Конечное гибридное интегральное преобразование типа Лежандра- Фурье - Бесселя на сегменте [0, R3 ]

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 91:532.2.
М. П. Ленюк, М.1. Шинкарик
СК1НЧЕННЕ Г1БРИДНЕ 1НТЕГРАЛЬНЕ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЛЕЖАНДРА-ФУР'-С-
БЕССЕЛЯ НА СЕГМЕНТ [0, R ]
Постановка проблеми. Вивчення фiзико-технiчних характеристик композитних MaTepiaiiB, як1 знаходяться в рiзних умовах експлуатаци, математично приводить до задач штегрування сепаратно! системи диференцiальних рiвнянь другого порядку на кусково -однородному iнтервалi з вiдповiдним початковими та крайовими умовами [1−3]. Одним iз ефективним методiв побудови iнтегральних зображень аналiтичних розв'-язк1 В алгоритмiчного характеру таких задач е метод гiбридних штегральних перетворень. Основнi положення скiнченних пбридних iнтегральних перетворень закладено в робот [4]. Цiль статть В данш роботi побудовано ск1нченне гiбридне штегральне перетворення (СГ1П),
породжене на сегменп [0, R3 ] з двома точками спряжения пбридним диференцiальним оператором
Лежандра — Фур'-е — Бесселя.
Основна частина. Побудуемо iнтегральне перетворення, породжене на множит
= {г: Г е (0,Rj) ^ (Rj, R2) ^ (R2,R3) — R3 & lt- гiбридним диферен-цiальним
оператором (ГДО)
Mf = O®O (R — r) a2 Aw + O (r — R^OR — r) x
x a2 ^ + O (r — R2) O (R3 — r) a2 Bv" (1)
dr
У рiвностi (1) O (x) — одинична функщя Гевiсайда [5], A (/i) — узагальнений диференцiальний d2
оператор Лежандра [6], --- диференцiальний оператор Фур'-е другого порядку [7], Bva —
dr ,
диференцiальний оператор Бесселя [8].
Означення: Областю задання ГДО M^a назвемо множину G вектор-функцш
g ® = {g1 ® — g 2® — g 3(r)}з такими властивостями:
1) вектор-функцiя f ® = {A^ [g1 ®]- g2 ® — By a [g3 ]} неперервна на множит 12-
2) функцп g j ® задовольняють крайовi умови
d -t
lim [shrg 1 ®] = 0, (a22 — + ^2)g3 ® = 0 (2)
r^o dr
3) функци g 1 ® задовольняють умови спряження
r=R = 0- j, к = 1,2 (3)
[(4 d + ркп) gk ® — Оd + j) gk+1 ®]
dr dr
3 3
Умови на коефщенти: Щ & gt- 0, Щ & gt- 0, a3 & gt- 0- a22 — 0,^22 — 0,
of2 + P22 * 0- a]m — 0, pkm — 0, Cjk = а*уА) -a^.- % • C2k & gt- 0- 2a +1 & gt- 0,
V — a, Ц1 — 0, (M) = (^1,^2).
З умов спряження (3) випливае базова тотожшсть: якщо вектор-функщя
u® = {uT®-u2®-u3®}е G та вектор-функцiя v® = {v1®-v2®-v3®} е G, то мае мiсце рiвнiсть
К (г К (г) — щ (г Ук (г)]
Визначимо числа
С
г=Кк= -К+1(г К+1(г) — ик+1(г К+1(г)] г=Кк-к =1,2 (4) С1к
2 С11С1? К? 2 С 9 т-& gt-2"+1 2 1
С21С22 С22
вагову функцiю
о-(г) = 6& gt-(г- г) а^Ьг + 0(г — Я1)0(К2 — г) а2 + 0(г — К2)0(К3 — г) а3г2а+1 (5)
та скалярний добуток
К3 К1
(и (г), г (г)) = | и (г)у (г)& amp-(г)-г = | Щ (г (г 8кМг +
0 0 К2 К3
+ |и2(г)у2(г)а2-г + |и3(г)г3(г)а3г2а+1-г- и (г)еО, ((г)еО (6)
К1 К2 Наявшсть скалярного добутку (6), базово! тотожносп (4) та однорщних крайових умов (2) дозволяе показати виконання р1вносл
(М%[и (г)]Хг)) = (и (г), М (%у (г)]) (7)
Р1вшсть (7) показуе, що ГДО М^^ самоспряжений оператор. Отже, його спектр дшсний. Оск1льки ГДО
на множит /2 не мае особливо! точки, то його спектр дискретний [9]. При цьому
спектральному параметру /3 ввдповщае дшсна спектральна вектор--функщя
3
г)
т=1
фунКЦП У (^т
(г,/)повинш задовольняти ввдповщно диференщальш р1вняння Лежандра, Фур'-е та Бесселя для звичайних функцш
Ог, 3) = 1^(г — Кт-ЖКт — г) У (?т (г,/), К = 0 (8)
(Л («) + Ь?)У^л (г, 3) = 0, ге (0,К!)
ё 2
(- + Ь^У^г/) = 0, ге (К1,К2), (9)
ёг
2
(В, а + Ьз2) уМ (г, /) = 0, г е (К2, Кз),
1
& quot- 2
крайов1 умови (2) та умови спряження (3) — Ь- = & amp-- (/ + ку)2, к2 & gt- 0.
Фундаментальну систему розв'-язшв для диференщального р1вняння Лежандра (Л (и) + Ь1)(= 0 утворюють узагальнеш приеднання функци Лежандра першого роду Р ^ (сИг)
та другого роду 1^^)(сНг) — (1 =---+ /Ь1 (/) [6] - фундаментальну систему розв'-язшв для
2
-2 2
диференщального р1вняння Фур'-е (-т- + Ь9) у = 0 утворюють тригонометричш функци
-г1 2
СОВ (& amp-2г) та БШ (Ь2г) [7]- фундаментальну систему розв'-язшв для диференщального р1вняння
Бесселя (Bv, а + = 0 утворюють функци Бесселя дшсного аргумента першого роду Jv, а (р^)
та другого роду Nv а (Ь3Г)[8].
В силу того, що спектральна задача Штурма-Шувшля (2), (3) й (9) регулярна та лшшна, покладемо:
У™л (г,? = Ax Pf (chr), r e (0, R)
Vi
V^r?) = A2 cos& amp-r) + B2 sin (b2r), r e RR2) (i0)
^(r?) = A3 Jvja (V) + B3 Nv, a (b3r), r e R R3).
Умови спряження (3) та крайова умова в точцi r = R дають для визначення п'-яти величин Aj (j = i, 3) та B^ (к = 2,3) однорщну алгебрачну систему i3 п'-яти рiвнянь:
Zf?(chRi)A — vi (b2Ri)A2 — vi2(b2Ri)B2 = 0, j = 1,2-
Vj2/(b2R2)A2 + Vj22(b2R2)B2 — «Ца-j2Ф3R2)A3 — «Vi-j2Ф3R2B = 0
& lt-«-22(Ь R3) A3 + & lt-^223 R3B = 0 (ii)
Введемо до розгляду функци
Sjk (b2Ri, b2R2) = vii2(bRi)vk2(b2R2)-vlj2(b2Ri)v2i (b2R2) — jk = i, 2-
v, a-j2(^3R2,bsRs) = ^jW^bR) — ^^KU^), j = ^ (?) = Zlln (chRi)O2j (b2 Ri, b2 R2) — Z^f)-ii (chRi)^i j b Ri, b2 R2) bVTXj (?) = ^223, b3R)*jibR, b2*2) —, b3Rj)*-2 02Ri, b2*2).
Для того, щоб алгебрачна система (11) мала ненульовi розв'-язки, необх1дно i досить, щоб визначник системи був рiвний нулю [10]:
2? — Z^i (chRi)bvaa2(?) — Z$ii (chRi)bvaai (?) =
= ?v, a-22(b3R2,b3R3)aWi?) —v, a-i2(b3R2,b3R3)a (^)-2(?) = 0 (i2)
Ми одержали трансцендентне рiвняння для обчислення власних чисел? n ГДО M^,^.
Пiдставимо в алгебрачну систему (11)? = ?n (bj (?n) = b jn) й вiдкинемо останне рiвняння в силу лшшно! залежносп. При Aj Ф 0 маемо алгебра! чну систему двох рiвнянь для визначення A2, B2:
2j2(b2nRi)A2 +2lj2(b2nRi)B2 = AiZ (fj (chRi), j = i, 2 (i3)
J J 2in -ji
Визначник алгебраино! системи (13) обчислюеться безпосередньо:
21i2i (b2nRi)22(b2nRi) — V^bnRi)21i22(b2nRi) = c^ Ф 0.
Алгебрачна система (i3) мае единий розв'-язок [10]:
A =
A
2 = [Zl^chRiVi^nRi) — Zl^chRV^nRi)],
c2ib2n 2in -11 2in -21
В =
A^[Z (f)--!(cИКl)v-21(Ь2ИКl) — 2(^)-11(СИК1)(^2(Ь2ИК1)] (14) с, А» У1& quot- -21 ^ -11
2~, М/ л 1 ^'-& quot-4/^2242^ М-
21Ь2п
При ввдомих, В2 для визначення А^, В^ маемо алгебра! чну систему двох р1внянь:
и2*у2(Ьз"К2)Аз + и (2а72(Ьз"К2)Вз = -А^Ь*. ]-1 а^ъ (Рп) — 7 = 1,2 (15)
Визначник алгебра! чно1 системи (15) обчислюеться безпосередньо:
2 С
(^(М^К* -22(М2) -даЬЛК*^ЬЛ) = -72^ = ^(Рп) * 0
л Ь^ К
-'-Зп1 ^
Алгебра! чна система (15) мае единий розв'-язок [10]:
& quot-21Ь2пН, а (Рп), А3 = & lt-1−2(Рп) ^ -
А = СгЬъЯа (Рп), Аз = -& lt-%(А), Вз =& lt-?(3,), (16)
(-,¦ (/п) = а (р)-2 (Рп)и (а -12(ЬзпК2) — а (^)-1(/п К'-» -22(Ь3nК2), 7 = 1,2 Шдставимо визначеш формулами (14) та (16) величини, А ¦, В^ (7 = 1,2- к = 2, з) у р1вносп (10). Одержимо функци:
(17)
у!^(г, Рп) = С21р2п0. а (Рп)Р^(скг), =-1 + 1Ьщ
(1п 2
У ((, а)2(г, Рп) = Ча (Рп)[^^)1111(сИК1)^^2(Ь2пК1,Ь2пг) -- Z (f)21!(cИКl)^-2(Ь2nКl, Ь2пг)],
(р)2(Ь2пК1,Ь2пг) = (2(Ь2пК1)сО^(Ь2пг) — (1 (Ь2пК1) Эт^Х
У ((& amp-(г, Рп) = & lt-й-1(Рп)^(, а (Ьзпг) — (Рп)((Ьп^
Зпдно р1вност1 (8) спектральна вектор-функщя (г, Рп) визначена. II квадрат норми
п
визначаеться за стандартним правилом [10]:
Кз
у (а (г, рп) и2=(ка (г, Рп), у (а (г, Рп))= у™ (г, Рп)]2 Ф —
0
Кз
— ?[К%(г, Рп)]2^Иг-г + |[У™2(г, Рп)]Ч-г + |[У ((, а) з (г, Рп)]2^г2а±
0 К К2
(18)
Зпдно з роботою [4] наведемо твердження. Теорема 1 (про дискретний спектр). Кореш Рп трансцендентного р1вняння ?(^(Р) = 0 складають
дискретний спектр ГДО Му^: дшсш, р1зш, симетрично розташоваш вщносно Р = 0 й на шввю1 Р & gt- 0 утворюють монотонно зростаючу числову послвдовшсть з единою граничною точкою Р = & amp-. Теорема 2 (про дискретну функщю). Система власних функцш {У,^ (г, Рп)}п=1 ортогональна на множиш 12 з ваговою функщею С (г), повна й замкнена.
Теорема 3 (про зображення рядом Фур'-е). Будь-яка вектор-функщя § (г) е О зображаеться за системою {У^ (г, Рп)}пп=1 абсолютно й р1вном1рно збiжним на множит 12 рядом Фур'-е:
го Кз
Кз лт (р)
У^(г, Рп)
§(г) = X §(Ж^(АРп)С (Л)-Р а\, (19)
п=1 0 11У (, а (г, Рп
УС'-(гРп)1|2
В подальшому зручно перейти до ортонормовано! системи власних функцш:
{(^(г, Рп)}ГО=1 = {У%(г, Рп): |1 У%(г, Рп)11}ГО=1
Ряд Фур'-е (19) набувае вигляду
го Кз
§ (г) = X §(р)У^(р, Рп С (р)-рг (2(г, Рп) (20)
п=1 0
Ряд Фур'-е (20) визначае пряме н й обернене н7Г ск1нченне пбридне штегральне перетворення (СГ1П), породжене на множит 12 ГДО:
& quot-з
н^[ § (г)] = | § (г)()(г, Рп) с (г)-г — ~п
(21)
0
го
Щ^Шп ] = X ~п (Лг, Рп) — § (г) (22)
п=1
Визначимо величини та функци:
К1
-1 = а12с1^ИК1: СП, -2 = а2С2: с12, ~1п = I§ 1 (г& gt-(?1 (г, Рп) с1И-г,
0
К2 Кз
~2п = | § 2 (г & gt-(1Л (г, Рп С -г, ~зп = | § з (г)У^з (г, Рп Сз^-, КК
-
^^ '- т 2 у (, а -к +1 ^ '- п у | г=Кк
Теорема4 (про основну тотожнють). Якщо вектор-функщя
Z^, m 2 (Рп) = (ат 2 — + Ркт 2)(1и +1(г, Рп) 1г=К — т, к = 1,2.
/(г) = {Л (А)[^(г)]- Я2(г) — В^[яз (г)]} неперервна на множит 12, а функци (г) задовольняють умови спряження
а — + Ркл)§ к (г) — (а% - + РРк2)§ к+1 (г)] I г=к = & lt-- 7, к = 1,2, (2з)
та крайов1 умови
Кш 1 (г)] = 0, (а^ - + Р22)§ з (г) I г=К = § К (24)
г0
то мае мюце основна тотожтсть СГ1П ГДО М^^:
з
Н («Ж^(г)]] = -Р1 ~п-X к¦ ~п + (а2з2)-1 vЙ& gt--з (Кз, Рn) Кз2а+1 § к +
г=1
2
+ Х-к У2(Рп)& lt-2к — Z (v^Рn)& lt- ] (25)
г=1
2
, а -12 (Рп & lt-2к -к=1
Висновок. Побудоваш правила (21), (22) та (25) складають математичний апарат для одержання штегрального зображення точного аналогичного розв'-язку вщповвдних задач математично! ф1зики кусково-однорщних середовищ.
Л1ТЕРАТУРА:
1. Коляно Ю. М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела / Ю. М. Коляно.
— К.: Наук. Думка, 1992. — 280с.
2. Ленюк М. П. Температурш поля в плоских кусково-однорщних ортотропних областях / М. П. Ленюк. — К.: 1н-т математики НАН Укра! ни, 1997. — 188с.
3. Конет 1.М. Температурш поля в кусково-однорвдних цил1ндричних областях / 1.М. Конет, М. П. Ленюк. — Чершвщ.: Прут, 2004. — 276с.
4. Комаров Г. М. Сшнченш пбридш штегральш перетворення, породжеш диференщальними р1вняннями другого порядку / Г. М. Комаров, М. П. Ленюк, В. В. Мороз. — Чершвщ: Прут, 2001. -228с.
5. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй специальний курс. — М.: Наука, 1965. — 328с.
6. Конет 1.М., Ленюк М. П. 1нтегральш перетворення типу Мелера-Фока. — Чершвщ: Прут, 2002. -248с.
7. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. — М.: Физматгиз, 1959. -468с.
8. Ленюк М. П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. — Киев, 1983. — 62с. — (Препринт / АН УССР. Ин-т математики- 83. 3).
9. Ленюк М. П. Пбридш штегральш перетворення (Фур'-е, Бесселя, Лежандра). Частина 1. / М. П. Ленюк, М.1. Шинкарик. — Тернопшь: Економ. думка, 2004. — 368с.
10. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1971. — 432с.
11. Ленюк М. П. Сшнченш пбридш штегральш перетворення, породжеш класичними диференщальними операторами математично! ф1зики. Том 1. / М. П. Ленюк. — Чершвщ: Прут, 2010. — 352с.
ЛЕНЮК Михайло Павлович — д.ф. -м. н, професор ЧФ НТУ «ХП1». Науков1 штереси:
— математична ф1зика, математичний анал1з, математичне моделювання.
ШИНКАРИК Микола 1ванович — к.ф. -м. н, доцент кафедри вищо! математики Тернопшьського нащонального економ1чного ушверситету. Науков1 1нтереси:
— математична ф1зика, математичний анал1з, математичне моделювання.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой