Оптимизация несущего аэродинамического профиля методом сопряжённого градиента

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 629.7. 025:519. 6
ОПТИМИЗАЦИЯ НЕСУЩЕГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ СОПРЯЖЁННОГО ГРАДИЕНТА
© 2011 Е. В. Печеник
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Рассматривается задача оптимизации формы несущего аэродинамического профиля. Сформулирована функция цели, в которой помимо аэродинамических учитываются массовые характеристики профиля. Задача оптимизации решается при помощи метода сопряжённого градиента для вязкого несжимаемого течения. Прямая задача решается при помощи алгоритма SIMPLE в вычислительном пакете Star-CD. Сопряжённые уравнения решаются при помощи адаптированного алгоритма SIMPLE.
Функция цели, функции ограничений, проектные переменные, сопряжённые уравнения, несущий аэродинамический профиль.
Введение. В настоящее время проектирование формы несущего аэродинамического профиля опирается на экспериментальное и математическое моделирование. Методы вычислительной гидроаэродинамики (ВГАД) позволяют относительно дёшево и быстро проанализировать различные формы профиля. Эксперимент, в свою очередь, даёт возможность верифицировать результаты, полученные при помощи ВГАД. Однако перебор альтернативных вариантов не гарантирует получение оптимальной формы профиля. Поэтому актуальной проблемой является разработка эффективного алгоритма оптимизации аэродинамических форм для вязкого течения жидкости и газа. В работе используется метод сопряжённого градиента. Принципиальным отличием метода является возможность использовать большое количество проектных переменных (величин, определяющих форму профиля), так как машинное время решения задачи оптимизации практически не зависит от их количества.
При разработке метода за основу был взят непрерывный подход составления сопряжённых уравнений [1,2]. Прямая задача, описываемая осреднён-
ными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса для двумерного стационарного течения, решается при помощи алгоритма SIMPLE [3,4] в вычислительном пакете Star-CD. Сопряжённые уравнения решаются при помощи адаптированного алгоритма SIMPLE.
Помимо разработки эффективного алгоритма оптимизации важно адекватно сформулировать функцию цели. Аэродинамический профиль не только создаёт подъёмную силу, но и размещает в себе конструкцию крыла, необходимую для восприятия аэродинамических нагрузок. Масса этой конструкции (речь идёт о погонной массе сечения крыла) зависит, главным образом, от формы профиля и величины изгибающего момента, действующего в данном сечении. Таким образом, если в оптимизации учитывать только аэродинамические характеристики, можно получить профиль с высоким аэродинамическим качеством, но с неприемлемо высокой погонной массой. В результате общий эффект (например, топливная эффективность самолёта) может оказаться отрицательным. Погонную массу сечения крыла на основе геометрии профиля можно достаточно точно оценить при помощи так называемого силового фактора Im [5]. Поэтому задача оптимизации формулируется следующим образом: минимизиру-91
Ха, отклонение подъёмной силы от ис-
1
ходной величины — 2
Га — Га
а0
Уа,
и от-
ются лобовое сопротивление профиля р — давление- р — плотность- ц — вязкость.
За переменные поля течения «& gt-($) принимается вектор м& gt-=(р, и1, и2). Для вывода сопряжённых уравнений векторное уравнение (1) необходимо представить в вычислительном пространстве с системой координат & amp- такой, что контур исследуемого профиля лежит на оси
Щ ъе:
К
Я»
клонение силового фактора от исходно-
1
го значения — 2
где
-г---------- = 0 в области V
Уа — подъёмная сила текущего профиля-
Уао — подъёмная сила исходного профиля-
1 т — силовой фактор для текущего профиля-
1т0 — силовой фактор для исходного профиля.
Формулировка метода. Пусть задана функция цели I (и',$) и функции ограничений Я^, я)=0, где '-м (з) — переменные поля течения, 5 — проектные переменные. Функцией цели, например, может быть лобовое сопротивление тела, подъёмная сила или заданное распределение давления. Необходимо найти такие проектные переменные, при которых удовлетворяются функции ограничений и функция цели достигает своего локального минимума. Функциями ограничений являются уравнения Навье-Стокса для двумерного стационарного несжимаемого течения. Для удобства обозначим декартовы координаты х1, х2, а компоненты вектора скорости V — иу, и2. Также будем подразумевать суммирование по повторяющимся индексам г (1=1,2). Тогда уравнения Навье-Стокса могут быть записаны как
Ы Э/Т
Эх,.
д$
где ^ -
=
(2)
-------- = 0 в области V,
дхг
(1)
где

Щг 0
= риЩ + р8п ¦- II = - ° г-8 Л
РЩЩг + Р8г2. °Л8Л2 ,
Ъщ
дх-
+ -
дщ1
дхг
0, если і ф -11, если і = -
Ъх2 дх1
ЪХ 2 ЪХ 2
Ъх2 дх1
дХі
Б:
Из выражения (2) получим вариацию функций ограничений ЗЩн'^). Так как в вычислительном пространстве форма тела и соответственно область остаются неизменными при вариациях формы в физическом пространстве, то для любой точки вычислительной области можно записать
ЭЙ) _фг)
ЭХ, эх,
Запишем вариации для потоков в следующем виде:
= 8^г+8ГИ1, 8Е- = ^+& amp--1г,

0.
(3)
где вариации с индексом I — вклады, связанные с изменением переменных поля течения 8 м, а с индексом II — вклады, связанные с изменением формы тела
Рассмотрим функцию цели I, которую можно представить как интеграл по границе профиля в вычислительном пространстве
В? У:
I =| М, 5) ёБ§. (4)
Выражение для вариации функции цели можно записать:
8! = 18М^, 5) зВх. (5)
Уравнение (3) умножим на вектор
т
множителей Лагранжа, у=(уьу2,у3) в каждой точке рассматриваемой области Б проинтегрируем по ней, применив теорему
Остроградского-Гауса, и вычтем из выражения (5). В результате получим
8I =| 8 М (м& gt-, 5)& lt-ЖХ _ | пХу т _ 8Е, '-)ёБ^ +
х ЭХ
где пI — компоненты вектора внешней нормали к границе области В% в вычислительном пространстве.
Исходя из предположения, что на внешней границе рассматриваемой области вариации потоков вследствие изменения формы тела равны нулю, можно записать
8I = [8М _пХут (дЕг _ 8Е?)]^Вх +
+ № (& amp-, , — 8Р?, К +
(6)
+ ]^'- (8Р"г -Е,^.
Необходимо найти такие, чтобы первые два интеграла выражения (6) обратились в нуль. Таким образом, сопряжённые уравнения и соответствующие граничные условия можно записать в форме:
(ЭуТ (8Р"_ 8Р/, = 0- (7)
Бх х г
| [8М _ пХут (дР, _ 8Е?)]В = 0. (8)
В? р& gt-
Граничные условия для сопряжённых уравнений определяются видом функции цели. Положим, что функцией цели является вектор результирующей силы Т = (X, У), действующий на профиль, спроецированный на некоторое направление q = (41, 42). Тогда в вычислительном пространстве функцию цели представим как
= _4 | $ 2- (8ПР _ ал _
42
М (w, 5) = -^2 л [д^р _ а л) _
_ 422 л (дл 2 Р _ ал 2)
Отметим, что вдоль контура тела В^: пх = 0, п| = _1 и иу=и2=0 (граничное условие прилипания). Поэтому выражение (8) можно записать:
[8М+ут 8 (*2 _ ^)Ц =
(9)
_ |418 ($ 21Р _ $ 2 а 1 № 1 _
В? р& gt-
_ I1 428(^22р _ $ 2лал2)^Х1 +
+ 28 ($ 21р _ $ 2ла л)^Х1 +
+ 38($ 22Р _ $ 2ла]2)^Х1.
В? р& gt-
Из равенства (9) следует, что если принять у2=4^ а у3=42 на границе тела, то рассматриваемый интеграл обратится в нуль. Что касается1, то его можно выбирать произвольно на границе В^, так как независимо от его значения интеграл обращается в нуль. Граничные условия на внешней границе рассматриваемой области могут быть заданы различными способами, так как вариации потоков вследствие изменения формы тела на этой границе предполагаются равными нулю. Поэтому на внешней границе рассматриваемой области положим
^1=?2=?з=0.
Определив вектор множителей Лагранжа из уравнений (7), можно найти вариацию функции цели по формуле
8] = 1! уГ & amp-:№(•
в Э Хг
(10)
Вариации потоков представим как
ъе:
8РПІ = - 8я, 8Е* =-88.
и г ~ * иг ~
Ъя Ъя
ЪЕ
ЪЕ"
где -- и -- дя дя
определяются численно,
Согласно выражению (4)
варьированием соответствующего компонента вектора проектных переменных 5 при неизменном поле течения.
Тогда градиент функции цели есть
в
G
[ЭУ!
I эх,
Эя
dF7
Эя
dD
Как правило, градиент О не обладает той же гладкостью, что и исходный контур. Поэтому алгоритм оптимизации может оказаться неустойчивым. Во избежание этого в работе [2] предлагается заменить градиент О сглаженным градиентом G, который получается в результате решения неявного сглаживающего уравнения:
ЪО
G Э
=G
ЭХ1 ЭХ1
где е — параметр, влияющий на степень сглаживания градиента.
Таким образом, используя метод наискорейшего спуска, для вариации вектора проектных переменных можно записать:
85 = _аО,
где, а — положительное малое число, которое определяется в ходе численных экспериментов.
Прямая задача решается для вязкого турбулентного несжимаемого течения при помощи алгоритма SIMPLE в вычислительном пакете Star-CD. Число Рейнольдса Re «3,3

Статистика по статье
  • 25
    читатели
  • 6
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц. сети

Ключевые слова
  • ФУНКЦИЯ ЦЕЛИ,
  • ФУНКЦИИ ОГРАНИЧЕНИЙ,
  • ПРОЕКТНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ,
  • СОПРЯЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ,
  • НЕСУЩИЙ АЭРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ,
  • OBJECTIVE FUNCTION,
  • CONSTRAINT FUNCTION,
  • DESIGN VARIABLES,
  • ADJOINT EQUATIONS,
  • AIRFOIL

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы & mdash- Печеник Евгений Валерьевич

Рассматривается задача оптимизации формы несущего аэродинамического профиля. Сформулирована функция цели, в которой помимо аэродинамических учитываются массовые характеристики профиля. Задача оптимизации решается при помощи метода сопряжённого градиента для вязкого несжимаемого течения. Прямая задача решается при помощи алгоритма SIMPLE в вычислительном пакете Star-CD. Сопряжённые уравнения решаются при помощи адаптированного алгоритма SIMPLE.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой