Электромагнитные волны в пространстве с неоднородностью, сосредоточенной на плоскости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Сер. 4. 2011. Вып. 2
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 53: 51, 530. 145. 1, 517. 9
Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ С НЕОДНОРОДНОСТЬЮ, СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НА ПЛОСКОСТИ
Введение. В обычных квантовополевых моделях теории элементарных частиц пространство-время однородно и изотропно. Это естественно предполагать при исследовании различных процессов с простейшими возбуждениями квантового вакуума, в котором нет выделенных точек и направлений. Однако в рамках квантовой теории поля можно рассматривать взаимодействия макроскопических объектов с квантовыми и, в частности, изучать поправки от флуктуаций вакуума к характеристикам динамики материальных тел классической физики. Теоретически такая задача впервые была рассмотрена в 1948 г. Казимиром, который показал, что квантовые вакуумные флуктуации вызывают притяжение между двумя идеально проводящими параллельными пластинами незаряженного конденсатора [1]. Это явление, которое назвали эффектом Казимира (ЭК), наблюдается экспериментально, и его количественные характеристики, полученные эмпирически для хорошо проводящих материалов, с высокой степенью точности совпадают с теоретическими результатами [2−5]. На характерных для ЭК расстояниях 10−1000 нм существенно проявляются классические и квантовые свойства системы. В их сочетании формируется особая нанофизика, исследования которой представляют не только теоретический интерес. Они важны для разработки новых технических устройств в силу всё возрастающей тенденции к их миниатюризации.
Хотя теоретическим проблемам ЭК посвящено много работ [6], однако в них часто используются упрощённые модели свободной скалярной теории поля с фиксированными граничными условиями, которые применимы только для исследования каких-либо отдельных аспектов ЭК, и специфика квантовой электродинамики в них игнорируется. Такие модели непригодны для полного описания широкого круга нанофизических явлений, возникающих в системе в результате взаимодействия её квантовых степеней свободы с материальным телом заданной формы (классическим дефектом).
Представленные результаты получены в рамках подхода Симанзика для построения моделей квантовой теории поля при наличии пространственных неоднородностей с резкими границами, которые описываются функционалом действия дефекта, сосредоточенного в той области пространства, где находится макроскопический объект. В квантовой электродинамике взаимодействие фотонов с моделирующим дефект фоновым
© Д. Ю. Письмак, Ю. М. Письмак, 2011
полем полностью определяется требованиями локальности, калибровочной инвариантности, перенормируемости и описывается функционалом действия Черна-Саймонса с одной безразмерной константой, характеризующей свойства материала поверхности [7]. От неё зависит сила Казимира, которая тем самым оказывается неуниверсальной и может быть для плоского конденсатора не только притягивающей, но и отталкивающей. Показано также, что в данной модели статический электрический заряд, взаимодействуя с поверхностью дефекта, порождает магнитное поле, а постоянный ток — электрическое поле [7]. Расчёт потенциала Казимира-Полдера для нейтрального атома вблизи плоской поверхности позволил найти нарушающие чётность поправки к известным ранее результатам. В представляемой работе в рамках предложенной в [7] модели изучаются процессы рассеяния электромагнитных волн на плоском дефекте.
Постановка задачи. Модель [7] взаимодействия фотонного поля с двумерной материальной поверхностью, заданной уравнением Ф (х) = 0, определяется функционалом действия
Б (А) =+ Б^А), (1)
где
= дрАу — дрАу, 5'-ф (А) = ^ J еч'-урдхФ (х)А[1(х)ГуР (х)Ь (Ф (х))6х.
Для плоского дефекта Ф (х) = хз уравнения Эйлера-Лагранжа записываются в виде модифицированных уравнений Максвелла:
Р& quot- + ае3то^0р& amp-(. г-3) = 0. (2)
Решать их удобно в терминах преобразования Фурье вектор-потенциала Л[Х по координатам Х0, Х1,Х2:
А*(х) =, ~~з [ егрж^(х3,р)ф, А^хз. р) = 1 о [ е~грхА^{х)вШ. (3)
(2л) 2 з (2л) 2 3
Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение р для вектора р = (ро, Р1, Р2), Р2 = = рд — р1 ~Р2, рх = рп. г’о -рх -р2%2- Из второго равенства в (3) и вещественности А^{х) следует, что А*(хз, р) = А (хз, -р). Воспользовавшись этим соотношением, получаем интегральное представление
Д,(ж) = [ в (р0) [е^А,(х3,р) + е-^А-(х3,р))] ф = (4)
(2л)г 3
= 7Г-7Г /0(ро) [е*ржД,(ж3,р)] ф,
(2л-) 2. ]
в котором И, е обозначает вещественную часть и вещественность Л^(х) очевидна.
Действие (1) и уравнение Эйлера-Лагранжа (2) инвариантны относительно калибровочного преобразования Л^(х) ^ Л^(х) + д^ф (х). Все физические характеристики системы также калибровочно инвариантны. Следовательно, для их расчёта достаточно иметь решение (2) в какой-либо фиксированной калибровке. Мы воспользуемся темпоральной калибровкой Ао = 0, в которой напряжённости Е, Н электрического и магнитного полей выражаются через вектор-потенциал Л = (0, А) соотношениями Е = доА, Н = д х А, а уравнения (2) переписываются для А (хз, р) в виде
р2А3 — д3(гр1А1 + ?/роАо) = 0, (5)
р0(іріАі + ІР2А2 + дзАз) — 2а (ріА2 — р2Аі)5(хз) = 0,
{-р2 — с& gt-з)А1 + ір1(ір1А1 + ір2А2 + д-зА-з) + 2аіроА2Ь (хз) = 0, {-р2 — с& gt-з)А2 + ір2(ір1А1 + ір2А2 + дзАз) — 2аір0А1Ь (хз) = 0.
(6)
(7)
(8)
Эти линейные однородные уравнения описывают электромагнитные волны, взаимодействующие с материальной плоскостью. Цель нашей работы — построить общее решение системы (5)-(8) и изучить наиболее характерные особенности процессов рассеяния в рассматриваемой модели.
Решение уравнений Эйлера-Лагранжа. Обозначим А (0,р) = а (р). /1^(0. р) = = 02(р). Тогда из уравнения (6)
грА + 1Р2А2 + дзАз = 21- 6(ж3),
Ро
и в силу уравнений (7), (8) поля Л1, Л2 удовлетворяют уравнениям
(р2 + & amp-1)Аг + СгЬ (хз) =0,? = 1,2,
в которых
а = [(рі - р2) а2 -ргр2аі, с2 = - [{р22 — РІ)аг — ргр2а2 ¦ (9)
Ро Ро
Общее решение уравнения
д^у + к2у + еЬ (Ь) = 0
записывается в виде
гр-гЩ гкг д -гкі С
у (г) = ?1вгкі + ?2в-гкі +
2рі
где іі, ?2 — произвольные постоянные. Следовательно,
-14 ч. С р — грх3
Ах{хз, р) = 41) е*ржз + 4) е-*ра!з + 1 2, (Ю)
ґг,. {'-п.
А2(х3,р) = 4″)е'ра!з + 4″)е"'ра!з + & quot- 2ф & gt- (И)
где р = и *& gt-•?'- = - произвольные функции р. Поле Аз находится непо-
средственно из уравнения (5):
/о. ?п — ^е-грХ3
Мхз, р) = 43) е'ра!з + 4) е"'ра!з + е (-г-з) 3 2 ¦ (12)
Здесь ?13) = 1/р (рііі1) + р2?12)), 43) = -1/р (ріі21} + р2і22)), Сз = -1/р (ріСі + р2С2)
и е (. г’з) =, г'з/|. г’з|. Мы предполагаем, что компоненты вектор-потенциала А (хз, р) ограничены при любых значениях жз, что возможно лишь при р2 ^ 0. Поэтому рассмотрим только случай р ^ 0.
Полагая хз = 0 в (10), (11), получаем соотношения
сЧ = & lt-%>- + & lt-%>- + ф і = 1,2. (13)
В силу (9) и (13) ai, удовлетворяют системе линейных уравнений ai (poр — apip2) + aa2(p1 — p0) = Dip0, aai (p2 — p2) — а2(рор + apip2) = -D2P0, (14)
где
Dj = (dj + d2j))p, j = 1, 2.
На основании (14), (9)
_ o-D2(pn — Pi) + -Di (apiP2 +pnp) _ a, Di (pl — pi) + -D2(apip2 — pop)
«1_ pop2 (a2 + 1) '"2_ pop2 (a2 + 1)
и
_ 2ai[?)1(apop -pip2) — D^jPp ~ Pi)}
Cl p0p (o2 + l)
_ 2ai[?)2(apop +ffiff2)] + ?& gt-i (ffo -_pg)]
C2 p0p (o2 + l) '-
Обозначив a = (ai, a2, аз), c = (ci, c2, c3)/(2ip), dj = (dj1^, d (2), dj2'-1), j = 1, 2,
представим (10)-(12) в компактной форме:
A (x3,р) = di (p)eipX3 + d2(p)e-ipX3 + R (x3)c (p)e-ip^, (15)
где R (xз) — диагональная матрица с элементами Кц (х3) = R22(хз) = 1, Rзз (xз) = = е (хз).
Таким образом, воспользовавшись (4), (15), мы получаем представление для решения уравнений Эйлера-Лагранжа рассматриваемой модели
A (x) = 6(-T3)23Re [ 0(рп)(4(р)е№р=з) + [^(р) + ?(р)]е& lt-(рт-ра!з)1ф+ (16)
(2л)з J L j
+ 9(~a-3^Re [ в (р0) I [сШ + Тс (р)] еК^+Р-з) + d2(p) e^-^ldp.
(2л)з J L j
Здесь T — диагональная матрица с элементами Tii = T22 = -T33 = 1. Первые слагаемые в подынтегральных выражениях в (16) описывают волны, движущиеся в отрицательном направлении третьей оси, а вторые — в положительном.
Pаccеяние волн на плоскости Для процесса рассеяния волны, падающей на плоскость из полупространства с отрицательной координатой хз, мы должны иметь в полупространстве хз & gt- 0 только проходящую волну, движущуюся от плоскости хз = 0 в положительном направлении третьей оси. Следовательно, в (16) надо положить di = 0. В результате получим
А*) = 9(r3)2Re I Q (po)Atr (p)e'-^-p^dp +
(2л)2 J
+ 9(7T3I3Re f 0(pn) f Ar e^+p^ + Ain е^-Р*з)) dp,
(2л)з J L i
где векторные амплитуды Ain (p), Ar (p), Atr (p) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно записываются в виде
Ain (p) = d2{p), Ar (p) =Тс{р), Atr{p) = d2{p) + c{p). (17)
В силу (17) они удовлетворяют соотношению
Ar = Т (Atr — -Ain)• (18)
Таким образом, векторная амплитуда отражённой волны получается из разности амплитуд падающей и проходящей волн с изменением в ней знака у третьей компоненты.
Из (18) следует, что имеется только две независимые векторные амплитуды волн, которые определяют третью.
Собственные моды. Собственными модами мы назовём волны, для которых амплитуды падающей и проходящей волн пропорциональны друг другу:
Atr (p) = XAin (p). (19)
Для них из (18), (19) следует, что
Аг (р) = (X- 1) TAin (p), oi = о2 = Ц2*.
Два последних соотношения являются системой линейных однородных уравнений от-
j (!) j (2)
носительно «2, «2, имеющей ненулевые решения, если
(a2 + 1)12 — 21 +1 = 0.
Таким образом, имеются две собственные моды, для которых
X = = Хь = giVi- Х=-^-=Х2, Д2) = g2V2, (20)
i a i a
где
Vi = (Ро -Pi, -ipop -PiP2, ipop2 + pip), V = (Po -Pi, ipop -P1P2, ipop2 + pip) (21)
и gi, до — произвольные функции от po, pi, po• Используя обозначения (20), (21), можем записать векторые амплитуды Лт (р), Лг (р), Atr (p) собственных мод падающей, отражённой и проходящей волн соответственно в виде
4п = 9э{р)Щр 4?) = дМК^ТЩр = дМК^ЩтА з = 1,2.
Здесь мы использовали обозначения
(i) = ia + о2 (2) = -га + о2 (i) = 1 — га (2) = I + га
r 1 + а2 ' r 1 + а2 ' tr 1 + а2 ' ir 1 + а2 '-
Полученные характеристики собственных мод удовлетворяют соотношениям Xо = X*,
V = Vi*, ViVo* = 0, Vil2 = | Vo |2 = 2po (po — pi), K (0] = K^*, Kr2 } = K (i)*•
Рассеяние плоских волн. Выбирая должным образом функции gi (p& gt-), д2(p) в (20), мы можем представить амплитуду любой плоской падающей волны в виде линейной комбинации собственных мод
•Ain = = gi Vi + g2Vi = fiUi + if2U2-
Мы воспользовались обозначениями fi = gi + g2, f 2 = gi — g2:
Ui = Re Vi = (po — pi, -pip2, pip), U2 = Im Vi = (0, -pop, -PoP2).
Нетрудно убедиться, что Ui| = U2| = V |/2, UU2 = 0. Если обозначить Yi = aUi — U2,
Y2 = aU2 + Ui, то для амплитуд отражённой и падающей волн получаем выражения
Ar = T^(fiTY1 + if2TY2),
1 + a2
Atr = T^(fiY2-tf2Y1).
1 + a2
Плоская волна характеризуется направлением распространения п и частотой ю, которые выражаются через компоненты её импульса p = (po, U): Po = w, U = юП. В силу (4) векторные потенциалы Ain (pin- x), Ar (pr- x), Atr (ptr- x) падающей, отражённой и проходящей волн соответственно имеют вид
2Re
AiniPinx) = Ап (рУр'-пХ = o-inlh — knU2,
(2п)3/2
2Re
Мрг-, х) = МрУРгХ = о. гty, — prTY,
(2п)3/2
2 Re
Atr (Ptr, x) = ~. о/г, Atr (p)gtr = СХ (Г1 2 Pir^ Ъ (2n)3/2
где pin = ptr = (po, pi, p2, p), pr = (po, pi, p2, -p),
2|/i|, ,, 0 2|/2|., , ^
¦ COS (pinx + фі), pin = Sin (pinX + ф2),
(2я)3/2 (2n)3/2
cos (prx + фі), pr = a, sin (prx + ф2),
1 + a2 (2n)3/2 ^ 1 r 1 + a2 (2n)3/2
. I. , 1 0 X … fi
Q-tr ^ 9 C4n? Ptr ^ 9 Pm і Фг ^ і? і
1 + a 1+a Ji
В рассматриваемой калибровке напряжённость электрического поля E совпадает с производной по хо от вектор-потенциала A:
?1 Pin l/ll fj, а-гп|/2І ff
Е& quot-'- = -рЛ-и, ±и'--
а /Ч5г|/і| w, ar|/2| ^
в'-="рЧт^т1,+т?тгь
т? ^ Ptr І/і І а (г|/2|Л& gt-^
Е'-'- = -'ІЧЖ1,-Ж1,І'-
Магнитное поле вычисляется по формуле H = [V х A], из которой непосредственно получается следующий результат:
fj _ [pin X Ein -jr& gt-. _ pr X Er ^ _ [ptr X Etr]
tlin -----------J -tif ---------, ±±tr —
Po Po Po
Для интенсивностей Iin, Ir, Itr падающей, отражённой и проходящей волн мы получаем соответственно выражения
г _ |Лп (р)е'-^-Р-з)|2 _ Лп (р)2 г _ Л (р))2 Г _ Лг (р))2
*& quot- «2jt3 2jt3 ' r 2jt3 ' tr 2jt3 ¦
a
a
r
Тогда
I — °2 I I — 1 I
1r, о ±ъп-& gt- Atr л, о J-гп•
1 + a2 1 + a2
Следовательно, коэффициенты отражения Kr = Ir /lin и прохождения Ktr = Itr /Iin плоской волны при её рассеянии на плоскости не зависят от частоты, угла падения и выражаются через константу a взаимодействия электромагнитного поля с поверхностью, характеризующую свойства её материала:
Кг = Ktr 1
1 + а2' гт 1 + а2'-
Рассмотрим движения волн вдоль оси хз. В этом случае р1 = р2 =0, р = ро и
3
Егп Ро (Ргп) СЦп? 0), Е^г ~ - Н- Н~~ ^),
1 + а2
3
ар3о
Ег — ~ о-(-|3rii — сХг? 0.0: — |3Г, 0). 1 + а2
Таким образом,
^/г 9 ^/п I. ^ -Ро{®'-гп1 ^/п — О):
1 + а2 1 + а2
а при замене в Ег знака у хз на противоположный
2
Е — - Ё-________________- О
г ~ 1 + а2 «1 + а2 ^
Мы видим, что при рассеянии волны, движущейся перпендикулярно плокости кроме обычных для процесса рассеяния волн возникают волны с повернутым на угол п/2 вектором напряжённости электрического поля (Е^п& lt-Е = 0).
Заключение. Мы изучили процессы рассеяния в модели взаимодействия Черна-Саймонса электромагнитного поля с материальной плоскостью, заданного безразмерной константой а. В калибровке Ао =0 построено общее решение уравнений Эйлера-Лагранжа, имеющих вид модифицированных однородных уравнений Максвелла, с параметром а, характеризующим материал рассеивающей волны плоскости. Результат для пространственной части вектор-потенциала представляется в виде линейной комбинации двух взаимно ортогональных собственных мод задачи рассеяния, для которых вектор-потенциалы в комплексной форме отражённой и проходящей волн получаются из вектор-потенциала падающей волны умножением на комплексные числа. Для случая рассеяния плоской монохроматической волны произвольной поляризации в явном виде получены вектор-потенциалы, электрическое и магнитное поля отражённой и проходящей волн, а также коэффициенты прохождения и отражения, которые зависят только от константы взаимодействия, а и не зависят от частоты падающей волны и угла падения. Для волн, распространяющихся в ортогональном плоскости направлении, напряжённость электрического поля отражённой волны при малых, а поворачивается на угол, близкий п/2, по отношению к его направлению для случая идеально проводящей плоскости (а ^ ж). Вектор электрического поля проходящей волны, исчезающей в пределе бесконечной константы а, поворачивается при больших, а по отношению к его направлению в падающей волне на угол, близкий п/2. Эти эффекты
можно использовать для экспериментального определения параметра, а и, измерив силу Казимира для пластин из данного материала, проверить правильность полученных для неё в рамках рассматриваемого подхода теоретических результатов [7].
Литература
1. CasimirH. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1948. B. 51. P. 793−795.
2. Mohideen U., Roy A. Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9 |im // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 4549−4552.
3. Roy A., Lin C. -Y, Mohideen U. Improved precision measurement of the Casimir force // Phys. Rev. (D). 1999. Vol. 60. P. 111 101−1-111 101−5.
4. Harris B. W., ChenF., Mohideen U. Precision measurement of the Casimir force using gold surfaces // Phys. Rev. (A). 2000. Vol. 62. P. 52 109−1-52 109−5.
5. Bressi G., Carugno G., Onofrio R., Ruoso G. Measurement of the Casimir force between Parallel Metallic Surfaces // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. P. 41 804−1-41 804−4.
6. MiltonK.A. The Casimir effect: recent controversies and progress // J. Phys. (A). 2004. Vol. 37. N 38. P. R209-R277.
7. Markov V. N, PismakYu. M. Casimir effect for thin films in QED // J. Phys. (A). 2006. Vol. 39. P. 6525−6532.
Статья поступила в редакцию 4 ноября 2010 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой