Оптимизация предсказания времени разрушения твердых тел на основе представления об иерархической природе деформации и анализа истории нагружения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 376, 539. 4
Оптимизация предсказания времени разрушения твердых тел на основе представления об иерархической природе деформации и анализа истории нагружения
О. А. Плехов, И.А. Пантелеев
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614 013, Россия
В работе развита статистическая модель разрушения конденсированной среды, основанная на представлениях об иерархичности и самоподобии процессов деформации и разрушения. Объем материала представляется в виде совокупности взаимодействующих структурных элементов, объединенных по принципу фрактального дерева. Особенностью модели является использование численно-аналитического метода расчета функции распределения вероятности времени разрушения структурного элемента, что позволило получить аналитический вид функции для иерархических систем с большим числом элементов. Для учета влияния дисперсного накопления повреждений на величину времени разрушения системы предложена универсальная схема использования информации о разрушении единичных элементов и их влияния на плотность распределения вероятности разрушения системы в целом. Использование метода иллюстрируется расчетом вероятности времени разрушения образцов горных пород при квазиста-тических испытаниях.
Ключевые слова: прогнозирование времени разрушения, иерархическая модель, акустическая эмиссия
Optimization of fracture time prediction for solids using the concept of deformation hierarchy and loading history analysis
O.A. Plekhov and I.A. Panteleev
Institute of Continuous Media Mechanics UrB RAS, Perm, 614 013, Russia
The paper develops a statistical model for fracture of a condensed medium, which is based on concepts of deformation and fracture hierarchy and self-similarity. The material volume is represented as a system of interacting structural elements organized by the fractal tree principle. The model is peculiar in the use of a numerical analytical method for calculating the probability distribution function for fracture times of a structural element. This allows obtaining the analytical function for hierarchical systems with a large number of elements. To consider the influence of disperse damage accumulation on fracture time of a system we propose a universal scheme of using information on fracture of unit elements and their influence on the fracture probability distribution density of the system on the whole. The method is illustrated by the calculation of fracture time probability for rocks under quasistatic loading.
Keywords: fracture time prediction, hierarchical model, acoustic emission
1. Введение
В настоящее время накоплен значительный объем экспериментальных данных, свидетельствующих о том, что процесс разрушения хрупких и пластичных сред, включая геоматериалы и геосреды, обладает чертами иерархического самоподобия (мультискейлинг), которые могут быть связаны с различными проявлениями статистической автомодельности при переходах по иерархичности [1]. При этом принцип универсальной делимости, первоначально полученный для геоматериа-
лов, может быть распространен на мезо- и микроуровни, с которых начинается самоподобие процесса деструкции как хрупких, так и пластичных материалов [2]. Самоподобный характер разрушения различных структурных уровней приводит к появлению в макроскопических системах различных универсальных закономерностей разрушения (закон Андраде для ползучести [3], закон Омори и Гуттенберга-Рихтера для землетрясений [4−7] и др.). Несмотря на значительное число теоретических попыток объяснения универсальных закономер-
О Плехов О. А., Пантелеев И. А., 2008
ностей разрушения предсказание остаточного ресурса сложной структуры, состоящей из нескольких соединенных и взаимодействующих элементов, остается нерешенной проблемой для широкого класса практических приложений (разрушение инженерных систем, материалов и конструкций, сетей, предсказание землетрясений и т. д.).
Адекватное описание проблемы требует понимания физических закономерностей, лежащих в основе процесса накопления и развития мезодефектов в материале, и решения связанной термомеханической задачи. Однако для большого числа инженерных приложений, в частности в случае применения акустических методов мониторинга микроповреждений, возможно использование упрощенных схем, учитывающих основные процессы взаимодействия между мезообъемами материала. При этом статистическая проблема прогнозирования времени отказа конкретной системы принципиально отличается от стандартной задачи статистической физики о вычислении средних по ансамблю. В случае прогнозирования времени разрушения вычисляется не средняя термодинамическая характеристика ансамбля, а определяется величина, зависящая от времени наблюдения, истории нагружения и характерная исключительно для данной конкретной реализации.
Есть основания предполагать [5] универсальность процесса разрушения в терминах критических явлений в системах с большим числом взаимодействующих элементов, когда поведение системы приближается к среднему значению по ансамблю. Однако при этом теряется возможность использовать накопленную информацию о поведении системы (накоплении микроповреждений, их взаимодействии, росте и самоорганизации), существенно влияющую на конкретную реализацию времени ее разрушения.
В данной работе моделируется процесс разрушения материала на основе так называемой временно-зависимой иерархической модели связанных волокон [5,8] - системы взаимодействующих элементов с неизвестными случайными временами разрушения, когда элементы взаимодействуют путем передачи части нагрузки в момент локального разрушения. В [5] предложена математическая модель расчета функции плотности вероятности времени разрушения произвольного структурного элемента. В качестве исходной информации в модели используются статистические характеристики базовых элементов и закономерности их взаимодействия. Глобальная вероятность разрушения системы непрерывно уточняется в ходе эксперимента за счет использования накопленной информации о локальном разрушении системы, что позволяет непрерывно уточнять статистические характеристики разрушения данной конструкции.
В данной работе предложен оригинальный численно-аналитический метод, позволяющий существенно упростить расчет функции распределения вероятности
разрушения структурных элементов и получить приближенный аналитический вид функций плотности распределения вероятности времени разрушения элементов всех структурных уровней. Приближенная модель качественно повторяет основные особенности точной модели и обладает более широкими возможностями практического использования.
2. Математическая формулировка задачи
Рассматривается иерархическая структура элементов из N уровней. Первый уровень состоит из индивидуальных элементов, каждый из которых находится под напряжением а, второй уровень — из пар элементов, третий уровень — из двойных пар и т. д. Иными словами, структура представляет собой дискретное иерархическое дерево с коэффициентом координации 2. Показатель 2 является наиболее простым для иллюстрации работы модели. В реальных приложениях коэффициент координации должен быть равен коэффициенту универсальной делимости (6 для плоских задач и 9 для пространственных) [2]. На рис. 1 представлена схема материала в случае плоской симметрии. Топология системы задает закон взаимодействия элементов внутри системы. В случае разрушения одного из элементов группы его нагрузка пропорционально распределяется между элементами данной группы, в случае отсутствия несломанных элементов внутри группы его нагрузка пропорционально предается группам, связанным с данной на следующем иерархическом уровне.
Данная модель качественно описывает процессы дисперсного накопления повреждений и перехода от дисперсного к макроскопическому разрушению.
На рис. 2 представлено численное моделирование эволюции системы из четырех масштабных уровней, каждый элемент объединяет в себе шесть нижестоящих.
Из анализа рисунков видно, что модель качественно описывает основные стадии процесса разрушения: дисперсное накопление повреждений (65% времени жизни образца), переход от дисперсного к макроскопическому разрушению (65−90%) и макроскопическое разрушение.
Расчет вероятности разрушения системы в целом можно выполнить, используя идею точного расчета статистических закономерностей разрушения как иерархического процесса [5]. Важность подобного расчета заключается в том, что в реальности при испытании образца или эксплуатации ответственной конструкции мы
щрищирврщргр & quot- - ¦
(| [) [) Ц [) Р Уровень п
П Уровень п + 1
Рис. 1. Иерархическая модель материала в случае плоской симметрии. Взаимосвязи элементов соседних уровней
Время
Рис. 2. Пространственно-временное распределение разрушенных элементов (а) и количество разрушенных элементов в единицу времени на различных стадиях численного эксперимента для различных реализаций {б)
имеем дело с единичнои реализацией случайного процесса. Наличие дополнительной информации о характере накопления повреждений в данном конкретном образце позволяет уменьшить неопределенность его статистических характеристик и, как следствие, более точно предсказать момент разрушения.
Предположим, что время разрушения единичного элемента х описывается распределением Вейбулла:
чС-1
т=Т
х — 0
ехр
(1)
где с, b, Q — константы материала. В простейшем случае с = 1, 0 = 0, b- k~la~p (х), где а (х) — история нагружения. Плотность распределения может быть записана в виде:
/(х) = kcp (x)exp[-kcp (х)х].
Для учета влияния произвольных историй нагружения целесообразно использовать случайный процесс Пуассона:
/(х) = kop (x)ex р Р (х) = 1 — ехр
— kf op (z)dz о
(2)
— к а^^сЬ о
где Р (г) — вероятность разрушения до момента времени х- к, р — константы материала.
Используя (2), можно провести аналитические оценки времени разрушения. Допустим, что существуют две реализации х1? х2, если элементы работают в паре, то после разрушения элемента х, время х2|1 может быть оценено, используя (2), как
1-ехр
-к fopdz
= 1 — ехр
-k]ap6z-k J aapdz
ехр (~кх2ор) = expf-to^ - акор (х2^ - хх)], (3)
х2 = XI + а (х2|1 -хД
х2|1 = хг + а1(х2 — хг)9
где, а — коэффициент, учитывающий изменение напряжения в элементе при разрушении соседнего элемента. При, а = 2 соотношение (3) принимает вид:
Xi + х9
х9|1 = -1 '- 2
(4)
Можно легко показать, что в случае п элементов в одном блоке время разрушения блока определяется соотношением
2П =-!& gt--• (5)
И 1=1
Если время разрушения подчиняется соотношению (3), тогда время разрушения пары может быть рассчитано как
Х2|1
/(*2|1) = / ЛХ1) ЛХ1 + а (^Х2|1 & quot- Х1))ЙХ1 +
О
Х2|1
+ fiXl) Д*2 + а (*2|1 _ *2))& lt-&-2 •
(6)
Применяя соотношение (6) к функциям следующего уровня, можно получить вероятность разрушения группы из четырех, восьми и более элементов. Реализация алгоритма расчета функции плотности распределения вероятности всего иерархического ансамбля требует значительных вычислительных затрат и практически не может быть проведена для реальных систем.
3. Моделирование эволюции линейной системы (время жизни элемента линейно зависит от приложенного напряжения, а = 2)
В данном случае наиболее эффективным подходом для расчета эволюции статистических моментов распределения является метод характеристических функций. Характеристическая функция единичного элемента может быть записана как
Ех (() = М (ехр (г'-& amp-)), (7)
1. 01
І1
3 4 5 6 7
Количество уровней
ТК
9 10
Количество уровней
Рис. 3. Эволюция первого (а) и второго статистических моментов (б) в зависимости от числа уровней в системе. Точками нанесены средние по 20 реализациям процесса разрушения системы при различном числе уровней
где М (у) — математическое ожидание величины у- ^ - вещественный параметр- і - комплексная единица. Для распределения Вейбулла, используя (1) и (2), получим:
ЕЛ{) = ТТ~- (8)
кар — и
Время разрушения ансамбля, состоящего их двух элементов, можно оценить следующим образом. Характеристическая функция композиции случайных величин может быть определена как
е2 (0
П Ех
І=1
І
(9)
Используя соотношение (9), статистические моменты композиции элементов можно рассчитать следующим образом:
тк (г) = ГкЕ{к), (10)
где к- порядок момента- (0) — значение к-й про-
изводной характеристической функции при t = 0.
При о,
мента, используя (4) и (9), имеем:
Я-
Ех#) = ~
— крр для каждого индивидуального эле-
а — - Ы
т1(х]) = -, т2{х]) =. аУ
Для моментов п-то уровня соответственно
щ (гп)='-1& lt--=
у=1 ОС аj j=k=(X
Соотношения (11) позволяют рассчитать статистические моменты произвольного уровня.
Для простейшего случая = 1, V/, первый момент системы не меняется при увеличении ее сложности тх (гп) = 1, /п, изменение второго момента представлено сплошной линией на рис. 3. Точками на рис. 3 представлены численно полученные реализации случайного процесса при различных уровнях сложности системы (числе уровней). По мере увеличения числа элементов суммарная нагрузка на систему возрастает, что приводит к детерминированности разрушения в момент, соответствующий математическому ожиданию ее составляющих элементов.
4. Моделирование эволюции нелинейной системы (время жизни элемента нелинейно зависит от приложенного напряжения, а & gt- 2)
В случае, а & gt- 2 соотношения (11) не описывает эволюцию статистических моментов распределения вероятности разрушения системы. Функция распределения усложняется с каждым шагом, и ее точный расчет становится затруднительным для систем с числом уровней более восьми.
Для моделирования эволюции плотности распределения для произвольного случая возможно использование метода последовательных приближений. Для этого вместо соотношения, связывающего времена разрушения элементов:
а~1×2 — (ос-1 — 1) х1, х1& lt-х2,
*211 = -1, -1 А
[а. ^-(а -1)х2, х2 & lt- хх, запишем видоизмененное соотношение (4):
Хл + Хо
*2Ц = -
(12)
ск = 0.
где — решение уравнения
z аг-(а-1)х
I }/(х)/{у)Ау6х —
z^/2 Е, г-х ^
— ) ишшуйс
0 х у
Использование уравнения (13) эквивалентно замене области интегрирования на выпуклую фигуру, что позволяет избежать необходимости поиска функции / (х2|1) на каждом шаге и записать рекурсивную формулу для ее вычисления:
(13)
/-,(л-) = /с" {ка1') Щ/ ехр -карЦ^х
І=1 І=1
-Р"
(-1)
Р"+г+1
Р"!
¦=ог!((3″ -г)!(Р" + г + 1)2Р'-
+Г+1 '
Ри = 2″ -1.
Количество уровней
Рис. 4. Эволюция второго (а) и первого статистических моментов (б) в зависимости от числа уровней в системе (для систем с фиксированной функцией распределения). Точками нанесены средние по 20 реализациям процесса разрушения системы при различном числе уровней
Первый и второй статические моменты функции (14) могут быть записаны как

щ (2п) = -
т2(г")=-
коРШ1
1=1 2& quot-
(кор)2 ГК?
/'-=1
Решая соотношение (13) методом направленного поиска, на каждом уровне системы получаем следующую зависимость плотностей распределения уровней системы = {1, 2. 667, 2. 47, 2. 37, 2. 17, 2. 195, 2. 10, 2. 08,… }:
/(х) = {ехр (-х), 8. 428ехр (-2. 667л'-)д'-3,
508. 437 ехр (-6. 325х) х7,
2. 427−106 ехр (-14. 333х) х15,
1. 380−1014 ехр (-31. 748х) х31,
4. 618 • 10& quot-и ехр (-69. 687х) х63,
1. 050−1066 ехр (-152. 614х) х127,
4. 256 • 10 141 ехр (-334. 226х) х255,…}.
На рис. 4 представлена эволюция статистических моментов иерархической системы. Каждый элемент изначально имеет одинаковые статистические характеристики и находится под напряжением а. Увеличение числа элементов в системе приводит к увеличению суммарного усилия, приложенного к системе и детерминированному поведению.
5. Учет информации о дисперсном разрушении
системы в процессе эксплуатации
Информация о дисперсном накоплении поврежде-
ний, полученная в ходе нагружения образца, сущест-
венно влияет на степень неопределенности времени раз-
рушения. Отсутствие информации о разрушении в неко-
торый момент времени t само по себе влияет на вид
функции распределения вероятности. Условная вероят-
ность разрушения образца при условии, что он не разрушился до момента времени t, может быть определена по теореме Байеса:
р{х) = р{хт-р{()).
Тогда функция распределения единичного элемента в момент времени t принимает вид:
/(х, 0 = кар ехр[-кар (х -1), соотношение (6) может быть записано как Х2|1
/(х2|г& gt- 0 = //(*!& gt- 0/(*1 +0с (х2|1 -ХХ), №хх +
Х2|1
+ |/(*2 & gt- 0/0*2 +а (*2|! -Х2)& gt- 0^*2 •
*
В рамках метода последовательных приближений предлагается построить следующую схему. Функции распределения элементов старших уровней в произвольный момент времени имеют вид:
1п (х-1) = кп (кор)г ШГ х
1=1
хехр
-кор П?-(*-0
1=1
(х~Ф,
П+1
2
(-1)Л'+г+1ри!
r^r^n-r)^n+r +)2^r+V
Ри = 2& quot- -1.
Предложенная модель качественно описывает эволюцию функции распределения в зависимости и сложности системы (рис. 5). Точность результата может быть улучшена уточнением подбора констант на каждом структурном уровне.
Разрушение элемента первого уровня приводит к пе-ренормированию функции плотности распределения п-го уровня на величину
1(х) = -^-карх ГК,-.
Ри 1=1
На рис. 6 представлено влияние учета информации о разрушении одного элемента в момент времени 3 для
Время
Рис. 5. Эволюция функции распределения времени разрушения системы в зависимости от сложности (числа элементов). Сплошная линия — точный расчет, пунктир — результаты расчета модели Рис. 8. Характерная картина разрушения карналлита
Время
Рис. 6. Эволюция функции распределения времени разрушения системы при получении информации об единичном случае разрушения. Сплошная линия — точный расчет, пунктир — результаты расчета модели
Время
Рис. 7. Эволюция функции распределения времени разрушения системы, состоящей из 10 уровней, при получении информации о разрушении 60 и 600 единичных элементов
системы из восьми элементов. Дополнительная информация уменьшает как дисперсию, так и среднее время жизни системы. На рис. 7 представлены результаты расчета эволюции функции распределения системы для системы из 1024 элементов при одновременном разрушении 60 и 600 элементов в момент времени 3.
6. Прогнозирование времени разрушения карналлита при одноосном сжатии
Для апробации разработанного численно-аналитического метода прогнозирования времени разрушения системы были проведены эксперименты на одноосное
сжатие карналлита. Образцы в форме кубов с характерным размером 60 мм изготовлены из соляных пород Верхнекамского калийного месторождения. В экспериментах исследовалась акустическая активность образцов в процессе их квазистатического сжатия. Скорость деформирования составляла 0.2 мм/мин, порог чувствительности для регистрации импульсов акустической эмиссии 29.8 дБ. При проведении экспериментов использовались электромеханический пресс 2уіск 250, для регистрации сигналов акустической эмиссии — система Уаііеп АМЗУ 5, укомплектованная низкочастотными датчиками АЕ104А (диапазон частот 50−400 кГц). Характерная картина разрушения карналлита представлена на рис. 8.
На рис. 9 представлена зависимость напряжения от времени для проведенных экспериментов. Процесс деформирования карналлита теряет свою устойчивость после достижения напряжения 8 МПа. Именно этот момент времени можно считать наиболее важным событием, требующим статистического прогноза.
При реализации метода прогнозирования были приняты следующие гипотезы:
— образец состоит из пяти уровней-
— каждый уровень состоит из 10 элементов-
Ъ с
Рис. 9. Совмещенные диаграммы деформирования и скорости поступления импульсов акустической эмиссии (низкочастотный диапазон)
^t=150c
Момент
х& quot-'-"-' разрушения
о о ю II
= 100 с

t = 0 с

О 200 400 600
Ъ с
Рис. 10. Распределение времени разрушения образца для различных моментов времени начала прогноза
-регистрируемые импульсы акустической эмиссии соответствуют частичному разрушению элементов-
— полному разрушению элемента на произвольном уровне соответствует 418 импульсов акустической эмиссии (всего зарегистрировано в эксперименте до момента потери устойчивости 20 900 импульсов).
Согласно принятым гипотезам для разработанного численно-аналитического метода актуальным является сам факт генерации акустического сигнала, а не местоположение его источника. Данное обстоятельство, несомненно, является преимуществом разработанного метода.
Результат прогнозирования представлен на рис. 10. Накопление информации в процессе деформирования изменяет статистические моменты плотности распределения времени жизни системы. В табл. 1 представлены зависимости первого и второго статистического момента от времени. Для проведенных экспериментов прогноз времени разрушения образца из карналлита за 6 с до разрушения отличался от фактического времени до разрушения в среднем на 4−6 с в меньшую сторону.
Этот результат позволяет сделать вывод о применимости данного метода к прогнозированию процессов разрушения конструкций.
Таблица 1
Эволюция статистических моментов
Момент времени t, с 0 50 100 150
Математическое ожидание, с 234 53. 44 103.1 151. 1
Дисперсия, с 50 0. 718 0. 65 0. 3
7. Заключение
В работе предложена статистическая модель разрушения твердого тела, основанная на представлениях об иерархичности и самоподобии процессов разрушения. Показано, что учет структурных особенностей материала (принципа универсальной делимости) в сочетании с механическими закономерностями взаимодействия структурных элементов позволит получить в численном эксперименте основные стадии эволюции микроповреждений в материале.
Разработана численно-аналитическая схема определения статистических характеристик мезообъемов материала, позволяющая проводить непрерывное уточнение оценки остаточного ресурса. Предложенная схема позволяет работать с системами с большим числом структурных элементов и может быть использована в практических приложениях. В частности, показана эффективность модели при определении времени разрушения образцов горных пород при квазистатическом сжатии.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 07−08−96 001, 07−01−91 100-АФГИРа).
Литература
1. Наймарк О. Б. Структурно-скейлинговые переходы и автомодельные закономерности развития землетрясений // Физ. мезомех. -2008. -Т. 11. -№ 2. -С. 89−106.
2. Макаров П. В. Об иерархической природе деформации и разрушения твердых тел и сред // Физ. мезомех. — 2004. — Т. 7. — № 4. -С. 25−35.
3. Andrade E.N. da С. On the viscous flow in metals, and allied phenom-
ena//Proc. R. Soc. A. — 1910. -V. 84. — No. 567. — P. 1−12.
4. Ouillon G., Sornette D. Magnitude-dependent Omori law: Theory and empirical study // J. Geophys. Res. — 2005. — V. 110. — B04306 (doi: 10. 1029/2004JB003311).
5. Sornette D., Andersen J. V. Optimal prediction of time-to-failure from information revealed by damage // Europhys. Lett. — 2006. — V. 74. -P. 778−784.
6. Gutenberg B., Richter C.F. Magnitude and energy of earthquakes // Ann. Geophys. — 1956. — V. 9. — P. 1−15.
7. Gutenberg B., Richter C.F. Frequency of earthquakes in California // Bull. Seismol. Soc. Am. — 1944. — V. 34. — No. 4. — P. 185−186.
8. Newman W.I., Turkotte D.L., Gabrielov A.M. Log-periodic behavior of a hierarchical failure model with applications to precursory seismic activation // Phys. Rev. E. — 1995. — V. 52. — No. 5. — P. 4827−4835.
Поступила в редакцию 08. 04. 2008 г.
Сведения об авторах
Плехов Олег Анатольевич, к.ф. -м.н., старший научный сотрудник ИМСС УрО РАН, poa@icmm. ru Пантелеев Иван Алексеевич, аспирант ИМСС УрО РАН, pia@icmm. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой