Оптимизация группирования выборки для определения оценок параметров распределения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

2007
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Навигация и УВД
№ 121
УДК 621. 396. 96
ОПТИМИЗАЦИЯ ГРУППИРОВАНИЯ ВЫБОРКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Л. О. МАРАСАНОВ, В. В. ГЛУХОВ Статья представлена доктором физико-математических наук, профессором Козловым А. И.
В статье рассматривается задача минимизации оценок дисперсий исследуемых параметров путем группирования выборки.
В статистической практике вопросу оптимизации группирования выборки для определения оценок параметров распределения посвящен целый ряд работ. Например, Кох [1], Чьедебек [2−5], Кулдорф [6], Бодин Н. А. [7] и т. д.
Особенно значима монография Кулдорфа, которая обобщает основные исследования этого вопроса. Но не менее важна и работа Бодина Н. А. [7], в которой уточнены результаты Кулдорфа [6] и произведено обобщение этих результатов на многомерный случай распределения выборки. В этой работе доказано существование, единственность, состоятельность и асимптотическая эффективность оценок, полученных в результате оптимального группирования. Будем рассматривать методику определения числа групп на примере экспоненциального закона распределения исследуемой выборки.
Пусть дана случайная величина X, подчиненная экспоненциальному закону распределения F (х) = 1 — e~q (х-а). Если, а = 0, то F (х) = 1 — в~вх при 0 & lt- в & lt-? .
Введем обозначение s =1, тогда соответствующее параметрическое пространство равно 0 & lt- в & lt- ?. При
в
группировании первый и последний групповые пределы Х0 = 0 и Хк =?. если групповые пределы равноотстоящие, тогда
0, Хр X 2,…, Хк-1 (1)
и Xi = i ¦ X для i = 0,1,2,., к -1.
Этот случай группирования называется равноотстоящим группированием.
Для решения задачи оптимального группирования будут использоваться следующие обозначения
t = вХ1 = -, q = e-t, p = 1 — q. (2)
s
Рассмотрим случай, когда число групп конечно, а конечные групповые пределы 0, Х1,X2,…, Хк-1 являются равноотстоящими, т. е. соответствуют формуле (1).
Изложим эту задачу в терминах параметра s, поскольку для исследуемого закона распределения он определяет и математическое ожидание и дисперсию и практически все моменты случайной величины X, распределенной по экспоненциальному закону.
Для группированной выборки оценкой s является величина
1 к
s = -? n (Xi-1 + Xi), (3)
2n i=1
Т ак как строится по аналогии с выборочным средним. При условии равноотстоящих пределов группирования оценки
(1 к 1 А
s = Х1 ------?(i- 1) n ±. (4)
ln — nk i=1 2)
При больших значениях n он имеет математическое ожидание
1 1 2
а дисперсию
E (s) = X11P — 2) + 0(n-'-) = t ((et -1)-1 + 2 j s + 0(n-'-), (5)
1 f2f t Л-2 f -t -kt -1 _2
Var (s) = - Xf qp-2(1 — qk-1)-1 + ?(n~2) = (-) (--)-s + Q (n2). (6)
nn
Согласно [6] оценка максимального правдоподобия параметра в экспоненциального распределения (6) определяется на основании следствия, которое гласит: если групповые пределы 0, Х1-Х2,…, Хк1 являются равноот-
174
В. В. Глухов, Л.О. Марасанов
стоящими, то оценка максимального правдоподобия в существует тогда и только тогда, когда п1 & lt- п, пк & lt- п и в таком случае
в) = -1оя *1
? (/¦ -1)п,.
(7)
Далее приводится теорема, в которой доказано: оценка максимального правдоподобия параметра в является состоятельной и асимптотически эффективной в строгом смысле, а дисперсия ее асимптотического распределения равна:
х. 4−1
'-(Х, — -1)
ЛяУаг (в) =
,=1 евх'- - ввХ'--'-
(8)
Следствие: если конечные групповые пределы являются равноотстоящими, то дисперсия асимптотического распределения условной оценки максимального правдоподобия величины в равна:
ЛзУагф) = (1 — в-вХ1)2 (евХ1 — е~квХ1)-1
(9)
Из представленного выше видно, что асимптотическая дисперсия в определяется формулой (9). Она является функцией п, ,, Х1, Х2,…, Хк-1. в том случае, когда конечные групповые пределы 0, Х1,Х2,…, Хк-1 являются
равноотстоящими, возникает вопрос о том, как выбрать общую длину группового интервала Х, чтобы асимптотическая дисперсия была минимальна.
Для этого минимизируют выражение (9) относительно Х1.
В итоге получаем уравнение
к-1
Лк-1)'-
2
— ±-----
2
-1 '- е'- -1
-1 = 0
(10)
где '- = вХ1.
Уравнение (10) имеет один, и только один положительный корень, который обращает (9) в минимум.
Приведенная выше методика была реализована в программной среде МаШСАБ для экспоненциального закона распределения. Полученные результаты приведены в таблице. Таблица содержит асимптотически оптимальную длину интервала Х1 для нескольких различных к и соответствующую относительную асимптотическую информацию.
Т аблица
л
,=2
Оптимальная длина интервала Относительная асимптотическая информация
3 1,2071 в 0,8076
4 0,9898 в 0,8749
5 0,8474 в 0,9105
6 0,7456 в 0,9320
10 0,5179 в 0,9687
15 0,3851 в 0,9832
20 0,3110 в 0,9893
ЛИТЕРАТУРА
1. Cox D.R. Note on grouping. Journal of the American Statistical Association. 1957. Vol. 52, pp. 543−547
2. Gjeddebaek N.F. Contribution to the study of grouped observations. Application of the method of maximum likelihood in case of normally distributed observations. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1949, Vol. 32, pp. 135−159.
3. Gjeddebaek N.F. Contribution to the study of grouped observations II. Loss of information caused by grouping of normally distributed observations. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1956, Vol. 39, pp. 154−159.
4. Gjeddebaek N.F. Contribution to the study of grouped observations III. The distribution of estimates of the mean. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1957, Vol. 40, pp. 20−25.
5. Gjeddebaek N.F. Contribution to the study of grouped observations IV. Some comments on simple estimates. Biometrics, 1959, Vol. 15, pp. 433−439.
6. Кулдорф Г. Введение в теорию оценивания по группированным и частично группированным выборкам. М. :Наука,
1966.
7. Бодин Н. А. Оценка параметров распределения по группированным выборкам // Труды Математического института АН СССР. Т. III. 1970, 110−154с.
OPTIMIZATION OF SAMPLES GROUPING FOR ESTIMATED PARAMETER
IDENTIFICATION
Gluhov V.V., Marasanov L.O.
The minimization problem of variance estimates by observations grouping is considered.
Сведения об авторах
Глухов Вячеслав Васильевич, 1936 г. р., окончил МВТУ им. Баумана (1959), кандидат технических наук, профессор МГТУ ГА, автор более 100 научных работ, область научных интересов — техническая диагностика и оценка параметров полётной информации.
Марасанов Леонид Олегович, 1981 г. р., окончил МГТУ ГА (2004), старший преподаватель МГТУ ГА, область научных интересов — техническая эксплуатация авиационного оборудования.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой