Конечные неразрешимые группы с нетривиальным центром и малыми централизаторами нецентральных элементов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

КОНЕЧНЫЕ НЕРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ С НЕТРИВИАЛЬНЫМ ЦЕНТРОМ И МАЛЫМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ НЕЦЕНТРАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
И.А. Тюрина
Получено описание конечных неразрешимых групп с нетривиальным центром, удовлетворяющих условию: порядки централизаторов нецентральных элементов группы в своем представлении в виде произведения простых чисел имеют не более пяти сомножителей.
1. Введение и основные допущения. Через м& gt-(п) условимся обозначать количество множителей в представлении натурального числа п в виде произведения простых чисел. Если Я- подгруппа конечной группы С, то & gt-*>-(#) = м& gt-(|Я|) и
у© = тах{^(С (^))^еОг (С)}. (1)
В работах [1] и [2] исследованы конечные неабелевы группы с условием у (р) = 2 и у (О) = 3 соответственно. В [3, 4] описаны конечные группы с условием у (р) = 4, а в работах [5] и [6] изучены неразрешимые группы без центра с условием у{р) = 5. В предлагаемой работе исследуется строение неразрешимых групп с нетривиальным центром и с условием у (б) = 5.
Если р — нечетное простое число, то положим
тах-1), +1)|, еслирп =1(4),
/(р& quot-Н, , (2)
тах|м^р& quot- +1), — |, еслирп з -1(4).
Кроме того, положим
/*(^п) = тах{Ц/?& quot--1), ц-(/?"- + 1)}. (3)
Через ЕрП условимся обозначать элементарную абелеву группу порядка рп. В дальнейшем р-
всегда нечетное простое число.
Пусть О — неразрешимая группа, у© = 5 и г (Ст)*1. Предположим, что 22{0)& gt-2{р).
Если хеЕ2(0)2(0) и !?: ?->-•[?,*], то Кег (^?) = С (л:) и 0! С (х)-абелева группа. Но тогда
подгруппа С (я) неразрешима. Так как С2 (*) = С (С (л-)) — абелева группа, то фактор-группа
Я = С (х)/С2(х) неразрешима. Из условий м& gt-(С (д:))<-5 и (с2 И) г 2 следует, ЧТО М'-(я) & lt- 3,
что противоречит неразрешимости группы Я. Поэтому 22{р) = !{(}) и а2(О)-группа без
центра. Отметим еще, что у{р12{С!г^ & lt- у (Сг). Это следует из того, что
рс/г (& lt-з) х2 ----------2{в)
В самом деле, пусть Н12 (Сг) = С0/2^ (х2 (?)). Рассмотрим гомоморфизм (р.Н 2 ©, заданный формулой к9 = [й, х]. Тогда Кег (р) = С (х) и 1т^={[л:, й]| йеЯ} = = {[*& gt- к ё °] ° 2 (& lt-3). Поэтому |Я| = |С (х)| ¦ |г © п {[х, е Сг}|.
Из работ [1−6] следует, что неразрешимые конечные группы без центра с условием у (р) = п & lt- 5 исчерпываются группами следующих типов.
А. Простые группы.
1) и = 2: РЩ2,5) —
2) п = 3: Рй (2,9), 9е{23,32,33,53,р}, где/(р) = 3-
3) и = 4: А7- Р5?(2,^), |24,52,73,/?|, где 1(р) = 4-
4) и = 5: Ми-- /& gt-?1(3,3) — Р?1(2,9), 9е{з4,72,112,132,р}, где 1(р) = 5- Ра (2,р3),
где /(/?3) = 5- Р5Х2,/?5|, где /7 = 2 или /|/?5|& lt-5.
5. Группы автоморфизмов простых групп.
1) и = 3: Р (7Х (2,5) —
2) и = 4: РС?/,(2,#), де|з2,33,/?|, где /*(р) = 3- Р5Ь (2,д)А (т), #е|23,33|, г-полевой
автоморфизм порядка 3- Р??^2,32)•{*), где Г-произведение полевого и диагонального автоморфизмов-
3) п = 5: РЫ (2,^), #е|52,53,73,/?|, где /*(/& gt-) = 4- Р5Ь (2,д)Я (т), 0е|24,32|, г-полевой автоморфизм порядка 2- Р5х (2,52)-(г), где I — произведение полевого и диагонального автоморфизмов- Аи1(Р5Х (2,^)), д е |32,33|.
С. Расширения группы Л5.
и = 5: А5хН, Я-неабелева группа порядка рд- (^ х{а))-(т), где А5-(т) = 85, а = р,
г инвертирует а.
?& gt-. Расширения абелевых групп.
1) и = 4: ЛР5Х (2,5), р = ±1(10) — в/Е# = РЯЬ (2,5) —
2) и = 5: ЯЯ5Х (2,5) — группа Фробениуса и 2& lt-м>-(Я)<-5- Е^ Я 51(2,5) — х?^2|л, 5Х (2,5), Я (2,5)-группа Фробениуса- ((а)х (й))Я5Х (2,5), |а| = |б| = 25- две
группы типа ?54 Д5Х (2,5) — две группы типа, А (2,5), рФ 5- ,?у Л ((о)хР5Х (2,5)), р = ±1(10), = 1(3), Н = 3& gt- ЕръЯ (а)~ группа Фробениуса- Е^3ЯР5Ь (2,7), ^"3 = 1(7) —
С/?5з =РОХ (2,5).
В пункте ?& gt- действие соответствующих групп на абелевой группе определено в работах [5−7].
2. Основная теорема. Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
ТЕОРЕМА. Пусть С- конечная неразрешимая группа с нетривиальным центром. Если у (р) = 5, то О- одна из следующих групп:
1) 0 = Нх2(р), Я — группа одного из типов А. 1)-А. 3) или В. 1), м& gt-(2(0)) = 5-у (Н) —
2) 0/2(0) — группа одного из типов В. 1) или В. 2), С п2(0) = и™(2(0)) = 5-*(0/2(0)) —
3) 0 = Н'2(0), Н = 8Ь (2,д) и п'-(2(0)) = 4, если д = 5- ю (2(0)) = 3, если д = р, Г (р) =3- м& gt-(2(в)) = 2, если? е{з3,52,53,73,^, где Г (р) = 4- м& gt-(1(в)) = 1, т. е. 0 = Б1(2,д), если #е |з4,72,112,132,/& gt-|,/?||, где рх, р2-нечетные простые числа, /*(/?]) = 5 и /*^) = 5-
4) 0 = А^/(кп^, где А^ -универсальная накрывающая группы А1, (к) — мультипликатор Шура группы А1, а и е {2,3,6} -
5) в = Н-г (0), где-либо Н = РБЬ (2,9)* или 51(2,9) и п (г (в)) = 3, либо Н = Р8Ь (2,9)*/{к2} или Ц2(С)) = 2-
0/2(0) = Р01(2,д) и 0'- = 8Ь (2,д), при этом у?(2-(р)) = 1, если де52, 13, р}, где 1*(р) = 4- & gt-у (7(С)) = 2, еслм #е|з3,53,/& gt-|, где /*(/?) = 3,* м'-(2(С)) = 3, если д = 5-
7) 0/г (0) = РСЬ (2,9) и при этом либо ^ = 51(2,9)или Р??(2,9)* и м& gt-(2(0)) = 2, либо в'- = Р5Х (2,9)*/(^к2^ и У^(г (в)) = 1-
8) й = БЬ (2,д) Х (т), д е |з2,Э3|, г — нетривиальный полевой автоморфизм-
9) а2(р) = РБЬ (2, д) • (/), ^е|з2,53|, /- произведение полевого и диагонального автоморфизмов, и если д = 52, то С'- = 5Х2, 52| и ^(2(0)) = !, а если д-32, то 0'- = Р8Ь (2,9)*/(кп), где *е{2,3,6} и w (Z (G)) = 2-
10) 0 = ЕрЪХ8Ь (2,5), р = ±1(ю) и с{ер3^ = Ер3 Я (т), где г- инволюция из 5Х (2,5).
Доказательство. Если 2 (р) п С = 1, то
Сата)(*ЧС)) = С (х)/г (0) (5)
для любого хеО, т. е. (0) = у (р / 2(0}) + м& gt-(2(0)). Поэтому фактор-группа а2(р) в этом случае изоморфна одной из групп А. 1) — А. З), В. 1), В. 2) или ИЛ) и м& gt-(г (р)) = 5-у (0/2(Сг)). Если при этом, а 2 © совпадает со своим коммутантом, т. е. является группой типа А. 1) — А. З) или БЛ), то из равенства 0 = С-2© следует, что 0 = Сх2(р). Таким образом, в случае 2(0)п0'- = 1 группа О является группой типа 1) или 2) из условия теоремы.
Предположим теперь, что 2(р)пСф, и пусть 0/2(0) — группа одного из типов А. 1) —
А. 4). Тогда 0 = С-2(р) и С является накрывающей для группы 012(0). Случаи а2(0) = Мп, У, РБЬ (3,3) или Р5Х (2,2″) при и& gt-2 невозможны, так как в этих случаях мультипликатор Шура группы 0/2(0) тривиален.
Пусть 0/2(0) = РБЬ (2,д), д = рп нечетно и отлично от 9. Тогда О'- = 8Ь (2,д). В этом случае (см., например, доказательство теоремы 5.9 из [8]) централизатор любого нецентрального элемента х в группе О абелев и
|С (*)/2(е)| & lt-е|9,(6)
Тюрина И. А. Конечные неразрешимые группы с нетривиальным центром
_______________________________________и малыми централизаторами нецентральных элементов
Поэтому (7 = 8Ь (2,д) • 2 (б). И из равенств
у (5?(2,дг)) = тах{/*(дг), м& gt-(дг) + 1} ъ у (0) = (8Ь (2,д)) + м& gt-(2(0)) — (7)
следует, что & lt-? — группа типа 3) из условия теоремы.
Предположим теперь, что, а 2 (О) = Ап. Группа Ап имеет три накрывающие с центрами порядков 2, 3, и 6, соответственно. Заметим, что элемент простого порядка г из 2(0)п0'- увеличивает на единицу значение м'-(С (: с)) для г'--элемента х из Ап и не меняет м& gt-(С (л-)) для элемента х порядка г. Так как в группе А1 для элементов порядка 2 и 3 выполняется равенство *(С (*)) = 4, то в любом случае у (б'-) = 5, т. е. (7 = & amp- = А^/(кп^, где (к) — мультипликатор Шура группы Ау и п е {2,3,6}, т. е. О- группа типа 4 из условия теоремы.
Пусть ОИ{р) = Р8Ь (2,9). Мультипликатор Шура группы Р5?(2,9) тоже является циклической группой порядка 6. Так как в группе Р5?(2,9) для элемента х порядка 3 выполняется равенство м'-(с (х)) = 2, а для элемента х порядка 2 — равенство м& gt-(С (*)) = 3, то у© = 4 в случае С = РБ1{2,9) или Р5?(2,9), где (к) — мультипликатор Шура группы Р5Х (2,9), и
у ((х) = 3 в случае С = Р5?(2,9), т. е. в этом случае О — группа типа 5 из условия теоремы.
Пусть теперь 012(0) = Р0Ь (2,д). Тогда С ¦ 2 (й)/2 © = Р81 (2,д). Положим С-2{р)-Н. Тогда Н'--2(р) = Н и Н/Н'--центральная подгруппа порядка 2 из ан'-. Поэтому ан'-- абелева группа, т. е. Н'- = С. Но тогда С = Н& quot- = #'- = С. Отсюда 0'-п2 (О) = Сгл2 © и, следовательно, С является накрывающей для группы
С 1{р'-п2 (б)) = Р5Х (2, д).
Если #*9, то снова С = ?Х (2,д). В этом случае (см. доказательство теоремы 5.9 из [8]) централизаторы нецентральных элементов в группе (7 исчерпываются подгруппами порядков 9−12(0)1 и («±1)-|2(0)|.т.е. мы получаем группы типа 6) из условия теоремы.
Предположим, что 9 = 9. Тогда С = Р8Ь (2,9) где п е {2,3,6}. Если и = 3, т. е.
С = 51(2,9), то из /*(9) = 3 следует, что м& gt-(2(0)) = 2. А если С = Р5Х (2,9) или Р5Х (2,9) /{к1'-) и х- центральная инволюция из 0/2(0), то из условия С012^ (х2(С))| = 16 следует, что порядок силовской 2-подгруппы 5 из С (г) равен 16. Так как С (х) = 8−2(р) и 12 (О) п б'-] равен 6 или 3, то
|С (г)| = 48(Ст)! {2 (р) п С?'-)|. (8)
Поэтому из м& gt-(48) = 5 следует, что 2(0)& lt-С и, следовательно, м& gt-(2(0)) = 2 в первом случае и у^(2 (О)) = 1 во втором случае, т. е. О — группа типа 7 из условия теоремы.
Рассмотрим теперь случай, когда 0/2(0) = Р8Ь (2,д)Л (х). В этом случае снова С- эпи-
морфный образ Р81(2,д). И из равенства Р5Х2, 2& quot-) = Р5Х (2,2& quot-) при и& gt-2 следует, что д = 32 или З3. Если д = З3, то из С (г)^(г)х5Х (2,3) и условия у ((/) = 5 следует, что м& gt-{2(0)) = 1, т. е. 0 = 8Ь[2,33)д (г). В случае и д-9 и (У = 5Х (2,9) аналогично получим
в = 5Х (2,9)Л (г). А если 0'- = Р5?(2,9)* или Р8Ь (2,9)*/(к2), то из Ср5Ь{2 9)(т) = Рв1(2,3) получим у (р)& gt-5.
Пусть С/2(0) = Р81,(2,д)^}, где произведение полевого и диагонального автоморфизмов. В этом случае силовская 2-подгруппа группы 0/2(Сг) диэдральна. Как и выше, С — эпи-морфный образ группы. В случае # = 52 для центральной инволюции 7е 012{Ст) выполняется равенство |с (/)| = 24 • 2 (0)|, т. е. в этом случае м& gt-(2 (б)) = 1. Если же ^ = 9, то |с (0|-8. |г (о)| и, следовательно, м/{2 (б)) = 2.
Пусть 0/2(Сг) = А5хН, |я| =/и?. Если, а — элемент порядка 3 из Я, g- элемент порядка? из ^ и г = [а^], тоиз гр следует, что-либо г = 1, либо ц = р. Во
втором случае элемент, а перестановочен с силовской 2-подгруппой из Т, где Т = А5х (а), а следовательно и с подгруппой, порожденной этими силовскими 2-подгруппами. Но тогда С (а) = Т (а) и м& gt-(С (а))>-5, т. е. этот случай невозможен. В случае О / 2 (р) = (^Н х. (а))(т), где
Я = А5, аналогично получим С (а) = Я х (а), что невозможно.
Пусть а2(р)-расширение группы Е 3, где р = 5 или р = ±1(10), с помощью Р51(2,5). Как показано при доказательстве теоремы 1.2 из [3], в этом случае можно считать, что Еръ -(а)х{а2)х (аз) & gt- и Для силовской 2-подгруппы ^г^х^г2^ из Р5Х (2,5) выполняются равенства а/'- = а, и ар = а, — 1 при у, где /, у = 1,2,3 и г3 = ^ • г2 • Но тогда из [о, ау-^е2© следует, что
[& lt-%•"/] = Ь"яуГ =[а-'а71] ¦ (9)
Поэтому? а,-, ау^ = 1, т. е. (р'-гл2(р), р) =. Это означает, что г2(р) = 2 и О- расширение 2? з с помощью 5?(2,5), причем инволюция из 51(2,5) действует на Ер3 тривиально, т. е. б-
группа типа 10) из условия теоремы.
Если 0/2(р) = АЛ81(2,5)~группа типа 0. 2), то из 51(2,5) =51(2,5) следует, что порядок |С'-п2(С)| нечетен. Но тогда если г — инволюция из 51(2,5), то м'-(с (т))& gt- 5, т. е. этот случай невозможен. Аналогично в случае а2(р) = Е^ /1((о)х/& gt-5?. (2,5)) получим *(С (а))& gt-5.
Предположим теперь, что а2(Ст) = ЕрЪ ЯР51(2,7). Из леммы 6.5 работы [7] следует, что в некотором базисе 105,02,03} группы Ер3 элемент х порядка 4 из Р51(2,7) задается матрицей
р
'- 1 п
-г — -
2 2
а 1 1
0 /* + - -/• -
2 2
1 1
г — -
ч 2 2-
(10)
где г — решение уравнения 2 г +г + 1 = 0 в поле йР (р). Но тогда С0/2^(х) = = (х)х (а1га3^. Положим Ъ=а^а2аъ. Так как м'-(с, С/г (о)(^))=:^ и ^(С (А))^5, то
если Р- силовская /7-подгруппа группы (?, то [Р, л]^С (й). И из Р-Р, х]-СР (х) и СР (х) = (Ь, г) следует, что Р& lt-С{Ъ), что невозможно.
Случай 0/Е$ 3 2,5) аналогично приводится к противоречию. В этом случае из леммы
Литература
1. Bianchi, М. Groups with small centralizers of non-central elements / M. Bianchi, O. Manz // Boll. Un. Mat. Ital. (7). — 1990. — V. 4-A. — C. 365−370.
2. Scarcelli, A. Gruppi con piccoli centralizzanti / A. Scarcelli // Boll. Un. Mat. Ital. (7). — 1992. -V. 6-B. -C. 649−663.
3. Антонов, B.A. Группы с малыми централизаторами / В. А. Антонов, И. А. Тюрина,
A.П. Ческидов // Мат. заметки. — 2001. — Т. 69 — № 5. — С. 643−65 5.
4. Антонов, В.А. О конечных группах с ограничениями на централизаторы / В. А. Антонов, И. А. Тюрина, А. П. Ческидов // Мат. заметки. — 2002. — Т. 71 — № 4. — С. 483−495.
5. Антонов, В.А. О конечных группах с малыми централизаторами элементов / В. А. Антонов,
B.И. Зенков, И. А. Тюрина // Алгебра и лин. оптимиз.: Труды междун. сем. памяти С. Н. Черникова. — Екатеринбург, 2002. — С. 44−46.
6. Антонов, В.А. О группах с малыми централизаторами, 2 / В. А. Антонов, В. И. Зенков, И. А. Тюрина // Междун. конф. «Алгебра и ее приложения»: Тез. докл. — Красноярск, 2002. — С. 5−7.
7. Bloom, D.M. The subgroups of PSL (3,q) for odd q / D.M. Bloom // Trans. Amer. Math. Soc. -1967. -V. 127. -C. 150−178.
8. Schmidt, R. Zentralizatorferbande endlicher Gruppen / R. Schmidt // Rend. Sem. Math. Univ. Padova. — 1970. -V. 44. -C. 97−131.
6.3. работы [7] следует, что в некотором базисе |а, а2""з} группы элемент х порядка 4 из РС?(2,5) задается матрицей
С з-1 I)
3 0 -1
(10)
и 3 3
Поступила в редакцию 7 августа 2006 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой