переходных процессов в непрерывных и дискретных системах на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2012. № 9. С. 32−36.
Сведения об авторах
Валерий Владимирович Григорьев — д-р техн. наук, профессор- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: grigvv@yandex. ru
Сергей Владимирович Быстров — канд. техн. наук, доцент- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: sbystrov@mail. ru
Иван Митрофанович Першин — д-р техн. наук, профессор- Пятигорский институт Северо-Кавказ-
ского федерального университета, кафедра управления в технических и биомедицинских системах- заведующий кафедрой- E-mail: ivmp@yandex. ru
Алла Константиновна Наумова — Санкт-Петербургский государственный политехнический университет- заведующая сектором учебного отдела департамента образовательной деятельности- E-mail: alya_naumova@mail. ru Алёна Николаевна Гурьянова — магистрант- Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: lilyliya@mail. ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 13. 12. 12 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой