Компьютерная графика, порожденная линейными преобразованиями координат

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 004. 922
© А. М. Бубенчиков, К. Л. Базаров, З.Г. Буянтуева
КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА, ПОРОЖДЕННАЯ ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ КООРДИНАТ
Найдены простейшие координатные зависимости, позволяющие проводить перемещения, повороты и масштабирование объектов. На примере совершенного объекта сферической формы показана возможность параметризации коэффициентов линейного преобразования координат, иллюстрирующая всплытие сферического газового пузыря.
Ключевые слова: компьютерная графика, перемещение, повороты, масштабирование, линейные преобразования координат.
© A.M. Bubenchikov, K.L. Bazarov, Z.G. Buyantueva
COMPUTER GRAPHICS GENERATED BY TRANSFORMATIONS OF LINEAR COORDINATES
The simplest coordinate dependences to make displacements, rotations or scaling objects have been found. On the example of the perfect object of spherical shape the possibility of coefficients parameterization of linear transformation of coordinates has been shown, it illustrates the emersion of a spherical gas bubble.
Keywords: computer graphics, displacement, rotation, scaling, linear transformation of coordinates.
Задача компьютерной графики заключается в моделировании движения объектов в пространстве, то есть в моделировании их поступательных и вращательных перемещений, а также возможного изменения масштаба. В [1] для решения отмеченных задач, а также задач отображения объектов предполагается применить матричную алгебру. Авторы настоящей работы считают, что более естественной, а главное, более простой технологией решений поставленных задач является технология, опирающаяся на линейные преобразования координат.
Рассмотрим прежде всего преобразование, которое отвечает за вращение объекта вокруг некоторой оси. Как показал опыт решения задач классической механики, для этой цели удобнее всего пользоваться подходом Эйлера [2] (задачи динамики твердого тела). С подвижным объектом свяжем ортогональную декартову систему координат 0xyz, а систему 02,^, имеющую то же начало, свяжем с пространством, в котором осуществляется движение. Эту последнюю систему называют обычно неподвижной или абсолютной.
Координаты точек объекта в обеих этих системах связаны между собой соотношениями [3]:
?, = + & lt-х2У + & amp--3z,
ц = 01* + Р2у + (B3z,
? = Ylx + у2у + y3z.
В представленной записи аь а2, а3 — направляющие косинусы осей 0xyz по отношению к оси 02, — в
1, в2, в 3 — те же величины по отношению к оси 0^- уь у2, у3 — направляющие косинусы подвижных осей по отношению к оси 0^. Эти девять величин Эйлер предложил определять через три независимые угловые координаты 0, у, ф, получившие впоследствии название углов Эйлера:
(1)
а! = соэф • сое 6 • соэ |/ - этф • этф, а2 = - соэ ф • соэ 9 • эт |/ - эт ф • соэ |/, а3 = соэф • этб,
(31 = этф • соэв • соэ|/ + соэф • эту,
Р2 = - этф • соэв • віп|/ + соэф • соэф,
Р3 = этф ¦ этв,
У! = - этв • соэф, у2 — этв • этф, у3=со8 0.
Рис. 1. Взаимное расположение подвижной и неподвижной систем отсчета, определяемое углами
Эйлера
Углы, показанные на рисунке 1, называются: ф — угол собственного вращения, у — угол прецессии- 0 — угол нутации. Задавая 0 из интервала [0, п], мы отклоняем тело и связанную с ним ось 0z от оси 0^ на соответствующий угол 0. Задавая, кроме этого, у из интервала [0, 2п], мы поворачиваем на у систему координат 0х^ вокруг оси 02,. Наконец, фиксируя еще значение ф в интервале [0, 2п], мы поворачиваем тело вокруг оси собственного вращения (оси 0z). Таким образом моделируются все возможные повороты перемещающегося и видоизменяющегося объекта.
Если правые части (1) умножить на числа а1, а2, а3, то мы изменим масштабы объекта по осям 02, 0^, 0^ соответственно. Наряду с этим добавим к правым частям (1) постоянные величины Ь1, Ь2, Ь3. Это обеспечит сдвиг объекта по соответствующим осям.
Таким образом, результирующие формулы поворота, масштабирования и сдвига будут выглядеть как формулы линейного преобразования:
Здесь а,
Е, — ОЦ. Х + а2 у + + Ъх,
Л = РІ-* + $ 2У + Эз^ + Ь2, & gt- (3)
^ = ух + у'-2у + у'-3г + Ь3.
= «/а,-, РІ = «А-, У і = а,. у,., і = 1,2,3. (4)
(2)
Рис. 2. Подъем газового пузыря по верти- Рис. 3. Движение пузыря по спирали
кальной траектории
Движение объекта, показанное на рис. 2, определяется его перемещением вдоль оси 0^ и одновременным изменением масштаба по всем трем координатным осям 0x, 0y, 0z. Нетрудно понять, что пропорционального со временем роста размера пузыря можно добиться, задав коэффициенты ah входящие в (4) следующим образом:
ai= + v0t, г =1,2,3 • (5)
Здесь v0 — относительная скорость роста линейного размера пузырька.
В рассматриваемом примере в начальный момент времени центр сферы находится в центре O, являющемся началом систем отсчета (рис. 1), а в последующие моменты времени он всегда находится на оси 0^. Поэтому зависимости углов Эйлера от времени могут быть следующими:
0 = 0, ср = ф t, |/ = |/ t • (6)
Здесь ввиду полярной симметрии объекта функции ф (0 и у (0 могут быть произвольными, в частности они могут быть нулями: ф t = О ¦ |/ t = О •
Перемещение сферы по оси 0^ задается следующими коэффициентами:
Ъг = Z& gt-2 = О, Ь3 = wt ¦ (7)
где w — скорость движения центра сферы по оси 0^.
Движение объекта на рис. 3 является более сложным. Здесь центр сферы перемещается по винтовой линии. При этом с высотой пузырек также увеличивается в размерах. Все метаморфозы, происходящие со сферой, в этом случае описываются параметрическими зависимостями для коэффициентов (5), (6). Причем в этом случае целесообразно принять ф / - cot, ц/ t = О. Зависимости (7)
обобщаются и принимают следующий вид:
Ъх = x0 b2 = у0, b3 =wt ¦ (7')
Здесь x0, y0 — координаты (не равные нулю), определяющие начальное положение сферы.
Сам объект (сфера) может быть параметризован следующим образом: х — х0 = R sinA, cos5,
у — у0 = R sin A, sin 5, z — wt — RcosX ¦
Здесь угловые параметры X и 5 изменяются в следующих диапазонах: л е 0,71, 5е 0,27т: •
Литература
1. Соснин Н. В. Компьютерная графика. Математические основы. Версия 1.0 [Электронный ресурс]: электрон. учеб. пособие. — Красноярск: ИПК СФУ, 2008.
2. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. — М.: Изд-во ТТЛ, 1955. — 520 с.
І59
3. Арнольд Р. Н., Мондер Л. Гиродинамика и ее технические применения. — М.: Машиностроение, 1964. — 468 с.
Бубенчиков Алексей Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики ММФ ТГУ. Тел: 89 138 500 937.
Базаров Кирилл Леонидович, магистрант БГУ. Тел: 89 503 952 036. E-mail: kl. bazarov@jmail. com Буянтуева Зоригма Гомбожаповна, магистрант БГУ. Тел: 89 085 962 114. E-mail: zori90@mail. ru
Bubenchikov Aleksey Mikhalovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of theoretical mechanics department, faculty of mechanics and mathematics, Tomsk State University. Ph.: 89 138 500 937
Bazarov Kirill Leonidovich, graduate student, Buryat State University. ph: 89 503 952 036. E-mail: kl. bazarov@j mail. com
Buyantueva Zorigma Gombozhapovna, graduate student, Buryat State University. ph.: 89 085 962 114. E-mail: zori90@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой