О продолжаемости решении функционально-дифференциальных включений с многозначными импульсными воздействиями

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Медицина


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Корняк Владимир Васильевич д. ф. -м. и., профессор Объединенный институт ядерных исследований Россия, Дубна e-mail: kornyak@jinr. ru
Vladimir Kornyak
doctor of phys. -math. sciences, professor Joint Institute for Nuclear Research Russia, Dubna e-mail: kornyak@jinr. ru
УДК 517. 911, 517. 968
О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1
© Е. В. Корчагина
Ключевые слова: функционально-диффенциальное включение- многозначные импульсные воздействия- продолжаемое решение.
Аннотация: Рассмотрен вопрос о продолжаемости решений функционально-дифференциального включения с полунепрерывным снизу вольтерровым по А. Н. Тихонову оператором.
Пусть и € [а, Ь] - измеримое по Лебегу множество. Обозначим Ь"(и) пространство суммируемых по Лебегу функций х: и ^ М" с норм о й ||х||?п (и) = / |ж («)|^», сот р [М"]- множество
и
непустых компактов пространства М" — 5(Ь"[а, Ь]) — множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) [1] подмножеств пространства Ь" [а, Ь].
Пусть ^ € [а, Ь] (а & lt- ?1 & lt- … & lt-1т & lt- Ь) — конечный набор точек. Обозначим через С [а, Ь] множество всех непрерывных на каждом из интервалов [а, ?1], (?12], ¦ ¦ ¦, (Ът, Ь] ограниченных функций х: [а, Ь] ^ М", имеющих пределы справа в точках, к = 1, 2, т, с нормой ||х||ёп[а6] =
= 8ир{|х (?)|:? € [а, Ь]}. Если т € (а, Ь], то С" [а, т] - это пространство функций х: [а, т] ^ М", являющихся сужениями на отрезок [а, т] элементов из С"[а, Ь] с нормой||х||^"^ т] = 8ир{|х (?)|:? € € [а, т]}.
Рассмотрим задачу
х € Ф (х), (1)
А (х (гк)) € 1и (х (ги)), к = 1,…, т, (2)
х (а) = х0, (3)
где отображение Ф: С [а, Ь] ^ 5(Ь"[а, Ь]) полунепрерывно снизу и удовлетворяет условию: для каждого ограниченного множества и С С [а, Ь] образ Ф (и) ограничен суммируемой функцией.
1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07−01−305, 09−01−97 503), научной программой & quot-Развитие научного потенциала высшей школы& quot-(РНП № 2.1. 1/1131) и включена в Темплан № 1.6. 07.
Отображения 1к: Мп ^ сотр [Мп], к = 1, 2, …т непрерывны по Хаусдорфу, А (х (Ьк)) = х (Ьк + + 0) — х (Ьк), к = 1, 2, …т.
Определение 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию х € С [а, Ь], для которой существует такое q € Ф (х), что при всех Ь € [а, Ь] имеет место представление
?
Р т
х (Ь) = хо + q (s)ds + (?к, Ь](Ь)А (х (Ьк)), (4)
а к=1
ГД6 А (х (гк)) € 1к (х (гк)), к = 1,…, т.
Предположим, что оператор Ф: С [а, Ь] ^ ?(1п[а, Ь]) вольтерров по А. Н. Тихонову [2].
Пусть т € (а, Ь]. Определим непрерывное отображение Ут: Сп[а, т] ^ Сп[а, Ь] равенством
(К (х))(0 = (х'-() — если Ь€ 1а'-т} (5)
^ ^ [ х (т), если Ь € (т, Ь].
Определение 2. Будем говорить, что функция х € Сп [а, т] является решением задачи (1) —
(3) на, отрезке [а, т], т € (а, Ь], если существует такое q € (Ф (У-(х)))|т, что функция х: [а, т] ^ Мп
ПрвДСТ^ВИМЭ. в виде
?
х (Ь) = хо + ^ q (s)ds + ^ Х (1-, к, ъ](?)А (х (гк)), (6)
а к: Ьк €[а, т]
где отображение Ут: Сп[а, т] ^ Сп[а, Ь] определено равенством (5), (Ф (У-(х)))|т — множество сужений функций из множества Ф (Ут (х)) на отрезок [а, т] и А (х (Ьк)) € 1к (х (Ьк)), к = 1,…, т.
Определение 3. Решение х: [а, с) ^ Мп задачи (1)-(3) называется непродолжаемым,
если не существует такого решения у задачи (1)-(3) на [а, т], (т € (с, Ь], если с & lt- Ь и т = Ь, если
с = Ь), что для любого Ь € [а, с) выполнено равенство х (Ь) = у (Ь).
Решение задачи (1)-(3) считается непродолжаемым.
Теорема!.. Найдется такое т € (а, Ь], что решение задачи (1)-(3) существует на отрезке [а, т].
Пусть т € (а, Ь]. Обозначим через Н (хо, т) множество решений задачи (1)-(3) на отрезке [а, т]. Определим оператор Л: Ьп[а, Ь] ^ Сп[а, Ь], который имеет вид
?
(Лг)(Ь) = х0 + У г (, в)(1,в, Ь € [а, Ь]. (7)
а
Рассмотрим оператор А: Сп[а, Ь] ^ 2е а& gt-ь определенный равенством
т
(Ах)(Ь) = Лф (х) + ^ Х (ьк M (t)Ax (tk), (8)
к=1
где 2е& quot-][а'Ъ] - множество непустых ограниченных подмножеств Сп[а, Ь], А (х (Ьк)) € 1к (х (Ьк)), к = 1,…, т.
Теорема 2. Если множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничено, то существует такой выпуклый компакт К С Сп[а, Ь], что Н (х0,Ь) С К, для любого т € (а, Ь) выполняется равенство Н (х0,т) = Н (х0,Ь)1т, и А (К) С К, где отображение
А: Сп[а, Ь] ^ 2еп][а'ЬЪ] определено равенством (8), Н (х0,Ь)1т — множество сужений функций из
множества Н (х0, Ь) на отрезок [а, т].
Теорема 3. Для того, чтобы решение х: [а, с) ^ М™ задач и (1) — (3) было продолжаемым на [а, т], (т Є [с, Ь]), необходимо и достаточно, чтобы ііш |х (і)| & lt- ж.
Ь^с-0
Теорема 4. Если у — решение задачи (1) — (3) на, [а, т], т Є (а, Ь], то существует непродолжаемое решение х задач и (1) — (3), определенное либо на [а, с) (с Є (т, Ь]), либо на [а, Ь] такое, что при всех і Є [а, т] выполнено ра венет во х (і) = у (і).
ЛИТЕРАТУРА
1. Булгаков А. И., Ткач Л. И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. № 3. С. 3−16.
2. Тихонов А. Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А, 1938. Т. 68. № 4. С. 1−25.
Abstract: The problem of extendability of solutions for a functional-differential inclusion with lower semi-continuous Volterra operator (in the sense of Tikhonov) is considered.
Keywords: functional-differential inclusion- multivalued impulses, extendable solution.
Корчагина Елена Валерьевна аспирант
Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: aib@tsu. tmb. ru
Elena Korchagina
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: aib@tsu. tmb. ru
УДК 519. 688
О ВЫЧИСЛЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПРОСТОМ ПОЛЕ 1
© А. О. Лапаев
Ключевые слова: компьютерная алгебра- дпекрентное преобразование Фурье- быстрое преобразование Фурье- теория алгоритмов.
Аннотация: Рассматривается способ вычисления дискрентного преобразования Фурье для полиномов многих переменных в кольце Zp[xl, x'2,…, хп]. Получены теоретические оценки сложности изложенного подхода.
Пусть / € ^р[х1,х2,…, х^], р — простое число. Пусть наибольшая степень переменной хг в полиноме / равна пг — 1, щ = 2^. Обознач им п = П1П2 … па- Тогда поли ном / можно записать
В ВИД61
пх-1 п2 1 пл-1
/ = / • • хЧ х*2 хгЛ
/ /г1г2… гп х1×2 … ха
il=о г2 =0 г^=0
1Работа выполнена при поддержке программы & quot-Развитие потенциала высшей школы& quot- (проект 2.1. 1/1853).

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой