Контроль вырождения динамических объектов и систем: грамианный подход

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 62. 50
Д. С. Бирюков, Н. А. Дударенко, А. В. Ушаков
КОНТРОЛЬ ВЫРОЖДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ:
ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД*
Рассматривается задача контроля вырождения динамических объектов и систем. Для решения задачи используется грамианный подход, основанный на вычислении сингулярных чисел грамианов управляемости отношений системы вход-выход с последующим применением аппарата функционалов вырождения.
Ключевые слова: динамическая система, функционал вырождения, критериальная матрица, грамиан управляемости.
Введение. В ходе исследований в области разработки технологии контроля вырождения динамических объектов и систем [1] авторы настоящей статьи поставили задачу, не прибегая к моделированию потока возможных входных заявок, сформировать априорную экспресс-оценку потенциальной возможности вырождения системы. Решение этой проблемы было найдено в результате объединения аппарата функционалов вырождения и технологии системных грамианов [2, 3]. В настоящей статье рассматривается задача контроля вырождения динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости.
Технология конструирования функционалов вырождения. Сведем некоторую многоканальную динамическую систему посредством математических преобразований к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида
пМ = N к е) х (^), (1)
где Nе) — (т х т)-матрица для любых w, е — п (Х (^) — р-мерные векторы- е — р-мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N. Аппарат функционалов вырождения З^у формируется на спектре аа {N1 сингулярных чисел, а у (у = 1, т) критериальной матрицы N с использованием ЛАЗ (1):
аа^} = {ау =|^-2|- у = 1^} (2)
(| - корни уравнения ёй (|д/ - ^ N) = 0), вычисляемых в силу соотношений
= / а ^}- у = тх (3)
Свойства функционалов вырождения приведены в работе [1].
Если воспользоваться сингулярным разложением матрицы (БУО-процедурой) [4], то матрица N запишется следующим образом:
N = ^ Е NVN, (4)
=а, У = 1 т •
Это векторно-матричное соотношение придает исходной линейной алгебраической задаче (1) геометрический смысл: вектор Х = (У = 1, т) отражается в подпространство, натянутое на у -й элемент V^ левого сингулярного базиса UN так, что соответствующий ему
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (соглашение № 14. В37. 21. 1928).
вектор имеет норму, равную а. Тогда задача вырождения формализуется как задача контроля перехода критериальной матрицы N из сферы, расположенной в пространстве, натянутом на векторы х, в эллипсоид, натянутый на левый сингулярный базис UN с полуосями, по размеру совпадающими с сингулярными числами матрицы N.
Вырождение матрицы N в смысле достижения ею значения единицы функционала вырождения JD, записанного в форме (3), означает «сплющивание& quot- этого эллипсоида вдоль p-й полуоси, т. е. вдоль р-го левого сингулярного вектора и^. Нетрудно видеть, что если параметр 9 модифицирует матрицу N (9) таким образом, что последовательно, начиная с аp, принимают нулевые значения остальные p _1 сингулярных чисел, кроме а1, то в пространстве, натянутом на левый сингулярный базис, будет наблюдаться последовательное «сплющивание& quot- эллипсоида вдоль векторов UNp, UNp_l,… UN2. В итоге сфера отобразится в отрезок прямой. Таким образом, функционалы вырождения JDv используются для количественной оценки вырождения динамических систем и объектов.
Интегральная экспресс-оценка вырождения динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход. Пусть задана многоканальная непрерывная динамическая система вида
x (t) = Fx (t) + Gg (Г), х (0) — у (Г) = Cx (t), (5)
& quot- пП
где x, g, у — векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно- x е R ,
g, у е Вп — F, G, C — матрицы состояния системы, входа и выхода непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности с размерностью векторов x, g, и
у так, что F е Впхп, О, СТ е ВТ™.
При использовании грамианной технологии для непрерывной многоканальной системы вида (5) задается грамиан управляемости по состоянию с помощью интегральных соотношений
г Г
Жх (г) = | х (т, g) xT (т, g) dt ^=8(г) = | врхоот врТтат. (6)
о о
Дифференциальный аналог соотношения (6) принимает вид
Жх (г) = РЖХ (г) + Жх (г) ?т + ООт, Жх (0) = о. (7)
Из (6), (7) видно, что если матрица F системы (5) является гурвицевой, то грамиан управляемости имеет установившееся значение Жх, удовлетворяющее предельному переходу
11 т Жх (г) = Жх, (8)
при этом скорость его изменения как функция времени удовлетворяет соотношению
11 т Жх (Г) = 0. (9)
Если условия (9) и (8) подставить в (7), то для вычисления матрицы Жх можно воспользоваться алгебраическим матричным уравнением типа уравнения Ляпунова
?ЖХ (Г) + Жх (Г)?т =_ООт. (10)
Грамиан управляемости отношения «вход-выход& quot- Жу по выходу может быть вычислен с помощью матричного выражения
Жу = СЖхСт. (11)
Для случая многоканальных дискретных систем грамианы отношений «вход- состояние& quot- и «вход-выход& quot- строятся следующим образом. Пусть задана многомерная дискретная динамическая система вида
х (к +1) = Ех (к) + О%(к), х (0) — у (к) = Сх (к), (12)
где х е Я& quot-- %, у е Ят — Е, О, С — матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов х, %, и у так,
что Е е Япхп — О, СТ е япхт- к — дискретное время, выраженное в числе интервалов дискретности длительностью Аt (I = к (А^)). Представим дискретную систему (12) в виде:
х (1) = Ех (0) + О% (0),
x (2) = Fx (1) + Gg (1) = F2 x (0) + FGg (0) + Gg (1)
x (k) = Fkx (0) + Fk-1Gg (0) + Fk-2Gg (1) +… + Gg (k -1) |x (0)=0 =
G FG
Fk -2G Fk-1G
[g (k-1) g (k-2) … g (0)].
(13)
Здесь для вектора состояния х (к) введена матрица управляемости системы по состоянию на к первых интервалах дискретности
ox (k) =
G FG
Fk-2G Fk-1G
(14)
На этой матрице может быть сконструирован грамиан управляемости по состоянию Жх (к) на первых к интервалах дискретности в форме
(к) = б (к)0к (к). (15)
Очевидно, что для момента (к +1) грамиан управляемости отношения «вход-состояние& quot- дискретной системы (12) Жх (к +1) в силу определения (15) запишется как
Wx (k +1) = ox (k + 1) oT (k +1),
где
ox (k +1) =
G FG
Fk-1G FkG
[G Fox (k)].
(16) (17)
Подстановка (17) в (16) с использованием представления (15) дает
. '-T
Wx (k +1) = ox (k + 1) of (k +1) = [G Fox (k)]
GT
ol (k)FT
= GG + FWx (k)FT. (18)
Установившееся значение грамиана управляемости по состоянию зададим в форме предельных соотношений
Wx = lim Wx (k) — Wx = lim Wx (k +1). (19)
k^& lt-x>- (k +1)^& lt-x>-
Подстановка соотношений (19) в выражение (18) позволяет получить уравнение вида матричного дискретного уравнения Ляпунова
Wx = FWxFT + GGT. (20)
Формирование системного грамиана управляемости по выходу отношений «вход- выход& quot- может быть осуществлено с помощью матричного уравнения
Wy = CWxCT. (21)
Если теперь к сконструированным грамианам отношения «вход-выход& quot- (11) и (21) соответственно многоканальной непрерывной системы (5) и многоканальной дискретной сис-
темы (12) применить процедуру сингулярного разложения матриц, с тем чтобы вычислить алгебраические спектры сингулярных чисел указанных грамианов с последующим вычислением на их спектре функционалов вырождения, то можно сформировать априорную экспресс-оценку возможного вырождения многоканальной динамической системы.
Алгоритм контроля вырождения динамических объектов и систем на основе грамианов управляемости
1. Сформировать векторно-матричное описание многоканальной динамической системы и зафиксировать ее параметры.
2. Составить уравнение типа уравнения Ляпунова для случая непрерывного векторно-матричного представления многоканальной системы в форме (10) и для случая многоканальной дискретной динамической системы в форме (20), решить его относительно грамиана управляемости по состоянию.
3. Вычислить грамиан управляемости по выходу многоканальной системы в силу соотношения (11) для случая ее непрерывного модельного представления и в форме (21) для дискретного векторно-матричного представления многоканальной динамической системы.
4. Построить сингулярное разложение грамиана управляемости по выходу.
5. Построить функционалы вырождения в форме (3).
6. Полученные результаты передать системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.
Заключение. Аппарат функционалов вырождения совместно с методом системных гра-мианов позволяет сформировать априорную оценку склонности многоканальной динамической системы и объекта к вырождению без необходимости моделирования потока возможных входных заявок. Следует ожидать, что эти оценки в силу структуры соотношений (10), (11) и (20), (21) будут совпадать с оценками функционалов вырождения, полученных при моделировании потока входных заявок стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным воздействием типа «белый шум& quot-.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дударенко Н., Ушаков А. Анализ многомерных динамических систем: технология контроля вырождения. Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 232 с.
2. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М. -СПб: Изд-во МГУ-ГРИФ, 1998.
3. Moore B.C. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controlability, Observability and Model Reduction // IEEE Trans. on Automatic Control. 1981. Vol. AC-26, N 1. P. 17−31.
4. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с.
Сведения об авторах
Дмитрий Сергеевич Бирюков — аспирант- Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: quaint03@mail. ru
Наталия Александровна Дударенко — канд. техн. наук, доцент- Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- доцент- E-mail: dudarenko@yandex. ru Анатолий Владимирович Ушаков — д-р техн. наук, профессор- Санкт-Петербургский национальный
исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики- E-mail: ushakov-avg@yandex. ru
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 13. 12. 12 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой