Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№ 275
апрель
2002
УДК 519. 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Д. Д. Ахмедова, О. А. Змеев, А. Ф. Терпугов
ОПТИМИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ С УЧЁТОМ РАСХОДОВ НА РЕКЛАМУ
Решается задача об оптимальном во времени распределении граммы в зависимости от условий эффективности рекламы. клиентов страховой компании.
В настоящее время вызывают интерес математические модели актуарной математики, изучающей различные ас-пекты страхового дела. В актуарной математике уже существует классическая модель страховой компании, где не учитываются многие факторы. В [1] нами была рассмотрена модель с учетом расходов на рекламу, найдены основные характеристики капитала компании и условия эффективности рекламы в случае, когда расходы на рекламу пропорциональны капиталу. Теперь же мы определим, как меняются характеристики капитала и число клиентов в зависимости от рекламной стратегии компании, а также рассмотрим задачу оптимизации рекламной компании в случае, когда доля денег, выделяемых на рекламу, меняется со временем.
Математическая модель и постановка задачи
Будем считать, что в момент времени ґ состояние страховой компании характеризуется её капиталом Б (ґ) и числом застрахованных клиентов к (ґ). Количество денег, выделяемых на рекламу, будет характеризоваться величиной а (ґ), так что на интервале времени [ґ, ґ + Дґ] на рекламу выделяется а (ґ)?(ґ)Дґ денег и 0 & lt- а (ґ) & lt- а 0.
В [1] подробно описана модель страховой компании и получена система дифференциальных уравнений, описывающая состояние страховой компании в среднем:
ёМ {V (ґ)}=а^ о +а (ґ)(Х1а-і)М {V (ґ)}+
йґ
+(2 -йц1) {к (ґ)), ёМ {к (ґ)}=х о +х 1а (ґ)м {V (ґ)}_цМ {к (ґ)
(1)
йґ
& gt-шах.
расходов на рекламу. Строится стратегия рекламной про-Получены выражения для ковариаций капитала и числа
[ТЬТ], причем каждому из промежутков соответствует своё значение а (ґ):
*-(ґ)=¦
0,0& lt-ґ & lt-Т0, а 0, Т0
0, Т1 & lt-ґ & lt-Т.
Естественно, значение средних и дисперсий для капитала и числа клиентов будут различны в зависимости от промежутка. Система относительно средних капитала и числа клиентов уже получена. Выведем систему дифференциальных уравнений для ковариаций капитала и числа клиентов. Имеем:
V (ґ + Дґ) = V (ґ) + Д? (ґ) — а (ґ)? (ґ)Дґ,
(ґ)} = М {V2 (ґ)}-М2 {V (ґ)}, ёР{У (ґ)} = йМ{V2 (ґ)} _ йМ2 {V (ґ)} йґ йґ йґ Обозначим М{|2}=а2, М{п2}=Ь2, М{^}=с2. Тогда йМ [у2 (ґ)} = М [у 2 (ґ+Дґ)}_ М V 2 (ґ)},
йґ
= Ііш
Дґ -& gt-0
Дґ
Смысл входящих сюда параметров описан в [1].
Рассмотрим теперь следующую задачу: пусть страховая компания начинает свою работу в момент времени ґ=0 и она хочет провести рекламную программу таким образом, чтобы к концу рассматриваемого промежутка времени [0,7] её капитал стал максимальным. Определим критерий оптимальности следующим образом:
М {V (Т)}_ V (Т)}
Максимум ищется по виду а (ґ), 0& lt- ґ & lt-Т с учетом ограничений 0& lt- а (ґ) & lt- а0- 50 — капитал компании в начальный момент времени. Заметим, что это одна из постановок задач на оптимизацию рекламной деятельности.
Решение задачи
Система уравнений для ковариаций капитала и числа клиентов компании
Для решения задачи разделим рассматриваемый промежуток времени [0,Т] на три [0,Т0], [Т0,Т1] и
?2 (/+Д/)=?2 (/)+Д2? (/)+2? (^ () --2а ()2 ()Д-2а ()Д? () ()+о (Д/). Ограничиваясь членами с Дt, запишем выражение для М{?2(& gt-+Д0}. Имеем
М ?2 (t+Дt)}=М ?2 ^)}-2А, 0аМ { ()}Дt+
+(й2ц1 +с2ц 2) М {к (t)}Дt+
+а2 (о +^аМ (t)}^+
+2(сц 2 -Ь ц1) М { ()к (t)}+
+2аХ1аМ {2 (t)}-2аМ {2 (t)}1-о (Дt).
ёМ2 {? и)} ёМ {? (t)}
Так как ------- = 2М{?(t)}------, то с уче-
ёt ёt
том (1) можем записать дифференциальное уравнение для дисперсии капитала компании:
ёё^Ш=2а (Ж -1)о{ (t)+ ёt
+Х1а2 а (t)М { (t))+2(с|а 2 -Ьц1)С (, к) +
+(с2ц2 +Ь1 ц1) М {к ())+А, 0 а2, (2)
где С (8,к)=соу (8^),(к)). После аналогичных преобразований можем получить дифференциальное уравнение для дисперсии числа клиентов компании
ёО{к^)} ёМ М. ёМ2 ш
йґ
йґ
йґ
йБйґ^?)}=_2^Б{к (ґ)}+цМ {к (ґ) йґ
+Х1а (ґ)М {V (ґ)}+2Х1а (ґ, к)± 0. (3)
Уравнение для ковариации ?(ґ)и к (ґ) имеет следующий вид
йС (, к) = йМ (V (ґ)к (ґ)) й|М {V (ґ} {к (ґ)}] йґ йґ йґ
йС (, к)=-1-(ґ)б ((ґ))+(сц2 _Ь ц) Б{к (ґ)} + (4)
йґ
±1 аа (ґ)М {V (ґ)}± 0 а+(- 1 аа (ґ)_а (ґ)ц)С (V, к)
Заметим, что в уравнениях (2), (3), (4) присутствуют выражения для средних значений капитала и числа клиентов компании, что является решением системы (1). Имеем (далее для удобства будем а (ґ) обозначать а):
М {V (ґ)}=--[[Т1ґ М+У1 2 ет 21ґ (ц+У 21)
-1а
-1а
ца- 0
V У1У 2
(5)
М {к (ґ))=К1еТ1ґ + К 2 ет 21ґ +
а- 0
У1У 2
где уь у2 — корни характеристического уравнения системы (1) — К1, К2 — константы интегрирования, определяемые из начальных условий М{?(0)}=?0, М{к (0)}=к0.
Поведение дисперсий капитала и числа клиентов в зависимости от а (/)
Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений относительно ковариаций ?(/)и к (/) при а=0. Для этого подставим в систему значение а, после чего получим [далее, чтобы подчеркнуть зависимость интересующих нас функций от t и, а будем записывать В8 (, а), Бк (, а) С? к (/, а) ]: ёБ3 (/, 0)
йґ
¦ = 2(ц2 _ Ьц ^ (ґ, 0) +
+ (2ц 2 + Ь1ц1) {к (ґ, 0)} + - 0 а 2, йС& quot-{ґ, 0} = (сН- 2 _Ь1)Бк (ґ, 0)+Х 0 а_ЦСЗк (ґ, 0)
-'-Бк йґ
йБк (ґ, 0) йґ
=_2цБк (ґ, 0)+цМ{к (ґ, 0)}±0. (6)
йґ
йґ
Решение системы (7) имеет следующий вид:
сц 2 _Ьц1
ц
ґ _ Б1
СЦ2 _ЬМ-1 -цґ
¦е~цґ + А
— -
к (ґ, 0)=-0+Це Ц
где константы определяются из начальных
условий? (о, о)= ?0, к (0,0)=к0.
Заметим, что _0к (/, 0) однозначно определяется из второго уравнения системы (6). Имеем
Вк (/, 0) = С1е~2ц/ + ^ е+ ^°-.
Тогда из третьего уравнения системы (6) получаем выражение для ковариации
Ск (/, 0)=С1е~2ц/ +| С2 +(ц2 -Ьц +ац).
Ц I Ц) Ц
Запишем выражение для дисперсии капитала:
& quot- 2Х 0
Б3 (ґ, 0)=
ц
-(сц 2 _Ь ц1) (сц 2 _Ь ц1 +ац)+
±0 (сц 2 _Ь ц1 +ац) Ц
ґ 2Б& gt-1 (сц2_Ьц1)ґе цґ_ ц2
_2
1 (сц2 _Ьц1) (С2 +2Д)+(сц2 _Ьц
С
--1 (сц2 _Ьц1)е_2цґ +С3
Ц
где константы С, С2, С3 определяются из следующих начальных условий:
Д (0,0)=0, Бк (0,0)=0, Ся (0,0)=0.
Имеем
С1 =_^°_А., с2 = С -(СЦ 2 -Ь ц1 +ац),
Ц Ц Ц Ц
2 Г, _ д ^ С,
Сз =Ц (ц 2 -ЬЦ1 / С2 + 2А- - '-]+_С2& quot- (сц 2 -ЬЦ1). ц I ц) Ц
Система дифференциальных уравнений относительно ковариаций капитала и числа клиентов при ненулевом а (/) имеет следующий вид: ёВ3 (/, а)
йґ
-=2а (а-1 _1)бх (t,-)±1a2аS (ґ, а)+
+2(сц 2 _Ь ц1) к (ґ, а)+(с2 ц2 +Ь1 ц1) к (ґ, а)± 0 а2, а)
С& amp-^аО, (ґ, а)+(сц 2 _Ь ц1) Бк (ґ, а)+ ±1аа5'- (ґ, а)± 0 а+(-1аа_а_ ц) ся (ґ, а). йБк (ґ, а)=_2цВк (ґ, а)+цк (ґ, а)+
(8)
Так как в систему входят выражения средних наче-ний капитала и числа клиентов при, а = 0, то необходимо записать решение системні (1) в этом случае. Имеем [далее математическое ожидание капитала и числа клиентов будем обозначать V (ґ), к (ґ) ]:
й (ґ)=а-0 +(сц2 _Ьц1)к (ґ), й (ґ)=-0 _цк (ґ). (7)
±1а+2−1аС^к (ґ, а)± 0.
Обозначим через к1, к2, к3 — корни характеристического уравнения системы (8). Само уравнение имеет вид
2а (а-1 _ 1)_ 2(сц2 _Ьц1)
0
_к1 -1а 0
или в явном виде
-1аа_а_ц_ сц2 _Ьц

_ 2ц _ к 2
2
2−1а
=0
-к +з (-1аа-ц-а)к +2[_(-1аа-ц-а) +
+2ца (-1 _1)+2−1а (сц 2 _Ьц1)]к4(-1аа_ц_а)х
х[ца (-1а _1)±1а (сц 2 _Ьц1)]=0, (9)
откуда к1 =у1 +у2,к2 = 2у1, к3 = 2у где у 1, у2- корни характеристического уравнения системы (1):
=_(ц_а-1а+а)^/Б =_(ц_а-1а+а)-¦& gt-/Б
У1 = 2, У 2 = 2 ,
Б=(ц_а-1а+а)2 _4[а-1 (Ь ц1 _сц2 -ца)+ца].
ц
ц
е ц _
1
-
0
ц
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений (8) запишем в виде
Д (, а)=Д ()?пе К1'- + Д ()Т21е К2'- + Д ()?31е Кз'-,
Ся (, а)=Д ()12е К1'- + Д ()Г22е К2'- + Д ()з2е Кз'-,
Бк (, а)=Д ()Уве К1'- + Д ()Уве К2'- + Fз ()^е Кз'-, где У у — алгебраические дополнения матрицы
2а (аХ1 -1) 2(сц2 -Ьц) 0
X 1а Я^аа-а-ц2 сц2 -Ьц.
0 2Х1а — 2ц
Обозначим
4 = Х1аБ ('-) + цк ('-) + Х0, В = Х1ааБ ('-) + Х0а,
С = Х 1аа2 5 ('-) + (с2 ц 2 + Ь2 ц1) к ('-) + Х 0 а2.
Тогда чтобы получить общее решение системы (8), запишем уравнения относительно Д1('-), Д2('-), F3(t). Имеем
^()Упе К1'- + Д'-^е*2'- + ^(У,^3'- = С,
)У12еК1'- +^2'-('-)У22еК2'- + Дз'-()У, 2еК3'- = В,
)У1зе К1'- + Д ()У2зеК2'- + Д ()УззеК3'- = А. Обозначим Д — определитель матрицы
(13)
Выражения для -Р2(/), Е3(і) имеют аналогичный вид. Заметим, что в выражениях для F1(t), ^2(/), Е3(ґ) присутствуют константы F1, F2, F3, которые определим из условий сшивания на границе:
(Т0 ,°)=(Т0, а) СБк (Т0 ,°)=СХі (Т0, а),
Бк (70,0)=Я^а).
(13) — алгебраическая система уравнений относительно интересующих нас констант. Решая систему, получим
р~К/70 г
F] = -^- [((70,0)-01 (70) +(СЯ (70,0) —
-02 (7,)Ж, Ж (70,0)-0з (70 М ], /=1,2,3, (14)
где Я — определитель матрицы (10) —
Я, (і) = -
Ці Ґ V 11 /
А и1 -К1
К1 (70)[(у 1 +ц)/1+1 ]+
±-------- К1 (70)[(У 1 + ц)/ 2 +12 ] +
У1 -К 2
У3
31
У11 У21 У31 +д
У12 У22 У32, (10)
У13 У23 У33 +
+ -
У1 -К 2 е1 М1
'К1 (70)[(У 1 + ц)/ 3 + 13 ] 1 +
2
тогда имеем следующие выражения для интересующих нас Т1('-), Д2('-), Т3('-):
У2 -К2
-К2 (70)[(У2 + ц)/2 +12 ] +
F1 (і) =
К (70 Ху 1 + ц). [ 1-К1]
+
У3,
К 2 (70)(У 2 +ц)
+ ^У^ЛГ 2^) р (У1 -к1)
[У 2 -К1 ]
-0- 1е~К1'-
К (70)
.У 1 -К1
р (У1-К1) +
цаХ1 К1У1У 2
е (Т1 -к) +
У3 -К2 1 (Уи аХ
-К2 (70)[(У 1 + ц)/3 +13 ] 1 +
+
д
К1 УхУ2
0 (-ц/, — /)+І- ^ (-Ц32 -12_) +
У31 аХ 0
¦(ц/3 /3)
к2 У: У2 Л
1 = 1,2,3.
(15)
.К 2 (70) е
аХ 0
У 2 -К1
К1УУ 2
/ --^-К1'-/1 ^+^, (11) К.
где
3, =Мц +М, 2a+M?la2,11 =цМ, з +(с2ц2 +Ь2ц1)),¦1, i=l,, 3- Му — алгебраические дополнения матрицы (10). Выражения для К1(70), К2(Т0) определяются из условий сшивания в точке Тсдля среднего значения капитала. Определим условия сшивания следующим образом:
5 (70,0)=5 (70, а), 5 '-(Т,, 0& gt-=5 '-(Т,, а).
Имеем
К1 (70)=-
& amp- УіУ2 & amp- | 11 70 — +?
У1-У 2 1 У1)
К3 УгУ2
Из (14) видим, что F/, _/=1,2,3 являются функциями от момента времени включения рекламы 70. Запишем выражения для дисперсии капитала, ковариации капитала и числа клиентов, и дисперсии числа клиентов для 70& lt-/<-71: Д (і, а)=F1 (70)Упе К1'- +F2 (70)У!1е К2'- +Fз (70) К3'- +01 (і), Сж (і, а)=Fl (70)У12е К1і + F2 (70)У22еК2'- +Fз (70)У, 2еК3'- +02 (і), Бк (і, а)= Fl (70)У13ЄК1'- +F2 (70)У23ЄК2'-+
+Fз (7o)У33ЄК3'-+б3 (). (16)
Определим поведение интересующих нас характеристик капитала и числа клиентов для случая, когда доля денег на рекламу равна нулю и 71& lt-і<-7. Имеем
Бк (, 0)=Я1е-2ц' |1(70,71)і ^'-1^
К 2 (70)=-
У1е Т17° (ц+У1)
і
е1270 (ц+У 2
ц
Ж 70 — +У
Єзк (, 0)=* е-2ц +(Я2 +1(70,71)
ц І ц
Хо ц
¦і 1^ц+
(12)
+(сц2 -йц1+ац)Х|--
ц2
где
2Х 0
Г=Х0Х1а| Сц2 Ьц +а і, V=Б0Х1а-цаХ°+Х0. ц) У1У2
В3 (, 0)=
— (ц2 -Ьц1 +ац)
¦(сц 2 -Ь ц1 Х& lt-^ц 2 -Ьц1 +ац) +
271 (70,71)(Ь)
----- 20 (сц 2 -Ьц)& gt-
е
2
+
К
2
ц
Х
xfe^'- -2
¦І(сц2 -Ъ ц)((+2Ll (T0, T1)) +
X e ~цТі +
Rj To, T)
ц
(сц2 — Ъц) e~2цТі. (19)
U (To, T) =:
+(сц2-Ьц1)(Т°2,Т1 ^ е-ц'-4(сц2-Ьц1)2ц'- +^з, (17)
ц ] ц
где константы Я1, Я2, Я3 определяются из условий сшивания на границе. Заметим, что интересующие нас константы будут отличаться от тех констант, которые определены для случая а=0. В этом случае они будут зависеть от Т0 и Т1. Имеем Б3 (Т1,а)=^ (Т1,0),
Ок (Т1,а)=Дк (Т1,0),
С* (Т1,а)=СХк (Т1,0).
Выражение для ?1(Т0,Т1)определяется из условий ности (20) запишем в виде сшивания для средних значений капитала и числа клиентов аналогичным образом
Теперь дисперсия и математическое ожидание капитала зависят от моментов включения и отключения рекламы. Вспомнив критерий оптимальности, обозначим
М {5 (Т)}- 5 0
При выполнении условия
л№ (т)} '-
du (To, Ti)
dTo
(20)
& lt- 0 страхо-
вая компания включает рекламу в нулевой момент времени, то есть в тот самый момент, когда начинает работать [2]. Таким образом, критерий оптималь-
Li (To, Tj) =
W —
YiY 2
v
+ V ||x
e
Yi — Y2
Yi (Tj -To) ((
W
V v
U (To, Ti) = Mf (T)}-Somax.
Vo 17 VD{S (T)& gt-
To —
Yi (Yi +Ц)
e Y 2 (Tl -To)yi
To —
1
Yi/
Yi
+V
цті
(Yi — Y2X'-Y2 +^) YiY2 ц Выпишем выражения для констант ЯРЯ2, Я3:
R1 (To, T1) = e2цті fDk (T1,a) — - Li (To, Ti) e~цТ
V ц ц
Я2 (To, Tj) = e цТі f CSk (Tj, a)-x
(18)
Имеем
S (T, o)|To =o = Pi (T — Ti) + e-ц (т-T1)(vieYlT +
+ V2 eY 2lTl + V3)+ W1eYlTl + W2 eY 2Tl + P2,
Ds (T, o) to=o = Hi (T — Tj) — Te ^(T-Tl & gt-x x (A1eYlTl + A2eY2Tl + A3)-є~ц (-Tl)(?1eKlTl + B2eK2Tl + + B3 e K3Tl + B4 eYlTl + B5 eY2Tl + B6)-e ~ц (т-ті)T1 x
x (E1eYlTl + E2eY2Tl + E3)-e~2ц (т-Tl)(G1eKlTl + + G2 e K2Tl + G3e K3Tl + G4 eYlTl + G5eY2Tl + G6) +
6 Y 2T1
xe^Tl -(сц 2 -Ъц1 + ац) — Ll (To, Tl) Т1є~цТ'1
ц ц
Я3 (To, Tj) = Ds (Tj, a) —
-(сц2 — Ъц1) x ц
: (сц2 -Ъц + ац) + (с2ц2 + Ъ2ц)+Хoац
2Lj (To, Tj),
+ J1eKlTl + J2eK2Tl + J3eK3Tl + J4eYlTl + «5.
+ (/1eYlTl +12 eY2Tl +13)т1 + H 2, (21)
где все р., V,., W, Ht, A, Bt, Et, Gt, Jt, 1t — выражения, зависящие от параметров модели. Например,

H1 = -т (сц2 — Ъц1) сц2 — Ъц1 + ац) +
ц
x T1 ±
ц
-(сц2 -Ъц1))1e цТі +
±- (сц2 — Ъц1 + ац).
ц
(22)
+ (сц 2 Ъц1)) Я2 (To, T1) + L1 (To, T1)[/ 2 + ||x
ц V V ц.
Из-за громоздкости эти выражения не приводятся. Далее задача сводится к отысканию с помощью численных методов такого момента 71, при котором функция и (0,71) имеет максимум.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ахмедова Д. Д., Терпугов А. Ф. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу // Изв. вузов. Физика. 2001. № 1. С. 25−28.
2. ПервозванскийА.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 615 с.
Статья представлена кафедрой прикладной информатики факультета информатики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию номера 3 декабря 2001 г.
To=o
+
x

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой