О решении линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «APRIORI.РИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»
№ 1 2016
УДК 517. 926. 4
О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Кочкин Сергей Алексеевич
кандидат физико-математических наук Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск
Аннотация. В статье при помощи приема мультипликативного интегрирования расширены возможности получения точных решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Показано, что такое уравнение имеет решение в квадратурах, если один из его переменных коэффициентов является произвольной функцией, а второй выражается через него определенным образом. Получены простые формулы для общего решения линейного однородного и неоднородного дифференциальных уравнений второго порядка в этом случае.
Ключевые слова: линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, мультипликативный интеграл, решение в квадратурах.
ON SOLVING LINEAR SECOND-ORDER
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
Kochkin Sergey Alekseevich
candidate of physico-mathematical sciences M.V. Lomonosov Northern (Arctic) Federal University, Arhangelsk
Abstract. In this article using technique of multiplicative integration the opportunities of getting accurate solutions of linear second-order ordinary differential equation were extended. It was shown that such equation has solution by quadratures in case one of its variable coefficients is arbitrary function and other is expressed through it in a certain way. The simple formulas for the general solutions of linear second-order homogeneous and nonhomoge-neous differential equations are obtained in this case.
Key words: linear second-order ordinary differential equations, multiplicative integral, solution by quadratures.
Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, как однородных, так и неоднородных, как с постоянными коэффициентами, так и с переменными коэффициентами, имеет обширную область применения в различных областях математики, физики и техники. В частности, решение таких уравнений используется в теории механических и электрических колебаний, при изучении вынужденных и затухающих колебаний или волн той или иной природы, где соответствующие уравнения колебаний не всегда разрешимы в явном виде. Известно, что линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка вида
/ + a (t) y'- + b (t) y = f (t), (1)
где a (t), b (t), f (t) — непрерывные функции в некотором интервале, в общем виде не интегрируется в квадратурах. Также не имеет решения в явном виде и соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
y & quot- + a (t) y '- + b (t) y = 0. (2)
Наиболее распространенным методом интегрирования такого рода линейных уравнений с переменными коэффициентами, представляющих наибольший интерес для исследования, является поиск искомого решения в виде степенных рядов, либо при соответствующем выборе переменных коэффициентов их решение может быть записано в виде специальных функций [1]. Также решение уравнения (2) может быть найдено, если известно одно нетривиальное частное решение этого уравнения [1].
Кроме этого, если известна фундаментальная система решений y (t), y 2 (t) линейного однородного уравнения (2), то решение линейного
неоднородного уравнения (1) можно найти, например, методом вариации произвольных постоянных [1] по формуле:
у (г) = СЛ (г) + С2у2(г) — у (г)| А + у2(г)| Л, (3)
где С и С — произвольные постоянные, Ш (г) = у (г)у'-2(г) — у (г)у (г).
В данной работе на основе метода анализа некоторых случаев решения общего уравнения Риккати с помощью мультипликативного интегрирования, предложенного Н. М. Ковалевской в [2], показано, что линейное дифференциальное уравнение (1) имеет решение в явном виде, если один из переменных коэффициентов является произвольной функцией, а второй выражается через него определенным образом.
Для получения этого решения неоднородного уравнения (1) сначала найдем фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения (2). Для этого запишем уравнение (2) в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:
1У'- = * (4)
^'- = -Ъ (г)у — а (г)
Для удобства представим систему (4) в матричном виде


где X =
= А (г) ¦ X, (5)
V 2 У
— матрица неизвестных функций у (г) и 2 (г), а
г 0 1 Л
А (г) =
— Ъ (г) — а (г)
(6)
является матрицей коэффициентов.
Известно, что фундаментальная матрица решений системы дифференциальных уравнений — это мультипликативный интеграл от матрицы коэффициентов А (г) [3- 4]. Для удобства обозначим его следующим образом:
X (А) =| Е + А (т)йт, (7)
0
здесь E — единичная матрица. В то же время известно, что вычисление мультипликативного интеграла от матрицы произвольной структуры в общем случае затруднено, что в свою очередь и обусловливает невозможность решения системы (4), а вместе с ней и уравнения (2) в квадратурах. Однако если матрица A (t) является функционально-коммутативной, т. е. выполняется
A (t '-) ¦ A (t & quot-) — A (t & quot-) ¦ A (t '-) = 0 vt t & quot-g R, (8)
то мультипликативный интеграл сводится к матричной экспоненте [3- 4]:
t
nt | A®dr
J E + A®dr = e0.
0
В нашем случае матрица (6) не является функционально-коммутативной, т. к. не удовлетворяет условию (8), поэтому представим ее в виде суммы двух матриц A (t) и A (t) согласно формуле:
A (t) = A (t) + A (t) =
Г 0 0 & gt- Г 0 1 ^
+
, 0 — a (t), v- b (t) 0,
(9)
после чего воспользуемся правилом вычисления мультипликативного интеграла от суммы двух матриц [3]:
X (А) = X (А) ¦ X (В), (10)
где
В (1) = хА) • А (() • X (А). (11)
Легко видеть, что матрица А (0 в разложении (9) функционально-коммутативная, поэтому мультипликативный интеграл от нее вычисляется просто:
'-1 0 л
x (A) = j e + A ®dr =
-f a (t) dt
0 e J
После чего матрица В (г), вычисленная по формуле (11), примет вид
0
В (г) =
— Ъ (г)е
0 е
| а (г)Сг
а (г) Сг^ 0
(12)
В общем случае данная матрица не является функционально-коммутативной, однако она удовлетворяет условию (8), если

Ъ (г)е
Г, а (г) Сг «-Г а (г) Сг
• = Се •
или
Ъ (г) = -Се
-2Г а (г)Сг
(13)
где С — произвольная постоянная. Тогда
В (г) =
С -Га"^
0 е Г
С е
а (г)Сг
0
и мультипликативный интеграл от матрицы В (г) легко вычисляется:
4С8к Ш е^С?) ок (4Се~1т*А
П I
X (В) = • Е + В (т)Ст =
(14)
Таким образом, фундаментальная матрица решений системы (5) вычисленная по формуле (10), примет вид
'- ок^Ге^А Ске• а ('-)ЛсЛе•тл ок (4Се• а ()ЛлХ•а ()Л
X (г) =
-= sh (л/С • еа (г)
(15)
Отсюда следует, что фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения (2) составляют следующие функции
у1
& lt-(0 = ок[ л/С{ еа (улси 1, у (г) = ^^к[ л/С{ е] а (г)),
Г а (г) Сг • /
(16)
так что общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (2) при условии связи его коэффициентов (13) запишется в виде
у (() = С^л/С | е 1 а (()*Л) + С^к| е & quot-(()), (17)
где С, С — постоянные интегрирования.
Следовательно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) в случае, когда а (() — произвольная функция и коэффициент Ь (() выражается через а (() по формуле (13), имеет, согласно формуле (3), вид
у (() = С1ок{4С | е^ а (0) + С& gt- ГТС | е^ а (0 * Л () —
1


J f (t)e1 a (t)dtsh (VCJeJ a (t)d'-dt)dt • ch[ VCJeJ a^dt ] +
-J a (t) dt
-J a (t) dt
(18)
4c
J f {t)eJa (t)dtch (4CJ eJ a (t)dtdt ]dt • sh[ VC J eJ a (t)dtdt].
-Ja (t)dt
-Ja (t)dt
Найдем теперь фундаментальную матрицу решений системы (5) и, следовательно, решение уравнения (1) в случае, когда коэффициент а (() выражается через Ь ((). Из условия (13) следует, что
a (t)
b'-(t) 2b (t)
(19)
так что еа (()Л = -уЫ). Значит, функционально-коммутативная матрица В ((), подобно матрице (12), будет выглядеть следующим образом:
B (t) =

о
¦Ш о
Мультипликативный интеграл от B (t) в этом случае имеет вид
r cos (Jy[b (tjdt) sin (Jy[b (tjdt)Л — sin (J^?b (t)dt) cos (J-Jb{t)dt)
i t
X (B) = J E + B (i)dr =
1
и фундаментальная матрица решений системы (5) также легко вычисляется по формуле (10). Так что общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (2) при условии связи его коэффициентов (19) запишется в виде
где С, С2 — снова постоянные интегрирования.
Наконец, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) в случае, когда Ъ (г) — произвольная функция и коэффициент а (г) выражается через Ъ (г) по формуле (19), имеет, согласно формуле (3), вид
Таким образом, используя прием мультипликативного интегрирования для анализа возможности получения точных решений в явном виде, показали, что линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (1) интегрируется в квадратурах, если оба его переменных коэффициента выражаются друг через друга определенным образом ((13) или (19)). Если а (г) — произвольная функция, то решение пред-ставимо в виде (18), если Ъ (г) — произвольная функция, то решение
имеет вид (21). Отметим, что в решение (18) входит произвольная постоянная С, обусловливающая связь между переменными коэффициентами уравнения (1), поэтому в этом случае можно говорить о семействе решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
(20)
Список использованных источников
1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1976. 589 с.
2. Kovalevskaya N.M. On some cases of integrability of a general Riccati equaton. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http: //arxiv. org/abs/ math/604 243 (дата обращения: 13. 01. 2016).
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 2010. 560 с.
4. Мантуров О. В. Мультипликативный интеграл // Итоги науки и техн. Сер. Пробл. геом. М., 1990. Т. 22. С. 167−215.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой