Проектирование симметричных полосовых фильтров и развязанных резонансных звеньев

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Павел МИХАЛЕВ
Постановка задачи проектирования полосового фильтра
Задача проектирования полосового фильтра (ПФ) задается, как правило, параметрами амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), представленной в обобщенном виде на рис. 1.
Данная АЧХ характеризуется следующими параметрами:
• юНП, аВП — соответственно нижняя и верхняя границы полосы пропускания-
• X — величина допустимой неравномерности АЧХ ПФ в пределах полосы пропускания-
• юНЗ, аВЗ — соответственно нижняя и верхняя границы зон задерживания-
• ю0 — средняя частота полосы пропускания-
• КНЗ, КВЗ — соответственно нижнее и верхнее значение коэффициента передачи в зонах задерживания.
Если величина отношения ^п/Нп& lt-5, то такой ПФ относится к классу узкополосных. Его оптимальная реализация с точки зрения минимально необходимого числа элементов строится в виде каскадного соединения развязанных резонансных звеньев (контуров). Очевидно, что это предопределяет полино-
0 (!)НЗ а) нп «о (-)вп ЮВЗ (0
Рис. 1. АЧХ полосового фильтра в терминах обобщенных параметров
Проектирование симметричных полосовых фильтров
из развязанных резонансных звеньев
В статье приводится методика расчета полосовых фильтров с симметричной АЧХ полиномиального типа Баттерворта и Чебышева в виде каскадного соединения развязанных резонансных звеньев. Методика рассчитана на произвольные параметры задаваемой АЧХ. При реализации могут быть использованы звенья любой схемотехники. Приведены примеры наиболее популярных схем звеньев и даны методы их расчета.
миальный характер реализуемой АЧХ. Такие П Ф называют симметричными полосовыми фильтрами (СПФ). Симметричность АЧХ в данном случае подразумевается в геометрическом смысле и определяется выполнением следующих условий:
(r)0 = ^Нп^ВП = ^Юнзх®ВЗ, (1)
КНЗ = КВЗ- (2)
Простейшим СПФ является резонансное звено 2-го порядка, передаточная функция которого имеет вид:
j-хсі №
П/ю) = м----------^-----,-, (3)
Л. СО, 00
1+у-Х6?------5-
(r)0 ®0
где М — масштабный множитель (коэффициент плоского усиления) — і - затухание, величина, обратная добротности резонансного контура:
1/і = = (c)о/(®вп — ®нп) = (4)
Здесь ширина полосы пропускания (^П-НП) определяется по уровню 0,707 (-3 дБ).
Решение задачи аппроксимации — определение параметров передаточной функции — производят через ФНЧ-прототип. Для этого передаточную функцию ПФ преобразуют с помощью реактансного (частотного) преобразования в передаточную функцию ФНЧ-прототипа. Покажем этот переход на примере передаточной функции одиночного резонансного контура. Для этого разделим числитель и знаменатель выражения (3) на числитель, в результате чего получим:
Введем в рассмотрение новую переменную, называемую относительной расстройкой:
У = (ю/ю0)-(ю0/ю). (6)
Данное выражение и описывает реактанс-ное, или частотное преобразование.
В результате такого перехода к новой переменной передаточная функция резонансного конура второго порядка (5) преобразуется в передаточную функцию ФНЧ-прото-типа первого порядка:
Г (]У = M (1/(1+jQУ)). (7)
Таким образом, формально решение задачи проектирования СПФ в виде каскадного соединения развязанных резонансных контуров сводится на первом этапе к определению порядка передаточной функции ФНЧ-прототипа, что с учетом билинейного характера частотного преобразования (6) определяет требуемое число резонансных контуров, а также добротностей и частот настроек контуров. На втором этапе реализации осуществляется выбор схемы резонансного звена и рассчитываются по соответствующим методикам величины его элементов.
Рассмотрим методику решения первой задачи, ограничиваясь полиномиальными АЧХ чебышевского и баттервортовского типов. Полиномиальные АЧХ характеризуются монотонным характером спада за пределами полосы пропускания. В пределах полосы пропускания чебышевская АЧХ имеет равноволновый колебательный характер, а баттервор-товская — монотонный.
Порядок расчета чебышевского СПФ
Порядок расчета СПФ, заданного параметрами АЧХ (рис. 1), может быть представлен в виде следующего вычислительного алгоритма.
1. Производится симметризация (в геометрическом смысле) заданных граничных частот АЧХ из условия выполнения соотношения (1).
Примечание. Если строго задана центральная частота и ширина полосы пропускания, то одна из границ полосы уточняется в соответствии с равенством (1). Если же строго задана только ширина полосы пропускания, то точно вычисляется значение центральной частоты, и при выбранном значении аНЗ или аВЗ вычисляется другая частота границ зон задерживания. Как правило, за исходное значение принимается аВЗ. Тогда:
(r)НЗ
— ®02/®ВЗ.
1п
п& gt--
1 -к2вз, 1
І2ХКІ3 Ч ч ¦5*1 гч
1п (^дз+х/^ю Ї)
Примечание. Если выполняются условия: КВЗ ^ 1- X ^ 1, то можно вместо (14) воспользоваться упрощенной формулой:
п& gt-
Л -ТС
0 3+1а вз
(^83 +ЛІ^ВЗ ~ О
(15)
Возникающая при этом ошибка не превышает 0,6% даже при КВЗ = 0,3 и X = 0,3.
5. Уточняется величина КВЗ вследствие округления п:
кв
1
о, 5Х (авз+^Р)\
:. (16)
(8)
2. Осуществляется переход к параметрам АЧХ ФНЧ-прототипа на основе частотного преобразования (6):
?вп = (®ВП/ШоНЮо/Ювп). (9)
?вз = (швз/(c)о)-(шо/швз) — (10)
Очевидно, что при этом преобразовании будет выполняться следующее условие:
?вз = Кз/(c)0)-(ш0/шВЗ) = -^НЗ =
= ((c)ЯЗ/®0)-(®0/®НЗ) — (11)
3. Осуществляется переход к нормированной частоте АЧХ ФНЧ-прототипа:
о = ?/?Вп. (12)
При этом получим:
°ВП = ^ВП/^ВП = 1 °ВЗ = ^вз/^вп- (13)
4. Определяется порядок ФНЧ-прототипа — количество необходимых резонансных контуров. Фактически здесь определяется порядок полинома Чебышева, использующегося для аппроксимации АЧХ ФНЧ-про-тотипа.
е=& gt-№+1г'-+х
2
(14)
Знак неравенства в данном выражении предполагает округление получаемой величины до ближайшего большего целого числа. Очевидно, что такое округление предопределяет образование некоторого „запаса“ по величине КВЗ или ОВЗ по сравнению с исходно заданными значениями.
Е = Ч
2(1+А.)
(23)
Возникающая при таком упрощении ошибка может быть оценена следующими примерами:
• при X = 0,1- ЪЕ = 0,1%-
• при X = 0,3-ЪЕ = 0,5%.
8. Определяются параметры (частоты настроек и добротность) двух симметрично расстроенных резонансных контуров СПФ, соответствующих звену второго порядка ФНЧ-прототипа.
Значение добротности определяется следующим выражением:
А±
7
1вп
2йГ
+
Л+р-
1вп
2
Ж
г] хУ
ац Х 1 ВЦ
. (24)
Примечание. Уточнение величины КВЗ предполагает сохранение неизменными величин X и ПВЗ. Но если неизменными величинами считать X и КВЗ, то уточнять следует величину ПВЗ. Для этого необходимо решить уравнение:
ОВЗ = (а2+1)/2а- где, а = (((Шв2з)-1)/(0,5xX))2n. (17)
6. Определяется число звеньев ФНЧ-прото-типа:
Примечание. Звено первого порядка ФНЧ-прототипа соответствует одиночному резонансному контуру СПФ, настроенному на частоту ю0. Звено второго порядка ФНЧ-про-тотипа соответствует двум резонансным контурам СПФ с одинаковой добротностью, симметрично расстроенным влево и вправо относительно ю0.
7. Определяются параметры звеньев второго порядка ФНЧ-прототипа:
= 2Б Бт^), (18)
Лч = В2 с082(у?)+О2 б1п2(^?), (19)
В = 0,5(Е+1/Е), Б = 0,5(Е-1/Е), (20)
-1, (21)
Частоты настроек определяются согласно
= X ^ ®Р?= ®о/хч& gt- (25)
Хв = 0,5хdqQqУвп+V (0,5xіqQqУвп)2 1- (26)
9. Определяются параметры резонансного контура, соответствующего звену первого порядка ФНЧ-прототипа. Частота настройки этого контура равна центральной частоте СПФ — ю0, а его добротность определяется соотношением:
(27)
= (п/2п)х[1+2(к-1)], к = 1, 2, … 2п. (22)
Фактически значения углов определяются только для первого квадранта.
Примечание. Если выполняется условие X ^ 1, тогда вместо (21) можно воспользоваться упрощенной формулой:
Примечание. Если проектируемый СПФяв-ляется узкополосным, то есть если выполняется условие
(r)ВП/(c)НП — l, 2¦¦¦l, 25,
тогда при расчете добротности и частот настроек пары расстроенных контуров вместо формул (24) и (26) можно использовать упрощенные выражения:
Qq = (Хч/Увп)х (1/(В 8 т (^)) — (28)
Х^ = 1+0,5 УвпВ соб (^?) — (29)
Порядок расчета баттервортовского СПФ
Расчет баттервортовского СПФ, АЧХ которого имеет монотонный характер в пределах полосы пропускания, в целом аналогичен рассмотренному выше. Отличие обусловлено лишь двумя обстоятельствами. Во-первых, решение задачи аппроксимации основано на применении полиномов Бат-терворта. Поэтому порядок фильтра определяется иным выражением. Во-вторых, АЧХ баттервортовского ФНЧ-прототипа формально имеет неизменную величину неравномерности в полосе пропускания -3 дБ. Тем не менее, СПФ с баттервортовской АЧХ можно рассчитать для произвольного значения неравномерности. Все это отражено в приводимом далее порядке расчета, который основан на задании параметров АЧХ СПФ в виде рис. 1.
1. В соответствии с (1) производится симметризация частотных параметров:
Ю0
= V®
'-впХ®нп
= V®
взх®нз:
= V®
ВП*хшНП*'-
(30)
Здесь введены две частоты, определяющие границы полосы пропускания для произвольного значения неравномерности X (помечены значком *). Частоты тНПи тВПопределены для неравномерности -3 дБ (X = 0,293).
2. Переход к параметрам АЧХ ФНЧ-прототи-па осуществляется аналогично предыдущему, за тем исключением, что в данном случае вычисляем
Увп* = (ЮвП*/®0)-(®0/®ВП*) — (31)
Далее — по формулам (10), (13).
3. Определение порядка ФНЧ-прототипа (числа резонансных контуров) производится в данном случае по следующей формуле:
ґі -к?
п & gt- 0,5х-
2 ХКІ
ІІ
Гу ^ *вз
у*
вп-
Здесь также знак неравенства предполагает округление до ближайшего большего целого числа.
4. Уточнение величины КВЗ вследствие округления п:
Кв,
1
При каскадировании следует располагать звенья в порядке нарастания величины их добротности.
Вторым этапом проектирования СПФ является выбор схемы резонансного звена и расчет величин его элементов по заданным значениям добротности и частоты настройки.
Резонансные АИС-звенья подразделяются на низкодобротные (Q & lt- 5), среднедобротные (Ю & lt- 20) и высокодобротные (Ю & gt- 20). Количество схемотехнических решений резонансных звеньев достаточно велико и насчитывает много десятков известных вариантов, построенных по различной идеологии [1−3]. В рамках данной работы ограничимся лишь несколькими примерами практических схем звеньев.
Низкодобротное резонансное звено на ОУ с отрицательной обратной связью [3]
Схема звена приведена на рис. 3.
(32)
(33)
Коэффициент передачи звена имеет вид, аналогичный выражению (3):
Дальнейший порядок расчета полностью соответствует приведенному выше чебышев-скому варианту СПФ: пункты 6, 7, 8, 9 сохраняются полностью с одним уточнением, связанным с необходимостью для данных пунктов вычисления значения УВП для X = 0,293 (-3 дБ) в соответствии с выражением:
7*
V — ВП ,
вп~^. (34)
Резонансные ARC-звенья и их расчет
В результате расчета по приведенной выше методике определено требуемое число резонансных контуров и их параметры: добротности и частоты настроек. Иными словами, полностью определена структура СПФ в виде рис. 2.
Т (М = -Мх-
7----ХСІ
,. со, 00 1+7-хс?-ї
(35)
оо»
ОД
Для случая равноемкостного варианта схемы С1 = С2 = С основные параметры звена определяются следующими соотношениями:
• частота настройки:
(r)0
1^гхЯ3хС 2- добротность:
Q = 1/і = 0,5^^-
(36)
(37)
Расчет схемы сводится к определению величин элементов по заданным значениям Ю, М и ю0 = 2ге_/д.
Методика расчета в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.
1. Из конструктивных и технологических соображений выбираем величину емкости С.
2. На основе выражения (36) вычисляем вспомогательную величину а:
= уГхЕ3 = 1/(®охС).
Затем вычисляем:
Я3 = 2Qа, г = а/ Q.
3. Вычисляем:
Яі = (г/M)x2Q, Я2 = (Я1Хг)/(Я!-г).
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
Замечание: при неудачном выборе величины С последнее выражение может дать отрицательную величину сопротивления Я2. В этом случае следует вернуться на шаг № 1 и выбрать другое значение С.
Резонансное звено на основе обобщенного конвертора импеданса Схема звена, приведенная на рис. 4, позволяет реализовать резонансную характеристику с добротностью от единиц до двух сотен в диапазоне частот до 1 МГц в зависимости от типа используемых ОУ [4].
• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):
М = ^2/(^!+^2)х2Ю2= (т/К1)х2Ю2. (38) В этих выражениях
г = (Я^ЖЯ^) — (39)
Отметим, что величина плоского усиления в данной схеме прямо пропорциональна квадрату добротности.
Рис. 4. Резонансное звено на обобщенном конверторе импеданса
Передаточная функция звена имеет вид (3),
где:
• масштабный множитель (коэффициент плоского усиления):
М = 1+(Ях/Ян) — частота настройки (резонанса):
соп =
1
СхС^х/^х^х-
(45)
(46)
а
1*1
Рис. 5. Схема универсального звена второго порядка
• добротность:
е=Д4?х
я
С3
(47)
Поскольку частота настройки не зависит от Я, изменяя его, можно изменять добротность при сохранении неизменными значений частоты.
Порядок расчета звена в предположении идеальности ОУ состоит в следующем.
Задано: М, Q, ю0. Полагаем С3 = С — равноемкостный вариант.
1. Вычисляем вспомогательный параметр в:
в = М-1.
(48)
2. Вычисляем оценочную величину резистора Я2:
Я2 = 1/(®охС). (49)
Полученное значение округляем до ближайшего удобного номинала из ряда.
3. Рассчитываем вспомогательную величину г
г = Vв/(ю0xC)
4. Вычисляем:
К-4 = Г г/Я2,
Я = Q (г^в).
(50)
(51)
(52)
5. Резисторы Я1 и Ян входят в выражения (45−47) своим отношением. Поэтому далее выбираем Я1 из ряда номиналов величиной, близкой к величине Я2, и затем определяем Ян:
Я" = Яі/Р.
(53)
Данная схема в зависимости от точки съема выходного сигнала реализует передаточную функцию резонансного контура (ВЫХ ПФ) или два варианта передаточной функции ФНЧ второго порядка (соответственно ВЫХ НЧ1 и ВЫХ НЧ2), которые различаются видом коэффициента числителя передаточной функции. Реализуемые звеном передаточные функции имеют соответственно следующий вид:
ГпфС/ю) = М1((-(ю/®0)х^)/(Р (-ю))) — (54) ТНЧ1(]& amp-) = М2 (1/(Р (У (c)))) — (55)
ТНЧ2(]& lt-Л) = Мэ (1/(Р (/ю))) — (56)
где:
• Р (-ю) = 1±(ю/ю0)х^-(ю2/ю02) (57) — полином знаменателя второго порядка-
• ю0 = 1/ЯС (58) — частота настройки звена (для ПФ — это частота резонанса) —
• й = Я/Я6 = 1/Ю (59) — затухание звена, величина, обратная добротности.
Частота настройки и затухание определены при условии равнономинальности:
• С1 = С2 = С-
• Я1 = Я2 = Я3 = Я4 = Я5 = Я-
• масштабный множитель ПФ —
М1 = Я6/Я3- (60)
• масштабный множитель ФНЧ-1 —
М2 = (Я1хй4)/(й3хй5) — (61)
• масштабный множитель ФНЧ-2 —
М3 = Я1/Я3. (62)
Порядок расчета звена ПФ для данной схемы сводится к следующей процедуре:
• задано М, Ю, ю0 = 2ге/0-
• выбираем из конструктивных и/или технологических соображений величину емкости конденсатора С (желательно из ряда номиналов) —
• вычисляем на основе (58) величину Я:
Универсальное звено второго порядка
Другой схемой высокодобротного резонансного звена является универсальное звено второго порядка, реализованного на основании метода аналогового моделирования (рис. 5) [1].
Я = ½л/0С-
(63)
на основе (59) вычисляем величину сопро-
тивления Я
Я6 = ЯxQ-
(64)
• на основе (60) вычисляем Я3:
Я3 = Я6/М = Я^/М). (65)
Примечание. Универсальные звеньярассмо-тренного типа в настоящее время выпускаются в виде микросхем рядом фирм, производящих микросхемы. Примером могут служит микросхемы фирмы МАХІМ МАХ274, МАХ275. Микросхема МАХ274 содержит в одном корпусе два звена второго порядка, каждое из которых позволяет реализовать звено ФНЧ-2 или резонансное звено ПФ-2. Микросхема МАХ275 содержит в одном корпусе четыре таких универсальных звена.
Подробную информацию об этих и других микросхемах активных фильтров можно найти на сайте данной фирмы [5].
Активное LCR-звено резонансного контура второго порядка
При реализации СПФ, предназначенного для работы в области достаточно высоких частот — сотни килогерц, единицы мегагерц, требующих к тому же больших значений добротности составляющих резонансных контуров, вполне допустимо применение катушек индуктивности. Для таких частот современная промышленность выпускает широкий ассортимент готовых индуктивных компонентов с весьма высокими показателями, малыми габаритами (выпускаются даже катушки для поверхностного монтажа) и относительно низкой стоимостью.
Простейшим примером реализации резонансного контура в этом случае может служить схема, приведенная на рис. 6.
Передаточная функция данного звена имеет вид (3).
Частота настройки определяется параметрами 1С-резонансного контура:
(r)0 = 2л/0 = 1/^1С. (66)
Добротность резонансного контура есть отношение сопротивления Я1 и характеристического сопротивления р:
Q = Я/р = Я/& lt-ІІС. (67)
Усилитель на ОУ выполняет роль буферного усилителя для обеспечения развязки при каскадном включении таких звеньев. Кроме того, он может использоваться как масштабный усилитель, причем результирующий коэффициент усиления фильтра в целом можно распределить между всеми входящими в фильтр усилительными фрагментами.
Коэффициент усиления отдельного усилителя в звене и, следовательно, масштабный множитель данного звена не влияет ни на частоту настройки, ни на добротность и определяется простым соотношением:
К = 1+Я3/Я2. (68)
Заключение
Предложенная в статье методика, основанная на развитии идей, заложенных в работе [6], представляет собой хорошо алгоритмизированную последовательность простых вычислений. Вычислительная процедура легко реализуется в пакете «MathCAD» и позволяет определять с высокой точностью основные параметры резонансных контуров (частоты настроек и добротности) практически для любого порядка СПФ с полиномиальными АЧХ. Ограничения налагаются только на величину максимальной добротности требуемого резонансного контура, поскольку это определяется реализационными возможностями выбираемой схемотехники.
В приложении 1 приведен пример расчета чебышевского СПФ 6-го порядка, реализованный в пакете «MathCAD 2001», который можно найти на сайте журнала http: //www. e. ru/assets/rasschetChebyshevsky. mcd.
Приведенные примеры реализации резонансных контуров сопровождены методиками расчета элементов схем по вычисленным добротностям и частотам настроек контуров. При этом выбор схемы и изначально задаваемых величин элементов схем может быть произвольным, что позволяет при многовариантном расчете получить наиболее оптимальную реализацию в смысле соотношения величин элементов и их абсолютных значе-шт. ¦
Литература
1. Хейнлейн В. Е., Холмс В. Х. Активные фильтры для интегральных схем. М.: Связь, 1980.
2. Справочник по расчету и проектированию АИС-схем / Под ред. проф. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984.
3. Мошитц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров. М.: Мир, 1984.
4. Коротков А. С., Михалев П. Г. А. с. 1 385 260 (СССР). Полосовой активный ИС-фильтр // БИ. 1988. № 12.
5. www. maxim-ic. com
6. Славский Г. Н. Активные ИС- и ИСХ-фильтры и избирательные усилители. М.: Связь, 1966.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой