О регулярных квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2010, № б, с. 43−47
УДК 621. 391. 01
О РЕГУЛЯРНЫХ КВАЗИСИНХРОННЫХ РЕЖИМАХ В СИСТЕМЕ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
© 2010 г. Г. М. Бакунов, В. В. Матросов, В.Д. Шалфеев
Нижегородский госуниверситет им. Н. И. Лобачевского gleb@bakunov. com
Поступила в редакцию 07. 07. 2010
Рассмотрены характеристики регулярных квазисинхронных режимов в системе фазовой автоподстройки частоты в зависимости от параметров.
Ключевые слова: фазовые системы, фазовая автоподстройка частоты, динамические режимы, синхронизация, бифуркации.
1. Нелинейная динамика систем фазовой синхронизации (систем фазовой автоподстройки частоты — ФАП) изучена достаточно хорошо [1−3]. Известно, что в типовой модели системы ФАП с интегрирующим RC-фильтром в цепи управления учет запаздывания приводит к нарушению устойчивости состояния равновесия, соответствующего режиму синхронизации, и появлению около этого состояния равновесия предельного цикла. С возникновением предельного цикла связано появление регулярной (периодической) автомодуляции колебаний частоты на выходе ФАП при стабилизации средней (центральной) частоты этих колебаний по опорной частоте, поэтому его обычно называют режимом квазисинхронизации [3]. При использовании в цепи управления фильтров второго порядка и выше режим регулярной периодической квазисинхронизации может иметь место и без учета запаздывания [4]. Более того, здесь может происходить усложнение периодической автомодуляции колебаний генератора на выходе системы ФАП, в результате которого регулярные автомодуляционные колебания становятся хаотическими. С точки зрения достижения точной синхронизации появление автомодуляции колебаний на выходе системы ФАП, как регулярных периодических, так и хаотических, ведет к ухудшению точности синхронизации, и актуальной становится задача поиска путей эффективного подавления автомодуляции. В настоящей работе представлены результаты исследования зависимости некоторых характеристик автомодуляционных режимов от параметров типовой системы ФАП.
2. Рассмотрим типовую систему ФАП с фильтром К (р) в цепи управления. Базовая математическая модель такой системы может
быть представлена следующим операторным уравнением [1]:
Рф + K (р) F (ф) = у, (1)
где p = d/dt — оператор дифференцирования, ^ - максимальная расстройка по частоте, которая может быть скомпенсирована цепью управления, у = QH/Q — относительная начальная частотная расстройка подстраиваемого и опорного генераторов, К (р) — коэффициент передачи фильтра, -Р (ф) — нормированная нелинейная характеристика фазового дискриминатора.
При приближенном учете запаздывания в
цепи управления (е~ТзР «1 — ТЗ р, где ТЗ — время
запаздывания) уравнение (1) можно записать в виде [З]
Рф + K (р)(1 — T3p) F (ф) = у. (2)
Полагая фильтр интегрирующим К (р) = = (1+Тр)-1, нелинейность -р (ф) = sinф и вводя безразмерное время т = Qt и параметры є = QT, d = ТЗ/Т, запишем (2) в следующей форме: dф _ dx
s — = у — (1 — ds cos ф) y — sin ф. (З)
dx
Качественное исследование динамики системы (З) выполнено в работе [5]. В этой работе наряду с существованием устойчивого состояния равновесия на фазовой поверхности (ф, у), соответствующего режиму синхронизации подстраиваемого и опорного генераторов, установлена возможность нарушения устойчивости этого состояния равновесия с ростом запаздывания d через бифуркацию Aндронова-Хопфа и образования устойчивого предельного цикла вокруг со-
Рис. 1. Разбиение плоскости параметров у) на области качественно различной динамики системы (3) для е = 5
стояния равновесия, соответствующего режиму периодической автомодуляции подстраиваемого генератора. Целью настоящей работы является исследование количественных характеристик периодического квазисинхронного режима, изучение параметров угловой автомодуляции в зависимости от параметров модели (3).
3. Ниже представлены результаты компьютерного моделирования динамики системы (3), полученные с помощью пакета [6]. Пакет позволяет провести построение фазовых портретов (ф, у), вычисление бифуркационных значений параметров, соответствующих изменению фазовых портретов, а также исследовать характеристики периодических движений. На рис. 1а приведено разбиение плоскости параметров (& lt-3,у) на области, соответствующие различным режимам работы системы (3) при е = 5, а на рис. 1б представлены фазовые портреты для этих областей параметров.
На рис. 1а четыре бифуркационные кривые: у = 1 — двукратного состояния равновесия, ун -нейтрального состояния равновесия, у^ и уи -гомоклинических траекторий первого и второго рода — разбивают плоскость (4 у) на шесть об-
ластей D-D (. Для параметров, принадлежащих области Dl, фазовый портрет системы содержит устойчивое состояние равновесия О^агсэту, 0) и седловую точку 02(л-агсзту, 0) (рис. 1б). При любых начальных условиях система приходит в состояние равновесия О1, где разность фаз постоянна, а разность частот равна нулю, то есть реализуется режим синхронизации. При выходе из области D1 в область D5 через кривую уи в фазовом пространстве модели (3) из петли сепаратрис, охватывающей фазовый цилиндр, рождается устойчивый предельный цикл 2-го рода L1. В результате в области D5 глобальная устойчивость синхронного режима нарушается режимом биений, определяемым циклом L1. При переходе из области D1 (й5) в область D2 ф4) состояние равновесия О1 теряет устойчивость [5] на кривой уН, удовлетворяющей условию йе = (1 — у2)~12. При этом в результате мягкой бифуркации Андронова-Хопфа вокруг состояния равновесия О1 появляется предельный цикл L0 (рис. 1б). Цикл L0 является образом ква-зисинхронного режима, поскольку здесь разность частот колебаний подстраиваемого и опорного генераторов совпадает только в сред-
нем. Цикл Ь0 существует в области параметров Б0 = D^2uD4, которая на рис. 1а выделена серым цветом. При переходе из Б0 в область Б3 с ростом параметра й размер цикла Ь0 увеличивается и при достижении значений параметров, соответствующих кривой У]^0, цикл влипает в петлю сепаратрис, не охватывающую фазовый цилиндр, и исчезает. Область Б3 характеризуется наличием единственного аттрактора Хь т. е. при значениях параметров из этой области в системе всегда реализуется режим биений. Отметим, что в [5] обсуждается другой логически возможный вариант исчезновения устойчивого предельного цикла Ь0 — через бифуркацию двойного предельного цикла — и указывается, что существование такой бифуркации доказать не удалось. Проведенное нами компьютерное моделирование системы (3) показало, что при просчитанной сетке параметров исчезновение цикла через бифуркацию двойного предельного цикла в системе (3) не имеет места. В заключение обсуждения разбиения плоскости параметров (й, у) отметим, что поведение системы (3) в областях Б6 и Б3 одинаково, в этих областях фазовое пространство содержит единственный аттрактор Ь — в системе ФАП при любых начальных условиях реализуется режим биений.
Перейдем теперь к рассмотрению свойств предельного цикла Ь0, размеры и период которого определяют параметры модулирующих колебаний. Проведенное численное исследование позволило выявить зависимость характеристик этого цикла — его размера (Дф и Ду диапазонов изменения переменных ф и у) и периода ТС — от параметров системы (3). На рис. 2 представлены зависимости Дф (рис. 2а) и Ду (рис. 2б) от параметра запаздывания й при различных значениях параметра расстройки у. Как видно из рис. 2, при у ~ 0. 5−0.7 предельный цикл существует лишь в узком интервале значений параметра й ~ 0. 15−0.2 и девиация фазы и частоты колебаний (величины Дф и Ду) зависит от параметра й практически линейно. При у & lt- 0.5 и у & gt- 0.7 зависимости Дф и Ду от й становятся существенно нелинейными — с насыщением при больших значениях й. В целом, глубина автомодуляци-онных колебаний уменьшается с ростом параметра у.
На рис. 3 представлена зависимость периода цикла Тс от параметра й при различных у. Зависимость Т С (й) является нарастающей, причем крутизна нарастания вначале возрастает с увеличением параметра у от 0 до ~0. 5, а затем начинает уменьшаться. Области существования функции ТС (й) соответствуют рис. 1а.
. ,"-С 2 0. 5
П. 7
П. 95
1
Е1 1
¦З. Е
о. п
і
¦. ?
п.в ¦
. О. ?
-
…0. 7
п
й. 1
і
п. ?
ЙД
I
П. 4
с!
СГ|& gt-
Рис. 2. Зависимость Аф (а) и Ау (б) от d при е = 10 и различных у (значения у указаны рядом с соответствующими кривыми)
Рис. 3. Зависимость периода цикла от d при е =10 и различных у (значения у указаны рядом с соответствующими кривыми)
На рис. 4 представлены фазовые портреты, осциллограммы переменной у предельного цикла Х0, определяющего закон модуляции квазисинхронных колебаний на выходе ФАП, а также соответствующие этим колебаниям спектры мощности. Эти картины приведены для малых и больших начальных расстроек у и трех значений параметра запаздывания d: при «малом
Рис. 4. Фазовые портреты, осциллограммы и спектры мощности колебательных аттракторов модели (3) при у = 0.2 и значениях d = 0. 2042 (а), d = 0.3 (б), d = 0. 4244 (в), а также при у = 0. 95 и значениях d = 0. 641 (г), d = 0. 75 (д), d = 0. 836 (е)
запаздывании» — в окрестности кривой ун (рис. 4а, г), где зарождаются колебания, «большом запаздывании» — в окрестности кривой уи (рис. 4 В, е), где разрушаются колебания, и «среднем запаздывании» (рис. 4б, д). Эти картины иллюстрируют зависимость свойств модулирующих колебаний от начальной частотной расстройки и запаздывания. Из анализа этих картин следует, что свойства квазисин-хронных колебаний сильно зависят от запаздывания и практически не зависят от параметра у. При больших (у = 0. 95) и малых (у = = 0. 2) значениях расстройки частот эволюция
модулирующих колебаний с ростом й протекает по одному сценарию: возникающие колебания имеют квазисинусоидальный вид (рис. 4а, г) — с ростом запаздывания форма колебаний меняется, отдаляясь от гармонической, в спектре мощности нарастают гармоники на эквидистантных частотах (рис. 4б, д) — при дальнейшем росте й колебания принимают кноидальный вид, спектр мощности усложняется, вплоть до подавления центральной частоты модуляции.
4. Проведенное компьютерное моделирование системы фазовой автоподстройки при учете
запаздывания позволяет заключить, что наряду с синхронным режимом в системе возможен квазисинхронный режим, характеризующийся наличием регулярных периодических автомо-дуляционных колебаний подстраиваемого генератора. Глубина автомодуляционных колебаний (определяемая размерами предельного цикла) увеличивается с ростом величины запаздывания, причем при малых запаздываниях d эта зависимость близка к линейной, а с ростом запаздывания становится существенно нелинейной. Период автомодуляционных колебаний с ростом запаздывания увеличивается и в пределе стремится к бесконечности (при «влипании» цикла в петлю сепаратрис).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10−02−865 и проекта ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт № 02. 740. 11. 0565).
Список литературы
1. Шахгильдян В. В., Ляховкин А. А. Системы фазовой автоподстройки частоты. — 2-е изд., доп. и перераб. М.: Связь, 1972.
2. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении / Пер. с англ. под ред. Ю. Н. Бакаева и М. В. Капранова. М.: Сов. радио, 1978.
3. Капранов М. В. Элементы теории систем фазовой синхронизации: Учебное пособие по курсу «Теория колебаний». М.: Издательство МЭИ, 2006.
4. Матросов В. В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, № 4. С. 357−368.
5. Белюстина Л. Н. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2. № 2. С. 277−291.
6. Матросов В. В. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: Учебно-методическая разработка. Нижний Новгород: ННГУ, 2002.
ON REGULAR QUASI-SYNCHRONOUS REGIMES IN A PHASE-LOCKED LOOP
G.M. Bakunov, V.V. Matrosov, V.D. Shalfeev
The paper discusses the characteristics of regular quasi-synchronous regimes in a phase-locked loop system depending on its parameters.
Keywords: phase systems, phase-locked loop, dynamic regimes, synchronization, bifurcations.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой