Эллиптичность постановки краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Используя приведенные выше утверждения можно обосновать дальнейшее развитие теории пределов и ее применение для вычисления пределов в рамках обычного курса математики с небольшим объемом часов в техническом ВУЗе.
Список литературы:
1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 3. — 350 с.
2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. — М.: Физматлит, 2007. — Т. 1. — 435 с.
3. Щипачев В. С. Высшая математика / В. С. Щипачев. — М.: Высшая школа, 1985. — 375 с.
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н. С. Пискунов. — М.: Наука, 1972. — Т. 1. — 390 с.
5. Энгелер Э. Метаматематика элементарной математики / Э. Энгелер. — М.: Мир, 1987. — 270 с.
ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В НАПРЯЖЕНИЯХ
© Леонов А. В. *
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова,
г. Москва
Исследована новая постановка краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях. Получены условия правильной эллиптичности системы уравнений.
Новая постановка задачи несимметричной теории упругости
При решении задач несимметричной теории упругости для модели среды Коссера преимущественно используются постановки задач в перемещениях [1]. Но, для исследования вопросов прочности реальных материалов и конструкций, часто требуется нахождение не перемещений, а напряжений. При изначальном решении задачи в перемещениях нахождение напряжений связано с численным дифференцированием компонент вектора перемещений, что ведет к потере точности рассчетов. Такая проблема вызывает необходимость решения задач несимметричной теории упругости сразу в напряжениях для повышения точности вычислений. Классическая постановка краевой задачи несимметричной теории упругости в напряжениях для среды Коссера предполагает решение шести урав-
* Аспирант кафедры Механики композитов.
нений равновесия на компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений при выполнении восемнадцати уравнений совместности напряжений и удовлетворении шести граничным условиям для нахождения полного набора из восемнадцати компонент тензоров напряжений и моментных напряжений. В такой постановке число уравнений в четыре раза превосходит число граничных условий, что затрудняет подход к решению задач.
В новой постановке задачи, предложенной в работе [2], за счет разделения тензоров напряжений и моментных напряжений на симметричные и антисимметричные части и использования специального вида обобщенных уравнений совместности удается привести задачу к решению двенадцати обобщенных уравнений совместности при выполнении шести граничных условий и шести уравнений равновесия, отнесенных на границу. В такой постановке число уравнений совпадает с числом граничных условий.
Обобщенные уравнения совместности в напряжениях имеют вид:
а3 Да* + (а1 + (^ - ЯБ1)(2а1 + а3) — ЯБ3 (2а5 + а6))Д©?] + + (- а1 + (1 — 2QBl+ аз) — 2(Бз (2а5 + а6) + + (- аз + ((1 + Б1аз + Бз аб))(+) +
+ (- + я (1 + БЛ + Бзаб МдЛ + + а6 Д^? +(а5 + (- ЯБ1)(2а5 + а6) — ЯБ3 (2а2 + а4))Д, ы?] + (1)
+ (- а5 +(1 — 20Б1 + аб)-2(Бз ^ + а4))),] + + (- аб + б (Б1аб + Бза4%1-к, к] +) +
+ (6 + + Бз, а 4 = 0
а6 Да* +(а5 + (#'--Я'-Б2)(2а5 + а6)-Я '-Б3 (а + а3))Д©?] + + (- а + (1 — Б2)(2а5 + ав) — 2(Б3(а + аз)),] +
+ (- «6 + в'-(бз"З + ^))(& lt-/] +) + + а6 + Я'- (Б3"З + Б2а6 +
о
+ а4Д^ + (а2 + - Я'-Б2)(2а2 + а4) — Я'- Б3 (2а5 + а6))Д ц 3] +
+ (-а2 +(1 -2(БХ (+ а4)-2(Б (2а5 + а6))) + (}
+ (- а4 + в'-(1 + Бз а6 + Б2 а4 ^?д +) +
+ + Я'- (1 + БЗ"6 + Б2 а4 ^и,^] +
+ 2('-((1"З + Бза6)(] + ?]»" а'-тп) + + 2('-+ Бза4)(+ ])= 0
ее ^
где & lt-7у и л. — компоненты тензоров напряжении и моментных напря-
жений- © = & lt-кк и / = ?лш- а1, а2, а3, а4, а5, а6, Вь В2, В3 и В4 — независимые упругие константы среды Коссера, которые должны находиться экспериментально- ?,'-, Q, 2, Я, Я'- - произвольные константы, которые целесообразно задавать таким образом, чтобы максимально облегчить решение задачи.
Новая постановка задачи несимметричной теории упругости в напряжениях заключается в отыскании 12 независимых компонент симметричных тензоров & lt-Д /л. из решения 12 обобщенных уравнений совместности (1) и (2) при удовлетворении шести граничных условий:
Лцпи
= Si
= е
и шести уравнений равновесия на границе тела:
5… =0
у,. ?
йк & lt-л + Л
& gt- 1=0
& quot-ук ик '- г-и. ,])|?
— А ", А
(3)
(4)
(5)
(6)
Антисимметричные тензоры & lt- и, которые появятся в граничных условиях после разложения тензоров напряжений и моментных напряжений на симметричную и антисимметричную части, можно выразить через контурные интегралы:
(7)
& lt-А = В | [а1 ((c)А +©,?и)+ аз (& lt-и + & lt-,)+ а5(Л. 8ь +м,) +
Мо V У
+ аб ((, и + К,.)) + В-К + ВзкА0 0 /и = В2 / а2[ри, А + И,. З. 1 + а4(+ а5(®Аь +©, А.
Мо IV)
+ а6 (& lt- J + & lt-.)) + В2 к. (0 0 + Вз (c)0
где М0 — произвольная точка на границе тела ?, в которой заданы ком -поненты тензора вращения ю,/ и тензора искривлений к, а М — текущая точка с координатами хк.
Эллиптичность системы обобщенных уравнений совместности
(8)
СТЛ
?
?
Система называется правильно эллиптической [3], если порядок системы р — четное число (р = 2М), и для каждой пары линейно независимых
действительных векторов? и п полином Ь° (х,? + тп) комплексной переменной т имеет ровно М корней с положительной мнимой частью. Ь0 -главная часть некоторого дифференциального оператора [2].
Систему обобщенных уравнений совместности (1) и (2) можно рассматривать как линейную дифференциальную систему уравнений второго порядка относительно двенадцати независимых переменных. Главная
часть полиномиальной матрицы ||ь°(х,?), '- = 1,…, 12,. = 1,…, 12, будет иметь блочный вид:
Ь° =
(ьш А
VЬ Я /
Матрицы Ьш, Ьяи, ЬЬь и Ьж имеют размерность 6×6 и записываются в единообразном виде. В определителе каждой из этих матриц Ьх (х, % + тп) для ?=(1,0,0) и п =(0,0,1) можно выделить угол нулей размером 8×4, что значительно облегчает нахождение определителя этой матрицы, приведенного ниже:
Д = (1 + П) (- а3а4 + а 2 ^ + аз)(2а2 + а4)-(2а5 + аб)2)х х (1 + а4В2 + 2а6В3 + а62 (- В1В2 + В32)+ а3 (((1 + а4В2) — а4В32)) х (9) х 0 0 (- Я + 0(2 + 4%))(- Я'- + 0'-(2 + 4%'-))
Таким образом, правильная эллиптичность достигается при следующем выборе параметров:
— а3а4 + а6 ф 0 (2а1 + а3)(2а2 + а4)-(2а5 + а6)2 Ф 0
& quot-4) '- ^6)
1 + а4 В2 + 2а6 В3 + а62 (- В1В2 + В32)+ а3 (в1 (1 + а4 В2)-а4 В32) ф 0
0 ф 0 0 '-ф 0 — Я + 0(2 + 4%)Ф 0 — Я'- + 0'-(2 + 4%'-)ф 0
Таким образом, используя аппарат функционального анализа и результаты исследований линейных дифференциальных операторов, удается найти условия эллиптичности системы уравнений, составляющей новую постановку задачи несимметричной теории упрутости, что позволяет сде-
лать заключение о регулярности решений уравнений и точности априорных оценок в силу отсутствия действительных характеристических направлений.
Список литературы:
1. Nowacki W. Teoria niesymetrycznej spr^zystosci / W. Nowacki. — War-sawa: PWN, 1971. — 246 с.
2. Победря Б. Е. Статическая задача несимметричной теории упругости для изотропной среды / Б. Е. Победря // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2005. — № 1. — С. 54−59.
3. Агмон С. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы / С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг. — М.: ИЛ, 1962. — 205 с.
4. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными / Л. Хермандер. — М.: Мир, 1965. — 379 с.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЯЗЫКОМ СЛОВА
© Пайметов Н. Г. *
Амурский институт железнодорожного транспорта — филиал Дальневосточного государственного университета путей сообщения,
г. Свободный
Математические формулы — лишь удобный язык для изложения идей и методов математики. Сами же эти идеи можно описать, используя первичные и наглядные образы из окружающей жизни.
В математических работах … главное — содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык — это формулы. Если вообразить математику в виде огромного дома, то учёных, чьими трудами возведён этот дом, естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение небезосновательно. Когда каменщик возводит стену, то каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и скрепляется с ними раствором. Точно также в рассуждении математика каждое утверждение опирается на уже доказанное. Оно сцементировано с ними законами логики. Любая теорема или несколько теорем, в свою очередь, могут послужить обоснованием для какой-то новой теоремы.
Логически последовательная стройность утверждений — вот самое существенное и характерное свойство математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших её разделах — арифметике и геометрии. Со временем появи-
* Старший преподаватель кафедры «Высшая математика».

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой