Энергетический спектр димера в модели Хаббарда в приближении статистических флуктаций

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

После приведения к безразмерному виду система уравнений Навье-Стокса и уравнение Лагранжа приняли вид:
и, -dv «1 д-р. 1 /д2и, д2и
х ду р дх Re дх ду)
др + 1 /а2и + д2й ду + Re 3×2 + ду2)
ди , — аи , — dv
5л-= + ы- + и —
at ах ду р
, dv. -дй. -dv «1
5л-= + v- + v- _ -?ы=
at ах ду р ду
дй + dv _ Q дх ду
d. UQ 3 р Up
di 4 D -р^о-
+ C"mI?(^ + 3. 15=^= |Хрр|
Ррйр-у|КеНЭу|
a^o _ 3 ^ Wp
4 Dp2
+ c
Pp dt
P d (u-u~) dt
I 0−1 г up 1 —
+ 3. 15== I-p- - q
Ppdp у Re» dy a
В данной работе проведено численное исследование двухфазного течения вязкой несжимаемой жидкости в плоском прямолинейном канале длиной L, высотой Hh (рис. 1). Вектор скорости Vt задан двумя проекциями u, v на оси х, у направления соответственно. На входе в канал задавался несимметричный профиль скорости — максимум скорости был смещен вверх.
Рис. 1 плоский прямолинейный канал
Когда течение установилось, были найдены траектории частиц, выпущенных из различных точек входного сечения (рис. 2).
1
0,75-
0,5-
0,25-
Рис. 2 Траектории движения частиц в потоке
2
3
4
6
7
8
9
10
Первоначально частицы движутся по направлению к верхней стенке, затем опускаются и во второй половине канала перемещаются параллельно стенкам.
Литература
1. Многокомпонентные жидкости: [Электронный ресурс] URL: http: //hydrauHc-drive. ru/lektsii-gidravHka/69-mnogokomponentnye-zhidkosti. html.
2. Е. В. Бурятский, А. Г. Костин, Е. И. Никифорович, Ч. Н. Розумнюк Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление// Прикладная гидромеханика 2008. Том 10, № 2 с. 13−23 Институт гидромеханики НАН Украины, Киев.
3. А. А. Юнн, Б. А. Крылов Расчет и моделирование турбулентных течений с теплообменом, смешением, химическими реакциями и двухфазных течений в программном комплексе FASTEST-3D: Учебное пособие. — М.: Из-во МАИ, 2007 г. — 116с.
4. Липанов А. М., Кисаров Ю. Ф., Ключиков И. Т. Численный эксперимент в гидромеханике турбулентных потоков: Екатеринбург: УрО РАН, 2001 г. — 160 с.
Силантьев А. В.
Старший преподаватель, Марийский государственный университет ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР ДИМЕРА В МОДЕЛИ ХАББАРДА В ПРИБЛИЖЕНИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ
ФЛУКТАЦИЙ
Аннотация
В модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина, энергетический спектр димера, а также некоторые корреляционные функции.
Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наносистемы, димер.
Silant’ev A.V.
Senior lecturer, Mary State University
ENERGY SPECTRUM OF DIMER WITHIN HUBBARD MODEL IN THE APPROXIMATION OF STATICAL
FLUCTUATIONS
Abstract
Anticommutator Green functions, energy spectrum and some correlation functions of dimer within Hubbard model are calculated by the approximation of statical fluctuations.
Keywords: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, dimer.
В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению низкоразмерных систем и их
Н к -(ET)2 X 6-(ET)2 X
структурных элементов. Например, органические сверхпроводники 4 '-2 и 4 '-2 являются двумерными
системами [1], а структурным элементом этих систем является димер, который образован двумя молекулами ЕТ, причем в качестве
39
модели для описания димера используется модель Хаббарда [2]. Кроме того, димер в рамках модели Хаббарда используется в качестве модели двухатомных молекул. Например, в [3] димер используется в качестве модели молекулы водорода, а в [4] димер используется в качестве модели, как молекулы водорода, так и двухатомных гетерополярных молекул, таких как LiH.
Целью данной работы является изучение димера в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций (ПСФ) [57]. Димер в модели Хаббарда описывается следующим Гамильтонианом:
Snio + n2o)+ t C+loC2o + c2ac1a)+ U {ПЮП1о + & quot-л
a L
H =i
2
где
cia, Cia
(1)
. n.
операторы рождения и уничтожения электронов со спином a на узле i- & quot-ia — оператор числа частиц со
спином a на узле i- a a — s — энергия одноэлектронного атомного состояния- t — интеграл переноса, описывающий
перескоки электронов с одного узла на другой узел- U — энергия кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на одном узле.
C (t)
Запишем уравнение движения для оператора J, заданного в представлении Гейзенберга.
dc J
dT
= s ¦ c + + t ¦ c + + U ¦ c + n
-fa
ja
-fa fa
где
T = 1t, j * f
(2)
n Ja
Решение уравнения (2) будем искать используя ПСФ. В работе [6] показано, что в ПСФ оператор Ja не зависит от времени.
nJa
Умножая (2) на оператор J и учитывая, что
d (cfan Ja)
(n Ja J = n Ja
получим
ёт
= (s + U) c +an a + t — clan Ja, 1 * f.
(3)
c+ n, c+ nn —
la^a ia Ja ga
Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов Ja Ja ga ,… Для того чтобы
получить замкнутую систему дифференциальных уравнений запишем уравнения движения для операторов
cia ' c2a ' ciania ' cian2a ' c2an2a ' c2ania ' cianian2a ' c2anian2a.
dc
1a = s ¦ c+ + t ¦ c+ + U ¦ c+ n
c. t-ia a- l t-2a ^ u u1a'-11a
ёт
d (c+lania) = (
ёт
d (c+lan2a)
= (s + U) c+ania + t ¦ c+ania
dT
dT
dc^na) = (s + U) c-
dT
= s ¦ cian2a + t ¦ c2an2a + U ¦ cianian2a
'-1anian2a + t ¦ c+2anian2a
dc
2a
dT
S ¦ c2a + t ¦ cia + U ¦ c2an2a
+anna + t ¦ c+anna
2a 2a 1a 2a
dkn*) = (s +U)c
dT
d (c +an, a) + + +
-'- 2a-1^у = s ¦ c n + t ¦ c n +U ¦ c n n
, ^ u2a'-t 1a ^ 1 u1a'-11a ^ u u2a'-t2a, l1a
dT
d (c+an2a-& quot-a) = (s + U) c
dT
+an2an1a + t ¦ c2an2an1a
Решив систему уравнений (4) получим для операторов
c+ (f +
^'-1 ,-r •& gt-
(4)
следующие выражения:
+
+
40
Сfa (т) = 1 [сfa (0) — c +]аП}-(0) — c]аП^ (°) + c) аП]-nf- (°) + cfa (°) — c}аП^ (°) —
— С-П-(0) + Сf-n-n-
& quot-fa fa ja
(o)]- exp (?1T) + 1 (c-nj-n f- (o) — c fan fa «, ja (0)) еХР (^2т) +
+ 1 [ca (0) — c jana (0) — c) anfa (o) + C Wn fa (0) — C/a (o) + Cfa"fa +
+ C fan, a (0) — C fanfan ja (o)] ^Р^зО + 1 (cfan janfa (o) + Cfanfan ja (o)) еХР (^4т) +
1
+ - 2
C fanja (0) + C]anfa (o) — 2c fanja nfa (o)f U (c fanja (o) — C fanfa (o)) +
g1
f 2~ (c fa (0) f C fanja (0) — 2c fan fa n ja (0))
g1
exp (?5r)f
1
+ - 2
Cfanja (0) f Cfanfa (0) — 2cfanja nfa (0)f ~ (- Cfaj (0) f Cfanfa (0)) f
g1
+ 2 — (- cfa (0) — c fanja (0) + 2cfanfanja (o)) g1
exP (E6z)
(5)
E1 = s + t, E 2 = s -1 + U, E3 = s -1, E4 = s + t + U,
E5 = 1 (2s f U f g1), E6 = 1 (2s f U — g1) g1 = VU2 f 4t2
где
2
j = 1,2- f = 1,2- j ф f
(6)
c f c f
t'-'2a
Зная выражения для операторов ~1a' ~ 2a (5) можно найти целый ряд физических характеристик димера. Для этого следует найти антикоммутаторные функции Грина и корреляционные функции. Фурье-образ антикоммутаторных функций Грина имеет следующий вид:
ja
ja
= ^'-Z
F.
jam
2л m=1 E — Em f ih
(7)
Fa) = Fa3 =
= ^1) = (F-b) = 1
1 — n •
K2) = (^4) = (F2a2) = ^4) =-
(Fa) = (Fa) = (F2a5) = (F2a6& gt- =
fF (E)=[e (E-^kT)+1]-1
fP (E)/f (E6) f fP (E2) f fP (E4) — 2fF (E2)/f (E4)
2/f (E5)/f (E6) f /f (E2) f /f (E4) — 2/f (E2)/f (E4)
/f (E5)/f (E 6)
2 2/f (E5)/f (E6) f /f (E2) f /f (E4) — 2/f E)/f E) /f (E2)f /f (E4)-2/f (E2)/f (E4)
2 2/f (E5)/f (E6)f /f (E2) f /f (E4) — 2/f (E2)/f (E4)
'-FV~'- L~ ^ (8) где F — химический потенциал, k — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.
Как известно [8], энергетический спектр квантовой системы определяется полюсами функции Грина. Таким образом, энергетический спектр димера определяется соотношениями (6), а спектральная плотность этих энергетических состояний определяется соотношениями (8).
Зная выражения для операторов
с f с f ''-Ta' '¦'-'2a
n1a/ = n1a/ = n2a = n2a
(5) можно также найти целый ряд корреляционных функций
__
2 K
n1an2a / = n1an2^ =
K
(9)
f
E
41
K = [2 fr E) fr E)+f E)+ff E) — 2 fF E). fF E)] • [ fF (e,)+fF E)1 K 2 = fF E f E Wf (e,)+fF E)]
K = [1 — fr E) + fr E) + fr (E,)-fr E) — fr E) lfr (E4) +
+ [1 + fr E) + fr (El) — fr E) — fr E) lfr E) +
+2[fr E)+fr E) — fr E) — fr E) lfr E) fr E)+
+ [2 + fr E) — fF E) + fF E) — fF E) l fr E) fF E)
(10)
Зная выражения для средних значений уравнение на химпотенциал
2 nj-) = n
n
j-
(9) можно найти химический потенциал димера. Для этого следует решить
(11)
где & quot-¦ - это средняя концентрация электронов в системе.
Уравнение (11) дает зависимость химического потенциала димера от температуры, интеграла переноса и кулоновского отталкивания двух электронов, находящихся на одном узле.
В случае, когда оператор числа частиц не зависит от номера узла, т. е. антикоммутаторная функция Грина (7) примет следующий вид
j-
j
i 1 2п 2
1 —
n
1 —
n
— + -
— + -
n
2
— + -
n — = n, — = n-
i — 2- -
n
2
можно показать, что
E — E, + ih E — E2 + ih E — E3 + ih E — E4 + ih
E, = s +1, E2 = s -1, E3 = s +1 + ?7, E4 = s -1 + U
(12)
Выражение (12) совпадает с результатом работы [5], в которой получена функция Грина димера в ПСФ при условии, что оператор числа частиц не зависит от номера узла.
Отметим, что функция Грина (7) при
J-
J-
i

l -(n
t = 0
— + -
переходит в функцию Грина модели Хаббарда в атомном пределе [9]: ИЯ
E — E, + ih E — E2 + ih
E, = s, E2 = s + U
'-2 «'- ~ (13)
Таким образом, в атомном пределе имеется два энергетических уровня. Если на узле находится один электрон, то он
E
E
находится в состоянии 1. Если же на узле находится два электрона, то один электрон будет находиться в состоянии 1, а другой
E
электрон будет находится в состоянии 2.
Из (13) на основании спектральной теоремы [8] получим
(n-) = (l — (n-))fr (E) + (n-) fr (E) (i4)
Из (ll) и (14) получим, что в атомном пределе в случае полузаполнения, т. е. когда n 1, химический потенциал имеет
вид
U
Ll = s ±-
2
(15)
Таким образом, в атомном пределе в случае полузаполнения химический потенциал системы не зависит от температуры.
Литература
1. McKenzie R. H. A strongly correlated electron model for the layered organic superconductors k-(BEDT-TTF)2X// Comments on Condensed Matter Physics — 1998. — V. 18. — P. 309−317.
2. Hubbard J. Electron correlations in narrow energy bands// Proceedings of the Royal Society A. — 1963. — v. 276, P. 238−257.
3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела Т.2 — Москва: Мир, 1979. — 422с.
4. Meniry E.J. Introduction to the Hubbard Model// University of Belfast, 2005. — 93p.
5. Силантьев А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда// Известия Вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки — 20ll. — т. 19, C. 151−163.
6. Силантьев А. В. Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций// Известия Вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. — 20l 1. — № 20, C. 86−100.
7. Силантьев А. В. Фуллерен С60 в рамках модели Хаббарда// Известия Вузов. Физика. — 2013. Т. 56 — № 2, — С. 70−79.
8. Зубарев Д. Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике// УФН. — i960. т. l. — № 1. — с. 7l-ll6.
9. Кузьмин, Е. В. Петраковский, Г. А., Завадский, Э. А. Физика магнитоупорядоченных веществ — Новосибирск: Наука, 1976. -287 с.
2
2
+
E
и
+
E
42

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой