О разрешимости двухточечный краевой задачи для нагруженных дифференциальных уравнений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517. 946
Е.А. Акжигитов
канд. физ. -мат. наук, доцент, кафедра «Высшая математика», Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина, г. Астана
Ж.М. Кадирбаева
канд. физ. -мат. наук, ст. преподаватель, кафедра «Высшая математика», Казахский агротехнический университет им. С. Сейфуллина, г. Астана
О РАЗРЕШИМОСТИ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Аннотация. В статье рассмотрена линейная двухточечная краевая задача для систем нагруженных дифференциальными уравнениями. Поставленная задача исследована с неравномерным разбиением интервала с помощью метода параметризации, и установлено необходимое и достаточное условие однозначной разрешимости задачи при помощи фундаментальной матрицы.
Ключевые слова: нагруженные дифференциальные уравнения, параметрический метод, однозначная разрешимость.
E.A. Akzhigitov, Seifullin Kazakh Agro Technical University, Astana Z.M. Kadirbayeva, Seifullin Kazakh Agro Technical University, Astana
ON A SOLVABILITY OF TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR LOADED DIFFERENTIAL EQUATIONS
Abstract. A linear two-point boundary value problem for system of loaded differential equations is considered. The considered problem with the non-uniform partition of interval by using the parameterization method was investigated and a necessary and sufficient condition for the unique solvability of the problem with the fundamental matrix is established.
Keywords: loaded differential equations, parametrization method, unique solvability.
В данной статье на [0,7 ] для системы нагруженных дифференциальных уравнений: rly m+1
dX = A (t) x +? A, (t) x 0) + f (t), x e Rn, (1)
rt ,=1
рассматриваем линейную двухточечную краевую задачу с условием
Bx (0) + Cx (T) = d, d e Rn, (2)
где (n x n) — матрицы Aj (t), j = 0,…, m +1 и n — вектор f (x, t) непрерывны на [0,7],
n
0 = 00 & lt- 01 & lt- … & lt- 0m1 & lt- dm & lt- в m+1 = T, ||x|| = mix|x, |, ||A (t)|| = miX? aj (t)|.
Нагруженные дифференциальные уравнения и краевые задачи для таких уравнений рассмотрены во многих работах. Краевые задачи для нагруженных дифференциальных уравнений возникают при математическом моделировании процессов механики, биологии и химии. Например: задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, экспоненциальный рост численности, задачи оптимального управления агроэкосистемы и т. д.
Значительный вклад в развитие теории нагруженных уравнений внесли работы А.М. На-хушева [1], где даны определения нагруженных дифференциальных, нагруженных интегро-
дифференциальных, нагруженных функциональных уравнений. В работе В. М. Абдуллаева, К.Р. Айда-заде [2] предложен численный метод решения системы обыкновенных нагруженных дифференциальных уравнений с начальными и неразделенными многоточечными условиями. В работе Д. С. Джумабаева [3] предложен метод параметризации исследования и решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющий получить условия разрешимости в терминах исходных данных задачи и построить алгоритмы нахождения ее решения. В работе [4] с этого метода с разными шагами интервала предложен алгоритм нахождения решения задачи (1), (2).
Целью данной статьи является нахождение необходимых и достаточных условий однозначной разрешимости задачи (1), (2) при разных шагах разбиения.
Через C ([0,T], R& quot-) обозначим пространство непрерывных функций х: [0,T] ^ R& quot- с нормой ||х|| = maxi|x (t)||.
II 11° iE[0T]И 4 '-\
Функция x*(t)е C ([0,T], Rn) называется решением задачи (1), (2) если она удовлетворяет систему нагруженных дифференциальных уравнений (1) и краевое условие (2).
В настоящей работе задача (1), (2) исследуется методом параметризации. Пусть || Д°(0||& lt- a0(t), где a0(t) непрерывен на [0, 7]. Возьмем число a & gt- 0 и через k,. _1 обозначим
в,
число разбиения промежутка [в1, в], при котором имеет место неравенство J a0®dr & lt- a.
в1. «,_11
Введем следующие обозначения:
. __pm+1
p0=0, p/+1 = Yks, l = 0, m и произведем разбиение [0,7) = у [tr-1,tr), где t0 = в0 = 0,
s=0 r=1
ti = воу t2 = в0,2, ¦¦- tp1 = в» tp1+i = в1,1, ¦¦- tp2 = в2, ¦¦¦, tpm+1 = 7
Через С ([0,7, Я& quot-Рт+1) обозначим пространство систем функций хИ = (х-|(0,x2(t),…, хр, где хг: [tr1, trЯ непрерывны и имеют конечные левосторонние
пределы lim xr (t) для всех r = 1, pm+1, с нормой || x[-] ||1= max sup || xr (t) || ¦
t^r -0 r=1,Pm+iiE[ir1, tr)
Сужение x (t) на r -ый интервал [tr_vtr) обозначим через xr (t), т^ xr (t) = x (t) для
t e [tr1, tr), r = 1, Pm
Вводим параметры Xr = xr (tr-1), r = 1, pm+1, и делаем замену
ur (t) = xr (t) — Xr, r = 1, pm+1 ¦ Тогда получим параметрическую краевую задачу
du т+1
-Р- = A,(t)[Ur (t) + X] + S Amp-1+1 + f (t), t e [tr-1,tr), (3)
dt i=1
ur (tr-1) = 0, r = 1, pm+1, (4)
BX1 + CXn + C lim un (t) = d, (5)
1 pm+1 t ^7−0 pm+1
ka + linn0us (t) = As+1, s =1 pm+1 -1. (6)
t ^ts-0
Задачи (1), (2) и (3) — (6) эквивалентны. Если пара (Л, и[Л), где Л = (Л1,Л2,., ЛР),
1 2 pm+1
u[t] = (u1(t), u2(t),., up (t)) — решение задачи (3) — (6), тогда x (t), определямое соотношениями
1 2 pm+1
x (t) = X + Ur (t), t e [tr-1,tr), r = 1, pm+1, x (7) = Xpm1 + limUpm1(t), будет решением задачи (1), (2)
Наоборот, если х (Щ) решение задачи (1), (2), тогда пар (2ДЛ), где X = (х (0), х (Щ1),., х (ЩР ,)),
1 Рт+1 1
йЩ = (х (Щ) —. (0), х (Щ) — х (?),…, х (Щ) — х (ЩР .)) будет решением задачи (3) — (6).
1 Рт+1 1
При фиксированных значениях параметров X е Я& quot-Рт+1, система функций и й[Щ], определяется из задачи (3), (4), которая является специальной задачи Коши для систем нагруженных дифференциальных уравнений. Задача (3), (4) эквивалентна системе интегральных уравнений:
Щ т+1
-1 ,
йг (Щ) = X (Щ) | Х-1 (г) Ао (г^г + Х (Щ) I Х-1 (г)? А,. (г)Хрм +А ¦ & gt-,-1 & gt-,-1 '-=1
+Х (Щ) I Х-1 (г)/(г)dг, Щ е [Щ,-1,ЩГ), г = 17Рт+1,
(7)
Решая (12), мы находим представление й (Щ) в терминах X е RnРm+1, г = 1, рт+1, и /(Щ). Подставляя их в (5) и (6) получим систему уравнений для нахождения неизвестных параметров:
ВХ1 + СХ (Т) I Х-1 (г) Ао (г)Хр^г +
ЩРт+1−1
Т т+1 Т
+СХ (Т) I Х-1 (г)Х, А (г^А + СХ (Т) I Х-1 (г)/(г)сг = d,
ЩРт+1−1 ЩРт+1−1
Щз *з т+1
X + Х (Щ,) I Х-1 (г) Ао (г)Xldг + Х (Щ,) I Х-1 (г)Х, А (г^+А +
г8−1 /=1
+Х (Щ,) I Х 1 (г) / (г) dг = X,+1, 5 = 1, Рт+1 -1.
г8−1
Запишем эту систему уравнений с учетом вектора:
QX = ^,
где:
Q=
В+СХ (Т) I Х (г)А,(г)ск 0 … СХ (Т) I Х1(г)А,(г)ск … С+СХ (Т) I Х1(г)А,(г)ск
ЩРт+1−1 рт+1−1 ЩРт+1−1
«1 «1 Щ
I +Х (Щ1)!Х1(г)4)(т)ск+X (t1)|Xт)A-(т)ск -I … Х^Х1 (т)А,(^Л … 0
Рт-1−1
^ I АА (г)сг
V ЩРт+1−2
Q: ^пРт+1 ^ ^пРт+1
РтИ-1
0. Ы IМА (т)ст
-/
X =
Х (Т) I Х (г) /(г) сг — с
Г X ^ Л1 Г X ^ 1 ЩРт+1−1 Щ1
X2 е Rnpm+l, X = X е Rnpm+l, F = Х (^)|x & gt-0 1 (г) / (г) сг е RnРm+1
X, V Рт+1 У X, V Рт+1 У 1Рт+1−1 Х (ЩРт+1−1) I 1. Х 1 (г) / (г) сг
Определение 1. Задача (1), (2) является однозначно разрешимой, если для любого (/(Щ), с) имеет единственное решение.
& gt-г
Рт+1
Рт+1−2
Теорема 1. Задача (1), (2) является однозначно разрешима тогда и только тогда, когда матрица О обратима.
В общем случае, если матрица, А состоит из переменных коэффициентов, тогда нахождение фундаментальной матрицы является трудной ситуацией. Но фундаментальная матрица может быть найдена приближенно используя численные методы. В следующем примере, при нахождении фундаментальной матрицы используется метод Рунге-Кутта.
Рассмотрим краевую задачу для нагруженных дифференциальных уравнений на отрезке [0,1]:
* = (02 Ох + (& quot-2 0 IX (0. 5) + а I12 о! 10. 25 0. 25/ 1 ^ -
Г 17 ^ -/-1 8
/3 — /4 + - 16
, / е [0,1], х е R2,
10! х (0)+Г0 01 х (1)=[01
(8)
(9)
Точное решение: х1(/) = /2 — /, х2(/) = 0.
Численное решение этой задачи с помощью метода, который был представлен в этой статье (табл. 1).
Таблица 1 — Численное решение задачи
] ti) & lt-) ~2(1Ч-) Х2)
0 0 0 0 0 0
1 0. 05 -0. 4 750 000 031 -0. 0475 -0. 10 292 0
2 0.1 -0. 9 000 000 118 -0. 09 -0. 1 076 0
3 0. 15 -0. 12 750 000 249 -0. 1275 -0. 11 237 0
4 0.2 -0. 16 000 000 414 -0. 16 -0. 11 723 0
5 0. 25 -0. 18 750 000 605 -0. 1875 -0. 12 218 0
6 0.3 -0. 2 100 000 081 -0. 21 -0. 12 722 0
7 0. 35 -0. 2 275 000 102 -0. 2275 -0. 13 236 0
8 0.4 -0. 24 000 001 226 -0. 24 -0. 1 376 0
9 0. 45 -0. 24 750 001 416 -0. 2475 -0. 14 295 0
7 ~1(2Ч-) & lt- (0) ~2(2)('--) Х2)
10 0.5 -0. 25 000 001 583 -0. 25 -0. 14 844 0
11 0. 55 -0. 24 750 001 717 -0. 2475 -0. 1 541 0
12 0.6 -0. 24 000 001 808 -0. 24 -0. 15 999 0
13 0. 65 -0. 22 750 001 848 -0. 2275 -0. 16 616 0
14 0.7 -0. 21 000 001 827 -0. 21 -0. 17 272 0
15 0. 75 -0. 18 750 001 739 -0. 1875 -0. 17 978 0
16 0.8 -0. 16 000 001 574 -0. 16 -0. 18 751 0
17 0. 85 -0. 12 750 001 325 -0. 1275 -0. 19 611 0
18 0.9 -0. 9 000 000 984 -0. 09 -0. 20 583 0
19 0. 95 -0. 4 750 000 545 -0. 0475 -0. 21 696 0
20 1 0 0 -0. 22 988 0
Здесь х* (/) =
X (/)
V х2 а)
— значения точных решений задачи (8), (9), х (1)(/) =
г х (1)(/)& quot- V х21)(/)!
/ е [0,0. 5), X (2)(/) =
Г х (2)(/)) V Х22)(/),
, / е [0. 5,1].
Из таблицы следующие неравенства очевидны: sup |x*(t)-x (1)(t)| & lt- 0. 1, max|x*(t) -x (2)(t)| & lt- 0. 2.
ie[0,0. 5) te[0−5,1] 1
Таким образом, представленный метод дает приближенное решение с точностью s = 0. 2 для рассматриваемой задачи. Расчеты получены с помощью пакета математических программ MathCad 13.
Список литературы:
1. Нахушев А. М. Уравнения мат. биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
2. Абдуллаев В. М. О численном решении нагруженных дифференциальных уравнений / В. М. Абдуллаев, К.Р. Айда-заде // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — Т. 44, № 9. — С. 1585−1595.
3. Джумабаев Д. С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1989. — Т. 29, № 1. — С. 50−66.
4. Бакирова Э. А. О признаке однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для системы нагруженных дифференциальных уравнений // Известия HAH РК. Сер. физ. -мат. -2005. -№ 1. — С. 95−102.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой