О расчете изгиба шарнирно-опертых анизотропных пластин с учетом влияния поперечных сдвигов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том IX
197 8
М 6
УДК 624. 073. -419 518. 61:512. 831
О РАСЧЕТЕ ИЗГИБА ШАРНИРНО-ОПЕРТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ СДВИГОВ
Рассматривается поперечный изгиб шарнирно-опертых анизотропных пластин в рамках гипотезы Рейсснера. Показывается, что для ортотропиого материала при определенных соотношениях между коэффициентами ортотропии справедливо представление решения исходной задачи в виде суммы двух решений: уравнения изгиба тонкой пластинки в рамках гипотезы Кирхгофа и уравнения второго порядка соответственно.
Рассмотрим шарнирно-опертую анизотропную пластину произвольного очертания с границей Г, лежащую в плоскости ху и нагруженную поперечными силами р=р{х, у). Изгиб пластины с учетом поперечных сдвигов описывается системой линейных дифференциальных уравнений [1]:
А. Б. Кудряшов, В. Д. Чубань
0)
(2)
(3)
(4)
(5)
дх '- ду ~~
(6)
(7)
(8)
где тю, & lt-р и ф -прогиб пластины и углы поворота нормали к срединной поверхности пластины вокруг осей х и у соответственно- Г) п, ?)12, 022, ?)23, 033, Ки К2 — жесткостные коэффициенты
пластины*, (?!, ?2, И-изгибающие моменты вокруг осей х и у и скручивающий момент соответственно.
На границе тела Г, характеризующейся касательным вектором т: и вектором внешней нормали п, заданы граничные условия шарнирного опирания:
где & lt-р" - угол поворота нормали к срединной поверхности пластины вокруг вектора п, — изгибающий момент вокруг векторах.
Система уравнений изгиба тонкой шарнирно-опертой пластины отличается от системы уравнений (1) -(11) тем, что вместо уравнений (4), (5) рассматриваются уравнения
— решение системы уравнений изгиба тонкой пластины (1) -(3),
Найдем условия, при которых решение системы уравнений изгиба пластины в рамках гипотезы Рейсснера (1) — (11) представимо в виде:
Подставляя выражение для вектора X в уравнения (1) — (11), получим тождественное удовлетворение всех уравнений, кроме (4) и (5), которые примут вид
Условие интегрируемости этих уравнений представляется в виде
И) I г = о,
(9)
(10)
(И)
¦Мг | р-----т. 0,
?п I Г = 0.
? ^ дх ~'-и'
*+|г=0-
(12)
(13)
Условие (11) прш этом выполняется автоматически. Пусть
(14)
(6) -(11), (12), (13).
где
х=*[ои в, н, с?!, д2, ф, м], 01=0 ь 62 = о1 я = я*, рж -= QГ. ?^ = & lt-32,
(16)
(17)
(15)
(18)
(19)
* Выражения для жесткостных коэффициентов приведены в [1].
Предположим, что жесткостные коэффициенты пластины постоянны. В этом случае, произведя ряд преобразований, нетрудно показать, что условие (20) представимо в виде
д4 да* г ?& gt-11, О,", 2 ?& gt-3:
, д* да* Г ?& gt-," 022 2 033] ,
^ д* & lt-3_уз [ К! & quot-1_ К2 Кг П
д4 да* Г 2 013, 2 Ой ?& gt-23, 013] & lt-?4 да* ?)13 д4 да* ?23 _ п, оп
д*"ду" [ К, ^ К2 Кх гА: 2]^ дх* К2 ду' к1 ' ^ '-
откуда следует, что
?& gt-13 = 0, 023 = 0, (22) т. е. пластина должна быть ортотропной, и
Ри _ Д12 + 2 Д33 Д22______ Дп ~Ь ^ О33
/Сх — /С2 — К, ~ К1
(23)
Для однородных пластин из этих соотношений нетрудно получить соотношение для физических характеристик материала, из которого они изготовлены:
02з~& lt-?1з (ВД)½.
1 (24)
012 = ±-(Е1Е2У"\ + ^ч2У"]-К *
Таким образом, если выполняются соотношения (22), (23), то система уравнений (18), (19), (17) разрешима относительно т. Уравнение для функции те& gt- может быть получено подстановкой уравнений (18), (19) в (8), что дает
д2 да ,. ()2 да ~
+ та'1г = 0- (25)
Таким образом, доказано следующее предложение:
Если, для ортотропного материала справедливо (23), то решение системы уравнений (1) — (И) представимо в виде (15), (16), (17), где X* - решение системы уравнений (1) — (3), (12), (13), (6) -(11), а, но — решение уравнения (25). Заметим, что разница между решениями X и X* заключается только в появлении дополнительных прогибов 'на, которые не вызывают изменения напряженного состояния пластины.
Решение уравнения (25) для частного случая квадратной трансверсально изотропной пластины, нагруженной равномерным давлением р (см. фигуру), можно получить в виде:
да-«& gt-(•*. у& gt-х (^)2' (26)
где К==К1 = Кг = Ю, 3 при условии постоянства т13 по толщине пластины и /С == 5/65С?13 при условии параболического изменения т13 по толщине пластины, а — размер пластины
(_ 1)"*+л 1 С08 (2/и + 1) 1 сое |я (2 п + 1)
00 00
(2/п+ 1) (2 п+ 1)[(2 т+ 1)* + (2я + 1) а]
т=0 л=0
Значения «в вдоль оси _у = 0 приведены в табл. 1.
2 х/а ш 2х /а (1)
0 0,4485 0,5833 0,311
0,0833 0,4458 0,6666 0. 2657
0. 1666 0,4379 0,750 0,2127
0,250 0,4244 0,8333 0,1511
0,3333 0,4054 0,9166 0,080
0. 4166 0,3803 1,000 0
0,500 0,349
Проиллюстрируем полученные соотношения на примере численного решения для шарнирно-опертой квадратной пластины толщиной 8=1 размера, а =10, при /& gt-=10. Характеристики материала Е1 = Е2 — Е3 — 1000- Уц, = 0,3- б12 = 384,61. Модуль поперечного
сдвига принимался равным О^г = (?із = 384,61 для первого расчетного случая (изотропный материал) и бгз =С|з) = 38,461 для второго расчетного случая (трансверсально изотропный материал) соответственно.
У& lt-Р, Ф.. .
п
Г у




0 X
а
Результаты численных расчетов, выполненных по методу конечного элемента с использованием 4X4=16 лагранжевых изопа-раметрических элементов пластины* с бикубической аппроксимацией поля перемещений по элементу (см. фигуру), представлены в табл. 2.
Сравнивая попарно 3 и 4, 5 и 6 строки таблицы, убеждаемся в хорошем согласовании численных результатов с теоретическими.
Для случая защемленной квадратной пластины предложение
* Основные идеи построения изопараметрических конечных элементов пластин и оболочек, удовлетворяющих гипотезе Рейсснера, приведены в работе [3].
Характеристика 1-й расчетный случай 2-й расчетный случай Примечание
1 w (0,0) 71,7444 78,6397 МКЭ, гипотеза Рейсснера
2 w* (0,0) 70,936 70,936 Аналитически, по С. П. Тимошенко* [2], гипотеза Кирхгофа
3 В (0,0) 1150,14 1149,19 МКЭ, гипотеза Рейсснера
4 О* (0,0) 1149,6 1149,6 Аналитически*, по С. П. Тимошенко, гипотеза Кирхгофа
5 w=w (0,0) — w* (0,0) 0,808 7,703 **
6 ®теор 0,7661 7,661 Аналитически, согласно (26& gt-
* Три верных десятичных знака.
** Один верный десятичный знак.
Таблица 3
Y я пяігтрпигтм и* я2 fi? l — 26 fi-=260 Gn Примечание
Оіз G13
і w (0,0) 23,010 30,582 100,505 МКЭ, гипотеза Рейсснера
2 w* (0,0) 22,014 22,014 22,014 Аналитически, по С. П. Тимошенко, гипотеза Кирхгофа
3 «*(0. 0) 555,569 560,717 574,444 МКЭ, гипотеза Рейсснера
4 «і (0. 0) 554 554 554 Аналитически, по С. П. Тимошенко, гипотеза Кирхгофа
5 ах (а, 0) -1211,97- -і 149,98 -1024,12 МКЭ, гипотеза Рейсснера
6 о* (а, 0) -1231 — 1231 -1231 Аналитически, по С. П. Тимошенко, гипотеза Кирхгофа
7 w=а0, 0)-®& gt-*(0,0) 0,995 8,567 78,491
8 ®теор (0,0) 0,766 7,661 76,61 Аналитически, согласно (26)
не справедливо, но, как показывают численные расчеты по МКЭ, с точностью до 10−15% в широком диапазоне изменения EJGl3, 2(1 + v13) ?*j/Gig 200 (1 -ї- ^ig)» полученными результатами можно пользоваться приближенно (табл. 3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М.,. Машиностроение*, 1965.
2. Тимошенко С. П., Войновски й-К р и г е р С. Пластинки и оболочки. М., ГИФМЛ, 1963.
3. Ahmad S., Irons В. М., Zienkiewicz О. С. Analysis of thich and thin shell structures by curved finite elements.. Int. J. for Num.
Meth. Eng. *, vol. 2, N 3, july-sept., 1970.
Рукопись поступила 271X11 1977 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой