О решении задачи нелинейной фильтрации одномерных диффузионных процессов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 517
Э. М. АСАДУЛЛИН, Ф. С. НАСЫРОВ
О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ
Рассматривается задача нелинейной фильтрации одномерных диффузионных процессов. Данную задачу удалось свести к решению цепочки нестохастических дифференциальных уравнений в частных производных, что существенно упрощает задачу. Рассмотрен пример решения задачи нелинейной фильтрации диффузионных процессов. Произведено моделирование диффузионных процессов и построена оценка для ненаблюдаемого процесса. Диффузионные процессы — фильтрация — наилучшая оценка — уравнение для фильтрационной плотности — цепочка нестохастических дифференциальных уравнений
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена задаче одномерной фильтрации диффузионных процессов. Пусть фиксировано вероятностное пространство (О,, Р) с потоком о-алгебр Щ}№[0 Т] и независимые стандартные винеровские процессы у (0, ^(0, t е [0, Т]. Рассмотрим диффузионный процесс (х (0, у (0), удовлетворяющий следующей системе уравнений:
х (0 = Хо + _)0 Ь (5, -ф), у (5)) +
+ _)0 о^, х (я), у (х)) Ж (я) +
(1)
г І
+ ^ 0(5, х (5), у (5)) ^($). _
л?
У (І) = Уо + _)0 Ь2 (5, -Ф), У (5)) ds
+
(2)
+ ЮОо (5, У (5)) dw (s)
где интегралы по винеровским процессам — стохастические интегралы Ито. Предполагается, что процесс у (0 доступен наблюдениям, а процесс х (0 — нет. Задача фильтрации заключается в нахождении условного математического ожидания mt = Е[Д (х (())^], где Yt — о-алгебра, порожденная значениями процессау (0, при 5 е [0,, Дх) — детерминированная функция.
В работах Р. Ш. Липцера, А. Н. Ширяева [2], Г. Каллианпура [1], Б. Л. Розовского [4] данная проблема (в многомерном случае) была сведена к задаче нахождения ненормализованной фильтрационной плотности, которая является решением стохастического дифференциального уравнения в частных производных. Показано
Контактная информация: (347)273−77−35
(см. [4]), что условное математическое ожидание т (можно вычислить по формуле
т = Е[/(х (ґ))| у (]
— Ж
к/ (х)У (і, х) dx V (і, х) dx
(3)
где У (^ х) — так называемая ненормализованная фильтрационная плотность, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению в частных производных
У, х) — У (0, х) = Ю ([о (5, х, у (5)) У (5, х)]хх -- [*1 (5, х, у (5)) У (5, х)]'-х } Ж +
+ Ю (И (5, х, у (5))У (5, х) — (4)
— [0(5, х, у (5)) У (5, х)]'-х } й~(5), У (0, х) = Р0(х).
Здесь, а := у[о2 +о2]], И: =|^, р0(х) — условная
плотность х (0) относительно Y0, а м& gt-^) — вине-ровский процесс, полученный в процессе применения теоремы Гирсанова с целью «уничтожения сноса» в уравнении для наблюдаемой компоненты (2):
л І
у (і) = Уо + _)0 Оо (5, У (5)) ^(5).
(5)
Решить стохастическое дифференциальное уравнение (4) ранее удавалось только в линейном случае (фильтр Калмана-Бьюси), в других отдельных случаях задачу пытались решить методами статистического моделирования, что представляет собой крайне трудоемкую и сложную задачу.
В настоящей работе данную задачу удалось свести к решению пары нестохастических дифференциальных уравнений в частных производных, что существенно упрощает нахождение
решения задачи. В работе приведен пример построения решения задачи нелинейной фильтрации диффузионных процессов, произведено численное моделирование.
1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ ПЛОТНОСТИ
Найдем структуру наблюдаемого процесса, который определяется уравнением (5). Воспользуемся методом, предложенным в работе [3]. Наблюдаемый процесс будем искать в виде у (1) = у (1,)), где у (1,и) — гладкая функция.
Запишем уравнение (5) в форме Стратоновича: у (, т~(1)) — у (0, й (0)) =
= J0 Оо (5, y (s, w (s)))dw (s) —
(6)
— 2 Jo °0y (s, y (s, w (s)))yu (s, w (s)) ds. Левую часть уравнения (6) можно записать в виде:
y (t, w (t)) — y (0, w (0)) = J0 y'-s (s, w (s)) ds
: +
+
J0yU (s, w (s))dw (s).
Пользуясь тем, что стохастический интеграл Стратоновича может быть вычислен по формуле (см. [3])
J0/ (s, w (s))dw (s) =
= J^/(t, u) du — J0 JJ (0/,(s, u) du ds,
можно записать уравнение (6) следующим образом:
J0 [y (s, w (s)) — Jr (0) y'-su (^ u) du
+
+JW~c (0)) yu (t, u) du=J^ °0(t, y (^u)) du+
+
J0 [-1 s0 y (s, y (s, w (s))) y'-u (s, w (s)) —
¦JwoX (s, У (s, u)) du.
J0
Сгруппируем слагаемые
[ys (s w (s))+
+2 s y (s yw (s))) y'-u (s s)) —
f^~(s) / /
~, n, [yu (^ u) — s0(^ y (^ u))]s du
•& gt- w (0)
ds
fw (t) /
™ [s0Ct, yCt, u)) — yuCt, u)]du.
i w (0)
*'-и'(0)
В силу того, что в левой части мы имеем гладкую функцию, а в правой — функцию неограниченной вариации, решение будем искать из условий равенства нулю подынтегральных выражений. Получим
y'-u (t, u) = 00(t, y (t, u)),
y'-s (t, w (t)) =
= - 1 о0 у (t, у (^))) 00 (t, у (1,))), (7)
у (0, й (0)) = у0.
Таким образом, мы получили уравнения, которым удовлетворяет наблюдаемый процесс. Рассмотрим теперь уравнение (4), решение которого будем искать в виде
У = У О1, х, у (1, Щ))).
Перепишем уравнение (4) в форме Страто-новича (для простоты записи опустим аргументы коэффициентов а, Ь1, И, о, о0):
У (, х, у (1,))) — У (0, х, у (0, й (0))) =
= 10([аУ (5, х, у (5, ВД))]х -- [Ь1У (t, х, у (1, & gt-Р (1)))]'-х } Ж +
+? (ИУ (t, х у (1, ^))) —
— [оУ (t, х, у (1, ^)))]х} йВД -- 2 ?(ИУ (t, х, у (1,))) —
— [о У (^ х, у (1,)))]х}у О0 Ж
(здесь мы воспользовались первым уравнением из (7) — заменили уи на 00).
В силу (6) и формулы замены переменной в (симметричном) интеграле Стратоновича, правая часть уравнения равна:
ИУ — (оу)х ^ ч
|0-----1--------00 йф) —
-1 J
2 J0
hV-(sV)Х ,
an
s0y s0ds +
1 rthV (sV) x f. jr№
+ 1J0------s----- S 0y S0 ds + J0{(aV)xx —
s0 — (bi V) X — l[hV — (sV)X ]y S0} ds =
= J
к
hV — (sV)X
s
dy (s) +
+
J0 V2y (s)dv (s) — 2 J0 V2yV (s) ds
t2 y (t) = y0 + J0 x (s)y (s) ds +.
По формуле стохастического дифференциала в форме Стратоновича
V (t, x, y (t)) — V (0, x, y (0)) =
= J0 Vs'-(s, x, y (s)) ds + J0 Vy (s, x, y (s))dy (s).
Тогда
J0 V (s, x, y (s)) ds + J0 Vy (s, x, y (s))dy (s) =
ИУ — (оУ)'-х ,..
= |0------- ---- йу (5) +
00
+ Ю ((аУ)хх -(Ь У) х -1[ИУ-
— (оУ)х-0 + 2[ИУ — (оУ)х]о0у }.
Путем рассуждений, аналогичных используемым при выводе уравнений (7), имеем:
У'-(1, х, у) =
1 /
= - Ух (1, х, у) + У (t, х, у), (8)
оп
Оп
^^і^(і, X, у (і)) =
= [а V (і, х, у (і))]Хх — [Ь1 V (і, х, у (і))]- +
+ ^[И V (і, х, у (і)) — (о V (і, х, у (і)))Х ]о 0 у — (9)
— (і, х, у (і)) — (о V (і, х, у (і)))Х ]У О0,
V (0, х, у (0)) =Р0(х). (10)
С помощью (8) уравнение (9) приводится к виду *7(і, х, у (і)) = А V-XX (і, х, у (і)) +
+ В V-(і, х, У (і)) + CV (і, х, У (і)), (11)
где
А = 2 о2, В = 2а'-х — Ь1 + у [оо'-0у + 2оН — 3оо- ],
С = а-- -Ь'-х + 1[о (ИХ -о--)-о
-00(и- -о-)+о0 у (И -о-) — (И -о-)2].
Уравнение (8) — линейное уравнение в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристических кривых. Решая уравнение для характеристик
di dy dx
0 о0 (і, у) о (і, х, у)
dV
V [И (і, х, у) -о- (і, х, у)]
(12)
получим первые интегралы
di = 0: і = С1 dy dx
: 20, х, у) = С ^ о0(С1, у) о (С1, х, у^ & quot- 2
^ х = ~(С1, С2, у),
йУ = [И-ох](С1,~(С1,С2,у), у), :
У о0(С1,у) у:
1п У = g О1, х, у) + С3.
Таким образом, решение (8) имеет вид:
У (t, х, у) = ^(t, z (t, х, у)) ехр^ (t, х, у)), (13)
здесь ^(!, 2) — неизвестная функция двух переменных. Подставив (13) в (10), (11), получим
к/=1 о2(г-)2 к- +
+[А (Ъ + 2гХ? х) + ВгХ — гІ] К +
(14)
+[а (+ (^Х)2)+ВяХ+С — ?]К ,
К (0, г) =
Р (~(0, г, у (0)))
ехр (? (0, ~(0, г, у (0)), у (0)))
(15)
Таким образом, верна
Теорема Пусть (х (1), у (1)) — диффузионный процесс, удовлетворяющий системе (1), (2). Тогда условное математическое ожидание т (
вычисляется по формуле (3), где ненормализованная фильтрационная плотность У (1, х, у (!)) находится из (11)-(15).
Уравнение (14) — обычное (не стохастическое) дифференциальное уравнение параболического типа со случайными коэффициентами, которое не содержит стохастических интегралов. Поэтому задачу (14), (15) можно решать стандартными численно-аналитическими методами.
2. ПРИМЕР
Пусть процесс (х (1), у (0) удовлетворяет следующей системе уравнений Ито:
х (і) = -0 -10 х (5)у2 (5) ds +10 4іу (5) dv (s),
У (і) = У0 + ?х (5) у 2(5) ds + |0Іу (5) dw (s), (16)
с начальными условиями х0 = 1, у0 = 2.
Ненормализованная фильтрационная плотность для данной задачи имеет следующую структуру:
У^, х, у (t)) = ^(t, х) ехр (х у (1)), (17)
где ^(!, х) — функция, удовлетворяющая задаче Коши
К= у^)^ + [2 у 3(1) — ху 2(0] ^ +
+ [уV) — уФ) — ху3(1) — 1×2у^,
^(0, х) = Р0 (х) ехр (-х у (1)).
В качестве п0(х) возьмем плотность нормального распределения с параметрами (т0, о0), где т0 = 3, т0 = 0,5. Решив эту задачу Коши и подставив (17) в (3), получим формулу для оценки значений ненаблюдаемого процесса по траектории наблюдаемого
2(С-ф (і) + о0)(у (І) + а (і))
2 + С1(у 2(і) -1) — 2С2ф2(і)
+
у (і)(2(т — У0о2) — С^(і)
2 + СДу 2(І) -1) — 2С2ф2(і)
тІ =
где
c1 = 2+(i-V3)c2, c1 = i -V3+(2 -V3)c2,
y (t) = exp (- J0V3y у (s) ds),
j (t) = J0y2(s)?2(s) ds,
a (t)=?(t)J0-fys)(s) ds,
1(t) = 2J0 (y2 (s)a (s) + y3 (s))y (s) ds.
Для численного моделирования процессов x (t), y (t) запишем систему (16) в форме Страто-новича:
x (t) = x0 — J0 x (s)y2 (s) ds +
+ J0 V2y (s)dv (s) -1J0 4lyv (s) ds, y (t) = y0 + J0tx (s) y 2(s) ds + (16)
+ J0 y (s)dw (s) -1J0 yW (s) ds Решение системы (16) ищем в виде x (t) = x (t, v (t)), y (t) = y (t, w (t)), где x (t, v) и y (t, w) — гладкие функции. В силу рассуждений, приведенных в работе [3], решение (19) сводится к последовательному решению систем
x'-v (t, v) = V2y (t, w (t)), (20)
yf w (t, w) = y (t, w), x^(t, v (t)) = -x (t, v (t))y2(t, w (t)), (21)
y'-t (t, w (t)) = x (t, v (t)) y2 (t, w (t)) -1 y (t, w (t))
Решение системы (20) имеет вид:
x (t, v (t)) = V2C1 (t)e w (t)v (t) + C2 (t), (22)
y (t, w (t)) = C1(t)ew (t),
где С1(1) и С2(1) — произвольные функции. Подставив функции из (22) в систему (21), получим уравнения на неизвестные функции
Сф), С2(1):
С'-(1) = (л/^Сф)в^) +
+ С2(0)С2(0в^ -^С2(1), (23)
с2(1) = -(1+ут^С^в^) ф) +
+ С2(1))С2(1)в C1(t)вw (^) у (1).
Эту систему будем решать численно. Траектории независимых винеровских процессов моделируются путем генерирования их случайных приращений, которые имеют нормальное распределение (рис. 1).
Пользуясь стандартными средствами пакета МаА& quot-1АВ, интегрируем систему (23), используя сгенерированные траектории винеровских процессов. Подставив результат в (22), вычислим траектории процессов х (1), у (!) (рис. 2).
Далее, используя полученную траекторию у (1), вычислим по формуле (18) оценку т (для процесса х (1) (рис. 3).
Таким образом, в настоящей работе задачу нелинейной фильтрации одномерных диффузионных процессов удалось существенным образом упростить путем сведения решения стохастического дифференциального уравнения для ненормализованной фильтрационной плотности к решению обычных дифференциальных уравнений, не содержащих стохастических интегралов.
Рис. 1. Траектории винеровских процессов v (t) и w (t)
Рис. 2. Траектории процессов х (1) и у (!)
11 111 1111
— т (Ч)

11 111 1111
Рис. 3. Процесс х (1) и оценка т., выпущенная из точки т0 = 3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каллианпур, Г. Стохастическая теория фильтрации / Г. Каллианпур. М.: Наука, 1987. 320с.
2. Липцер, Р. Ш. Статистика случайных процессов / Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. М.: Наука, 1974. 696 с.
3. Насыров, Ф. С. Симметричные интегралы и стохастический анализ / Ф. С. Насыров // Теория вероятностей и ее применение. 2006. Т. 51, № 3. С. 496−517.
4. Розовский, Б. Л. Эволюционные стохастические системы / Б. Л. Розовский. М.: Наука, 1983. 208 с.
ОБ АВТОРАХ
Асадуллин Эльдар Маратович, магистрант каф. математики. Дипл. бакалавр прикл. матем. и информатики (УГАТУ, 2007).
Насыров Фарит Сагитович,
проф. той же каф. Дипл. математик (ЛГУ, 1976). Д-р физ. -мат. наук по теории вероятностей, матем. статистике и матем. анализу (ИМ им. Соболева, Новосибирск, 2002). Иссл. в обл. теории случ. процессов, теории функций, фин. математики.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой