О пространствах Соболева с разными степенями суммируемости по разным переменным

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Математика
Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2011, № 2 (1), с. 134−138
УДК 517. 95:517. 97
О ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА С РАЗНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СУММИРУЕМОСТИ ПО РАЗНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ
© 2011 г. В.С. Гаврилов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
vladimir. s. gavrilov@gmail. com
Поступила в редакцию 21. 10. 2010
Доказываются теоремы вложения для функций из пространств Соболева со смешанными показателями суммируемости.
Ключевые слова: теоремы вложения, пространства Соболева.
В настоящей работе доказывается несколько теорем вложения для функций из пространств Соболева специального вида. Необходимость в таких теоремах возникает при изучении вопросов теории оптимального управления начально-краевыми задачами для гиперболических уравнений дивергентного вида со смешанным краевым условием. К подобным начально-краевым задачам относится, например, задача 8
2(1 ~1к ^а'-] ^Х'Х^+ а'- ^Х'Х^+
+ а (X, (, 2(X, ()) + Ь (X, ()2Х. + с (X, ()= 0,
(X, г) е 2Т-
2(x, 0) = ф (X), (x, 0) = у (X), X еП-
2(5, г) = 0, (5, г) е Я°-
-8^ + ?(5, ()2 = /(5, (),() е 4.

Здесь ПсЦп — ограниченная область с границей Я = Я0 и Я1, Я, = Яг х (0, Т), г = 0,1, Q7, = Пх (0,Т), Я0 и Я1 — непересекающиеся измеримые части поверхности Я, имеющие
82
положительные поверхностные меры, = = (аг:/ (X, г)+ ai (X, г)2)ео8аг-, аг (X, г) — угол
между внешней нормалью к Я, и осью ОX.
При изучении условий существования и единственности решения сформулированной задачи в энергетическом классе требуется исследовать свойства заданных на ЯТ1 функций из пространств Соболева, таких, что и сами функции и их производные по переменной г принадлежат пространству Лебега со смешанными
показателями суммируемости. Кроме того, оказывается необходимым исследование свойств функций, определённых на Qт и принадлежащих подобному пространству.
Заметим, что пространствам Соболева посвящено огромное количество работ (см., например, работы [1−6] и библиографии к ним), в том числе и так называемым анизотропным пространствам Соболева, то есть пространствам Соболева, состоящим из функций, обладающих разными свойствами по разным переменным.
Однако слово «анизотропный» в известных автору работах, посвящённых пространствам Соболева, понимается либо как наличие по разным переменным производных разных порядков, либо как принадлежность функции и её производных разным пространствам Ьр
(например, сама функция принадлежит, а какая-либо её производная — Ьъ).
При этом случай, когда как функция, так и её производные принадлежат пространству Лебега со смешанной нормой, насколько нам известно, ранее не рассматривался. Однако при получении теорем существования и единственности решений начально-краевых задач для гиперболических уравнений при возможно более слабых условиях на коэффициенты возникает потребность в теоремах вложения для пространств Соболева функций из пространства Лебега со смешанной нормой.
Далее в статье формулируется и доказывается ряд таких теорем.
Под ?21 (Я,) понимается банахово пространство измеримых по Лебегу на ЯТ1 функций Е с конечной нормой
¦(У'-2
= | ||Е (5, г)|2йя йг-
¦ 0 и1
а под Яу) — банахово пространство изме-
римых по Лебегу на Я, функций Е с конечной нормой
Т
ПС 1 я 1 & quot-Iугаг 8ир 1Е (5,г) №
¦ 0 5еЯ1
Следуя [7], через Ьх, l (Qт) обозначим банахово пространство измеримых по Лебегу на Qт функций Е с конечной нормой
Н& lt-«, 1,27
¦ | угаг 8ир |Е (х, ґ)|ґ.
0 хєО
, 0, Ь
II 2,1, 5 Т =1
1І2,1,5'-1 + 11Еґ112,1,.
11р, П
Ида, П
||Е (х) рйх Чп)
¦ угаг 8ир |Е (х)|,
1 & lt- р & lt- да-
Р = & lt-
хєП
этом пространстве определяется как
н їїо. Г| ¦
+
Еґ є 1). Норму в этом пространстве
+ №*,
Обозначим через Ж20,11(51) банахово пространство измеримых по Лебегу функций Е: 5^ ^ Я, таких, что Е, Еґ є ?2 1 (5^). Норму в этом пространстве зададим формулой
|1Ы|(0,1) _цй||
Пусть ^^(Я1) — банахово пространство измеримых по Лебегу на ЯТ1 функций
Ее? о, 1(Я}), для которых Ег еАодЯ).
Норму в этом пространстве определим соотношением
11е11 01 Н1С, 1,4 +вИ0,1,Я1.
Через Ьр (П), где ПсЯ™, обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = о) функций Е: П -- Я, с нормой
у/р
зададим равенством
Н оо, 1,2 г ¦|^Ида, 1,^ '- да,& lt-2т '-
Прежде чем сформулировать основные результаты статьи, приведём следующую лемму,
вытекающую из того, что класс Ж/[0,Т] совпадает с множеством всех абсолютно непрерывных на отрезке [0, Т] функций, (см., например, [8, с. 343−344]).
Лемма 1. Пусть Е є Щ1 [0, Т|. Тогда функция Е абсолютно непрерывна на отрезке [0, Т] и производная функции Е, понимаемая в классическом смысле, существует почти всюду на отрезке [0, Т | и почти всюду совпадает с обобщённой производной в смысле Соболева. Более того, найдётся константа, А — А (Т) & gt- 0, зависящая лишь от Т & gt- 0, такая, что
вдіЕ (ґ^ & lt- 41(, 1[0,ТI.
Перейдём теперь к основным результатам.
Теорема 1. У любой функции / єЩ0'|(51) при каждом ґ є [0, Т] существует след / (•, ґ) є (51), непрерывно зависящий от ґ є [0, Т| в норме (51), причём
11(0,1)
/(•¦ ґ)||».5. & lt-4/1 К-.
(1)
Теорема 2. У каждой функции / е е ^о°'1 (Qт) при всех г е [0, Т] существует след /(•, г) е Ь0(П), непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме Ь0 (П), и
& lt- А^Л |(0,1)_. (2)
тахЦ / (•, ґ)|| 4/| ?0^-
Через Щ/[0,Т| обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на [0, Т] функций Е, таких, что Е, Е'-є Ь1 [0, Т]. Норма в
Теорема 3. Для любой функции / є є Щ0/ (5т) при каждом ґ є [0, Т] имеется след /(•, ґ) є ?2 (51), непрерывно зависящий от ґ є [0, Т| в норме ?2 (51). Кроме того,
тах
ґє[0,Т |
II/(•. & lt- 4/11^
(3)
1,[0,Т] ' 1Р 111,[0,Т]¦
Наконец, через) обозначим бана-
хово пространство измеримых по Лебегу на Qт функций Ее 1), для которых
Доказательство теоремы 1. Произвольно фиксируем / е, 1 (Я,). Для любой функции
0 е С (5Т& gt-), равной нулю вблизи Я1 х {0} и Я1 х {Т} и имеющей непрерывную на производную 0, справедливо тождество
т
J f (s, t)0t (s, t) dsdt = - J ft (s, t)0(s, t) dsdt.
Полагая 0(5, г) = р (5)д (г), где р е С (Я), а
д е С0 [0,Т] - финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д
| ?(5, Од'-(г)йг +1? (5, г) д (г)йг р (5)й5 = 0. я! 0 0 _
Следовательно, какова бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. 5 е Я1 имеет
место соотношение
Т Т
1? (5, г) д'- (г)йг = -|? (5, г) д (г)йг.
0 0
Это означает, что при почти всех 5 е Я1
функция ?(?у) является элементом Ж/[0,Т],
и, в частности, имеет смысл говорить о следе
? (•, г).
Покажем, что? е С ([0, Т],(Я1)). В самом деле,
г+Аг
|?(5, г + Аг) —? (5, г) & lt-
J| ft (s, & quot-О И
& lt-
& lt-
t +At
ЛІ ft (, т)ІІ", ^ dx
Таким образом,
f (s, t + At) — f (s, t)| & lt-
t+At
ЛІ ft (-, x) ll «, ^ іdx
(0,1)
ад, 1, *Sj-
Таким
образом, \f (•, i)||51 & lt- Af1, что совместно с доказанным ранее включе-
нием ^0д1(Я1) с С ([0,Т], Ь0 (Я1)) даёт оценку (1). Тем самым теорема 1 полностью доказана.
Доказательство теоремы 2. Выберем произвольно? еW0'-0(QT). Для любой
функции Хе С (Я,), равной нулю вблизи П х {0} и Пх{Т } и имеющей непрерывную на Qт производную Хг, справедливо тождество
| ?(X, г) Хг (X, г) dxdt = - I ?1 (X, г) Х (X, t) dxdt.
Ят (2т
Беря Х (X, г) = р (x)д (г), где р е С (П), а
д е С0 [0,Т] - финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д
Q
p (x)dx = 0.
|? (X, г) д'- (гг +1? (X, г) д (г^г _0 0 _
Как следствие, какова бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. X е П имеет место соотношение
Т Т
|? (X, г) д'- (г)4г = -1? (X, г) д (г^ г.
0 0
В силу этого при почти всех X е П функция ?(X/) — элемент Wl1 [0, Т], и, в частности, имеет смысл говорить о следе ?(, г).
Покажем, что? е С ([0,Т],(П)). Действительно,
г+Аг
Следовательно, при всех е [0, Т] существует след ?(-, г) е (Я1), непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме (Я1).
Докажем теперь оценку (1). Поскольку функция ?(5,-) при п.в. 5 е Я1 является элементом пространства Wl1[0,T], то, на основании леммы 1, для каждого г е [0, Т] при почти
всех 5 е Я1
Т
|?(5, г) & lt- А11?(5, Т)| + |?г (5, т)|}1т.
|f (x, t + At) — f (x, t)| & lt-
Л ft (x, т) Ит
& lt-
& lt-
t+At
ЛІ ft (, x) ll «, ndx
откуда
If (x, t + At) — f (x, t)| & lt-
t+At
('-, X) ll^, QdT
Ввиду этого при всех г е [0, Т] существует след ?(•, г) е Ь0 (П), непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме (П).
Докажем оценку (2). Так как функция? (X,-) при п.в. X е П принадлежит пространству Wl1[0,T], то, в соответствии с леммой 1, для каждого г е [0, Т] при почти всех X е П
S
S
T
T
T
t
0
T
f (х, t) & lt- A J If (х, t)| +1ft (х, т)|]?t,
— силу чего f (х, 0| & lt- Af 1^.
t+At
JdT J | ft (s, t)||0(s)|ds
t s 1
& lt-
(0,1)
Следовательно, \f (-, 0||и, п & lt- 4f
что
& lt- ад 1 «Ir II2, S1
J Jl ft (s, т)|2 ds
dT
вместе с доказанным ранее включением Таким образом, ^0д1(2& gt-т) сС ([0,Т],?о (П)) даёт оценку (2).
Итак, теорема 2 полностью доказана.
Доказательство теоремы 3. Произвольно
зафиксируем? е W20i1 (Я^). Для любой функции 0 е С (Я,), равной нулю вблизи Я1 х {0} и Я1 х {Т} и имеющей непрерывную на Я производную 0 г, справедливо тождество
|? (5, г)0г (5, г) dsdг = -1 ?1 (5, г)0(5, г) dsdг.
J [f (s, t + At) — f (s, t)]& amp-(s)ds
S1
& lt-
& lt- J | f (s, t + At) — f (s, t) || & amp-(s) | ds =
S1
J [f (s, t + At) — f (s, t)]A (s)ds:
S1
½
& lt- ^ 1 -ІГІІ2, S1
t+At (
J Jft (s, т)2 ds
t V S1
dT
Взяв 0(5, г) = р (5)д (г), где р е С (Я), а
д е С0 [0,Т] - финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д
~Т Т ~
| ?(5, г) д'- (г^г +1 ?г (5, г) д (г)dг р (55 = 0. я! 0 0 _
Следовательно, какой бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. 5 е Я1 имеет
место соотношение
ТТ
I? (5, г) д'- (г Уг = -|? (5, г) д (г)dг.
00
Это означает, что при почти всех 5 е Я1 функция ?(5,-) является элементом ^11[0,Т], и, в частности, имеет смысл говорить о следе
? (-, г).
Покажем, что? е С ([0,Т], Х2(Я1)). В самом деле, пусть & amp- е ?2 (Я1) — произвольна. Тогда
J f (s, t + At)& amp-(s)ds — J f (s, t)& amp-(s)ds
S1 S1
Беря от обеих частей последнего неравенства точную верхнюю грань по всем
& amp-єІ2(51), у которых ||& amp-||21 & lt- 1, и используя
теорему Рисса о представлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, заключаем, что
II/(•, ґ + Аґ) — /(•, ґ)||251 & lt-
t + At (
J Jft (s, т)|2 ds
t V s1
½
dT
Как следствие, при всех г е [0, Т] существует след ?(•, г) е ?2 (Я1), непрерывно зависящий
от г е [0, Т] в норме ?2 (Я1).
Докажем теперь оценку (3). Поскольку функция ?(5,-) при п.в. 5 е Я1 является элементом пространства WI [0, Т], то, на основании леммы 1, для каждого г е [0, Т] при почти
всех s є S
T
f (s, t)| & lt- A? j f (s, t)| +1 ft (s, t)|]?t.
o
Предположим, что & amp-eZ2(^1), t є[0,Т] - произвольны. Тогда
J f (s, t)& amp-(s)ds
S1
& lt- Jlf (s, t)||& amp-(s)ds & lt-
S1
T
=J
t+At
J ft (s, T) dT
| & amp-(s) | ds & lt-
& lt- J j AJ1 f (s, т)| +1 ft (s, т)|]dT №(s)|ds
S11 0 J
T
= A[ J dT J f (s, t)||& amp-(s) ds +
0 S1
& lt-
0
t
S
S
& lt-
S
T
+ i dxW ft (s, T)|| «(s) |ds]:
0 S1
T (
^ 4Щ2Si[i If (s, ^)|2 ds

½
0 V S1
T (
+ | IIft (s, t)|2 ds 01 s 1
+
] =
— ЛН & amp-II II fl0, 1)
— Л11 & amp-2, S Ml Л 12,1, S'-T-
Как следствие, для всех t е [0, T] при каждом & amp- eZ2(S1)
I f (s, t)"(s)ds
* 4 «II2, s 1II f ?1S T-
Переходя в обеих частях данного неравенства к точной верхней грани по & amp- (Я1) ,
||& amp-||2 & lt- 1, на основании теоремы Рисса о пред-
ставлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, будем иметь при каждом t є [0, T]
||f (, t tzs і & lt- fi».
Это совместно с доказанным ранее включением f є С ([0,T], L2(S1)) даёт оценку (3). Таким образом, теорема 3 полностью доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(код проекта 07−01−495), аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009−2010 годы)» Минобрнауки Р Ф (проект 2.1. 1/3927) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009- 2010 годы (проект НК-13П (9)).
Список литературы
1. Успенский С. В. О следах функций класса Wll,¦¦¦, ln Соболева на гладких поверхностях // Сиб.
матем. журн. 1972. Т. 13, № 2. С. 429−451.
2. Перепёлкин В. Г. О граничных свойствах функций, принадлежащих весовым классам w1i,& quot-'-'ln
р-аь., ап
С. Л. Соболева в областях // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Тр. семинара акад. Соболева. Новосибирск: ИМ, 1977. С. 108−148.
3. Успенский С. В., Демиденко Г. В., Перепёл-
кин В. Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука,
1984.
4. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
5. Аджиев С. С. Характеризации функциональных пространств врд (О), Ирл (О), Wl (О) и некоторых
других. Приложения // Тр. Мат. ин-та РАН. 1999. Т. 227. С. 7−42.
6. Бесов О. В. Интерполяция, вложение и продолжение пространств функций переменной гладкости // Тр. Мат. ин-та РАН. 2005. Т. 248. С. 52−63.
7. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральце-ва Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.У. М.: ГИФМЛ, 1959.
ON SOBOLEV SPACES WITH VARIOUS SUMMABILITY POWERS FOR VARIOUS VARIABLES
V.S. Gavrilov
Some embedding theorems for functions belonging to Sobolev spaces with mixed summability powers are proved.
Keywords: embedding theorems, Sobolev spaces.
S

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой