Оптимизация распределения толщины пластины в задаче панельного флаттера

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Atmospheric Environment. — 2006. — № 2 40. — Р. 674 685.
5. High Resolution Limited Area Model [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: //hirlam. org.
6. The European Centre for Medium-Range Weather Forecasts [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: //www. ecmwf. int/about.
7. National Weather Service — Internet Weather Source. Comment on the NWS Information Activity Policy [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: //weather. noaa. gov.
8. Официальный сайт гидрометеорологического центра Республики Беларусь [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: //www. pogoda. by.
9. Numerical weather prediction models UKMET [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: // meteocentre. com.
10. GRIB File Viewer — Weather data visualization [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: // www. zygrib. org/index. php? page=abstract_ru.
11. Co-operative Program for Monitoring and Evaluation of the Long-range Transmission of Air Pollutants in Europe. Официальный сайт [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: //www. emep. int.
12. A refinement of the emission data for Kola Peninsula based on inverse dispersion modeling / M. Prank, M. Sofiev, H.A.C. Denier van der Gon, M. Kaasik, T.M. Ruuskanen and J. Kukkonen // Atmospheric Chemistry & amp- Physics. — 2010. — № 10. -P. 10 849−10 865.
13. Grid Analysis and Display System (GrADS) [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http: // grads. iges. org/grads.
УДК 533
Кудрявцев Борис Юрьевич
кандидат физико-математических наук Московский государственный машиностроительный университет
abit7@yandex. ru
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЛЩИНЫ ПЛАСТИНЫ В ЗАДАЧЕ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА
С применением поршневой теории исследована устойчивость прямоугольной пластины переменной толщины, находящейся в потоке газа. Предложен вариант решения задачи оптимизации распределения толщины. С использованием метода Галеркина в двучленном приближении найдена критическая скорость, проведен параметрический анализ.
Ключевые слова: флаттер, сверхзвуковой поток газа, пластина переменной толщины, устойчивость.
Задача о флаттере пластины постоянной толщины изучена достаточно подробно как с использованием линейной поршневой теории, так и в случае некоторых других новых постановок [1−6]. При этом работ, где исследовалась бы устойчивость в потоке газа пластины переменной толщины или жесткости, не так много, и исследована в них, как правило, только бесконечная полоса [7]. Исключение составляют статьи [8- 9], в которых рассмотрена конечная пластина, составляющая часть поверхности тонкого клина. В предлагаемой работе представлено исследование задачи линейного флаттера прямоугольной пластины переменной толщины в рамках линейной поршневой теории. Предложен вариант решения задачи оптимизации распределения толщины для повышения устойчивости.
Рассмотрим прямоугольную пластину длины
11 и ширины 12 с шарнирно опертыми краями. В прямоугольной системе координат пластина занимает область {0 & lt- х & lt- 1/ s, 0 & lt- у & lt- 1}, ось ОХ направлена по стороне длины 11. Пластина обтекается сверхзвуковым потоком газа. Вектор скорости потока лежит в плоскости пластины, угол между
ним и осью ОХ обозначим через д. Толщина пластины будет переменной величиной
h = /0 + 3 • f (х, у), где f (х, у) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, а 3 — малый параметр. Тогда цилиндрическую жёсткость с точностью до малых высшего порядка можно записать так:
Е
D'-.
12(1 -V2)
(h3 + 3h028f (х, y)) = D0(1 + в/(x, y)),
где D0 = 0
38
0 — «, б = -, Е — модуль Юнга, у —
0 12(1 -У2) /о
коэффициент Пуассона материала пластины. Согласно [6] линейное уравнение колебаний будет иметь вид
д2f 82w д2 f д2w д2f д2w д2 f д2w в'- аХГ+~дуГ~дуг+V~дуг+V~дуГ+
«», 32f д2w «affs3w д3w +2(1 -v):, , +I1+
дхду дхду дх 1 дх дхду
+2 f 1+2(1 -v) [f ^+f II
ду уду дх ду J 1 дх дхду ду дх ду J J
/1, м2 кр [ 1 Sw _. «Sw. «SW |
+(1 + вf) A2w±I--+ M cos0 — + M sm0- 1 +
D0 I c0 дt дх ду J
© Кудрявцев Б. Ю., 2014
Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова ¦ № 1, 2014
1 1
+fi +? f = о
D0 ^ 3J) dt2
с соответствующими граничными условиями, где p и с0 — давление и скорость звука в покоящемся газе, w — прогибы пластины, р — плотность материала, к — показатель политропы, v — скорость
потока, число Маха M = -.
со
Пусть функция f может быть представлена в виде
f (x, y) = /(x) + f2(y),
где /(x) и f2(y) — симметричные относительно соответствующих середин сторон пластины функции, удовлетворяющие условиям:
1/ s i
J fi (x)dx = 0, J f2(y)dy = 0.
(1)
Решения будем искать в классе функций
w = exp (mt)(C sin jsx sin к y + c2 sin 2ksx sin к y) ,
c1, c2 e R.
Критическую скорость потока v^ будем находить как наименьшую скорость v, при которой комплексная частота т переходит в правую полуплоскость. Проведя процедуру Бубнова-Галеркина, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Условие существования нетривиального решения составляет характеристическое уравнение, содержащее т и M. Переходу от устойчивого состояния к неустойчивому будет соответствовать чисто мнимое значение т. Приравняв к нулю действительные и мнимые части уравнения, получим с точностью до слагаемых первого порядка малости относительно S выражение для нахождения
= V / Co:
1/s
M2a = M02 + sMJ J fj (x)sin2 sjxdx +
o
1/s j
+sM2 J f (x) sin2 2sjxdx + sM3 J f2 (y) sin2 jydx.
oo
Задача оптимизации состоит в том, чтобы определить такую функцию f при которой M a принимает наибольшее значение при некоторых дополнительных ограничениях. В качестве ограничений, следуя [10], возьмем условия (1) и
1/s 1
J (f& quot-(x))2dx & lt- С, J (f& quot-(y))2dy & lt- С.
o o
Первые условия означают постоянство перпендикулярного сечения пластины при фиксированной другой координате, вторые — что решение задачи ищется в классе гладких функций.
Функция Лагранжа рассматриваемой задачи имеет вид:
L (f) = f (x) sin2 ksx + A f1 (x) sin2 2ksx + +^2 (/'-(x))2 + Af (x) + AJ2 (y) sin2 к y +
+A (Ж y))2+f y),
где a — неопределенные множители. Из условий стационарности получаем систему уравнений
sin2 ksx + a sin2 2ksx — 2A2f/(x) + A = 0 ,
A4 sin2 jy + A6 — 2A5f2& quot-(y) = 0,
из которой находим
«, «A + 2A +1 2 cos2jsx A cos4jsx
/(x) = r?1 +ц2 x ±1−3-x ±-- + -1---,
8A2 16к s A2 64к s A2
, 2A6 + A4 2 A4 cos2jy
f2(y) = + «2y+& quot-AA + -AJT
__ A + 2A3 +1 2Аб + A4 Обозначим ц3 = -1−3-, p3 = ---и при-
8А0
8А& lt-
мем условия нормировки 16ж2 s 2А2 = 1,
16жА
А
= 1.
Тогда
f (x) = r1 + r?2 x + r3 x2 + cos 2nsx +
А cos 4^sx
4 —
f2(У) = M1 + M2y + Мзy2 +cos2жу.
Параметры r]i и находятся из граничных условий и ограничения (1).
Учитывая симметричность функций /(x) и f2(y), положим:
/'-(0) = /'-(1 / s) =, /2'-(0) = f2'-(1) =.
Из (1) получаем:
У
Ml = -, М2 = У= Мз =-У.
6
Окончательно будем иметь
f (x) = -^ + wx — W5x2 + cos 2^sx + -1 cos 4к sx, 1 6s2 4
У
f2(y) = - т+уу (1 — y)+cos 2^y.
6
При этом для достижения эффекта оптимизации знак S нужно выбирать в зависимости от коэффициентов M t.
В качестве примера рассмотрим стальную пластину, находящуюся в потоке воздуха, при следующих значениях параметров:
p = 105dr, к = 1,4, п0 = 330е /п,
E = 2 •1011dr, р= 8−103/ е 3, v = 0,3,
h0 = 0,001 е, l2/ h0 = 250.
Функцию f возьмем в виде:
1 2
Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова ¦ № 1, 2014
Таблица 1
Значения критической скорости для квадратной пластины
Параметры уравнения e = 0,01 e = -0,0l
m = n = 0, = 0, у = 0, — = 0 3,23 3,23
m = n = l, Xl = 0, у = 0, — = 0 3, l9 3,26
m = n = l, Я1 = 0, у = 12, — = 12 3,20 3,25
m = n = l, Xl = 0, у = -l2, — = -l2 3, l8 3,28
m = n = l, Al = 4, у = 0, — = 0 3, l7 3,29
m = n = l, Al = 4, у = -l2, — = -l2 3, l6 3,30
m = n = 0, Xl = 4, у = -l2, — = -l2 3, l9 3,26
m = n = l, = -4,у = -l2, — = -l2 3,20 3,26
m = n = l, Xl = -4,у = l2, — = l2 3,22 3,24
m = n = l, Al = 4, у = 0, — = -l2 3, l6 3,30
m = n = l, ll = 4, у = -l2, — = 0 3, l7 3,29
m = n = l, ll = 0, у = 0, — = -l2 3, l8 3,27
m = n = l, ll = 0, у = -l2, — = 0 3, l9 3,27
Таблица 2
Значения критической скорости для удлиненной вдоль потока пластины
Параметры уравнения e = 0,03 e = -0,03
m = n = 0, ll = 0, у = 0, — = 0 l, 32 l, 32
m = n = l, Xl = 4, у = -l2, — = -l2 l, 28 l, 38
m = n = l, Xl = -4,у = -l2, — = -l2 l, 29 l, 34
m = n = l, ll = 4, у = l2, — = l2 l, 29 l, 35
m = n = l, Xl = -4,у = l2, — = l2 l, 3l l, 33
m = n = l, ll = 4, у = l2, — = -l2 l, 28 l, 36
m = n = l, ll = 4, у = -l2, — = l2 l, 29 l, 36
Таблица 3
Значения критической скорости для удлиненной поперек потока пластины
Параметры уравнения e = 0,0l e = -0,0l
m = n = 0, ll = 0, у = 0, — = 0 2,72 2,72
m = n = l, Al = 4, у = -l2, — = -l2 2,64 2,80
m = n = l, Al = -4,у = -l2, — = -l2 2,69 2,75
m = n = l, Xl = 4, у = l2, — = l2 2,67 2,76
m = «= l, Al = -4,у = l2, — = l2 2,72 2,7l
m = n = l, ll = 4, у = l2, — = -l2 2,64 2,79
m = n = l, ll = 4, у = -l2, — = l2 2,66 2,77
f (x, y) = -у + ух — у/sx2 + m cos 2nsx + 6s
±cos4xsx- - + - y (l- y) + ncos2^y. 46
Результаты вычислений критической скорости содержатся в таблицах. В таблице l — для квадратной пластины (s = 1, в = 0), в таблице 2 — для удли-
ненной вдоль потока (5 = 2/3,0 = 0), в таблице 3 -для удлиненной поперек потока (5 = 2/3,0 = ж/2).
Из таблиц видно, что критическая скорость достигает экстремальных значений для функций f полученного выше вида (значения коэффициентов
ц/, У, и, А могут варьироваться и выбираются с учетом требования достаточно малого изменения тол-
Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова ¦ № l, 2014
1 3
щины). Как и отмечалось ранее [8], утолщение к центру увеличивает критическую скорость, а к краям — понижает устойчивость. Концентрация материала пластины вдоль стороны, параллельной потоку, играет большую роль, чем вдоль перпендикулярной к нему. Наибольшую и наименьшую величину критическая скорость во всех случаях достигает при одинаковых минимальных и максимальных значениях е1 и е2 соответственно. Удлинение пластины поперек потока усиливает эффект изменения толщины, а вдоль — смягчает. Неравномерное распределение материала вдоль одной стороны не оказывает заметного влияния на зависимость критической скорости от изменения толщины вдоль другой стороны.
Библиографический список
1. Алгазин С. Д., Кийко И. А. Флаттер пластин и оболочек. — М.: Наука, 2006. — 248 с.
2. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой полосы // Депонир. в ВИНИТИ. — 1994. — № 3059-В94.
3. Кудрявцев Б. Ю. Нелинейные аэроупругие колебания пластины // Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2004 — № 4 — С. 16−19.
4. Кийко И. А., Показеев В. В. Колебания и ус-
тойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. — 2005. — Т. 401. — № 3. — С. 342−344.
5. Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа, при умеренных сверхзвуковых скоростях // Известия ТулГУ, сер. Матем., мех., информатика. — 2005. — Т. 11 — С. 99−102.
6. Кийко И. А., Кудрявцев Б. Ю. Флаттер прямоугольной панели, составляющей часть поверхности тонкого клина // Вестн. МГУ Сер. 1: Мат. Мех. -2011. — № 2. — С. 59−62.
7. Кийко И. А., Кудрявцев Б. Ю. Флаттер упругой полосы переменной жесткости // Депонир. в ВИНИТИ. — 1997. — № 1103-В97.
8. Кудрявцев Б. Ю. Задача о флаттере пластины переменной толщины в уточненной и дополненной постановке // Известия МГТУ МАМИ. — 2011. -№ 1. — С. 231−234.
9. КадыровА.К. Флаттер пластины переменной жесткости // Изв. ТулГУ Сер. Мат., мех., инф. -2007. — Т. 13. — Вып. 2. — С. 76−81.
10. БрадусьА.С., КартвелишвилиВ.М. Приближенные аналитические решения в задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций // Изв. АН СССР, МТТ. — 1981. — № 6. — С. 110−139.
УДК 543. 544
Лапко Евгений Юрьевич
кандидат химических наук Военная академия радиационной, химической и биологической защиты им. Маршала Советского Союза С. К. Тимошенко
y_lapko@mail. ru
Лапко Ирина Викторовна
Военная академия радиационной, химической и биологической защиты им. Маршала Советского Союза С. К. Тимошенко
i_lapko@mail. ru
ОСОБЕННОСТИ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ К РАЗРАБОТКЕ СПОСОБОВ ПРОБОПОДГОТОВКИ ОБЪЕКТОВ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
Авторами проведен анализ существующих подходов к разработке способов пробоподготовки образцов объектов окружающей среды для проведения количественного химического анализа с использованием методов хроматографии.
Ключевые слова: методический подход, пробоподготовка, газохроматографические методы анализа.
Результаты точного и тщательного анализа теряют всякий смысл в случае неправильного отбора пробы и неверной ее подготовки для выполнения анализа. Поэтому важно, чтобы в результате пробоотбора проба была не только представительной и достаточной для анализа, но и защищенной от любых случайных воздействий, вызывающих неконтролируемые изменения в ней определяемого вещества.
Аналитическая процедура определения компонентов в образцах различного агрегатного состояния включает предварительную обработку образца, связанную с необходимостью концентрирования анализируемых веществ и сокращения компонентного состава пробы. Это необходимо учиты-
вать при подборе методов и пробоотборных устройств, при этом желательно совмещение функций пробоотбора и концентрирования, хранения и транспортировки проб.
Основным требованием к отбору пробы является ее достаточная представительность относительно объекта исследования. Информация, полученная от пробы, должна быть математически точным отражением информации, заложенной в объекте исследования.
В настоящее время используется методический подход к разработке способов пробоподготовки образцов объектов окружающей среды при проведении их количественного химического анализа, основанный на установлении физико-химических
Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова ¦ № 1, 2014
© Лапко Е. Ю., Лапко И. В., 2014

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой