Прогнозирование коррелированого временного ряда по малой выборке исходных данных

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 658. 012
В.А. ГОЛОВКО, асп., НТУ & quot-ХПИ"-,
ЯМЕНХАЗИМ, асп., НТУ & quot-ХПИ"-
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОРРЕЛИРОВАННОГО
ВРЕМЕННОГО РЯДА ПО МАЛОЙ ВЫБОРКЕ ИСХОДНЫХ
ДАННЫХ
Рассмотрен метод оценки прогнозируемого значения случайного процесса, отсчеты которого коррелированны. Выделение детерминированных полиномиальной и гармонической составляющих наблюдаемого процесса с учетом малого объема выборки реальних статистических данных осуществляется методом наименьших квадратов. Расчет случайной составляющей прогнозируемого значения выполнен с использованием значения корреляционной функции, соответствующего интервалу между наблюдениями процесса. Библиогр.: 8 назв.
Ключевые слова: коррелированный временной ряд, малая выборка,
прогнозирование.
Постановка проблемы и анализ литературы. Пусть совокупность значений случайного процесса, наблюдаемого через равные промежутки времени АТ, образует последовательность {уг, у2уп,…}.
Ограничимся п наблюдениями, имеющимися к текущему моменту времени. Будем считать, кроме того, что эти наблюдения
коррелированны.
Прогнозирование случайных процессов — важнейший элемент сложной задачи описания изменения показателей динамических
процессов, протекающих в системах различного назначения (в экономике, технике, медицине, социологии, военном деле и т. д.). К настоящему времени известны более ста различных методов построения прогнозирующих моделей, детальный анализ и классификация которых приведены в [1, 2]. В задачах, когда реальный объем статистических данных ограничен, наиболее применимыми оказываются экстраполяционные методы прогнозирования [3 — 5], к которым относятся метод наименьших квадратов и совокупность методов сглаживания. При этом, если выборка исходных данных мала, применение методов сглаживания, принципиальная особенность которых состоит в учете неравноважности & quot-старых"- и & quot-новых"- наблюдений, не дает заметных преимуществ перед методом наименьших квадратов [6 -8]. Рассмотрим возможность применения метода наименьших квадратов для прогнозирования, например, случайного процесса спроса, наблюдения которого коррелированы.
© В. А. Головко, Ямен Хазим, 2014
Пусть временной ряд представлен совокупностью п коррелированных отчетов {у, у2,---, Уп, •••}. Поставим задачу краткосрочного прогнозирования ряда. Наблюдаемый процесс, предположительно, представляет собой суперпозицию
детерминированных процессов, содержащих полиномиальную (трендовую) и гармоническую составляющие, измерения которого искажены случайным процессом, формируемым за счет ошибок измерений и, возможно, коррелированным за счет шумового влияния неконтролируемых факторов.
Цель статьи — решить задачу выделения и аналитического описания детерминированных и случайных составляющих процесса и его прогнозирование.
Основной результат. Построение искомой математической модели проведем поэтапно в следующей последовательности.
Этап 1. Выделение детерминированного тренда. Для аналитического описания поведения детерминированной составляющей наблюдаемого процесса введем полиномиальную модель
у (() = а0 + а^ 2 +… +. (1)
Пусть наблюдения процесса проводятся в моменты времени {АТ, 2 АТ,…, пАТ}. Надлежащим масштабированием приведем последовательность моментов наблюдения к виду {., 2,…, п}.
Параметры модели найдем методом наименьших квадратов [5, 6]. С этой целью используем матрицу Н и векторы ^ и У:
СП п ^ (а л а0 (у'-
Н = /& quot- 2 ^ *** 3 ^ ••• ¦¦ п — а = V аа V — у = V Уп V
Тогда наилучшие в смысле наименьших квадратов оценки коэффициентов полинома (1) определяются по формуле
А = (иги[1ИГУ.
Этап 2. Выделение периодической составляющей. После выделения из последовательности наблюдений процесса трендовой составляющей необходимо провести анализ наличия или отсутствия колебаний спроса. Отметим, что в задаче краткосрочного прогнозирования сезонными
колебаниями спроса можно пренебречь. В связи с этим для описания суточных колебаний используем простейшую модель
~(/) = ЬБт-t + сСоб-t, Т0 = 24 часа. (2)
Т0 Т0
Выбор этой модели определяется следующими её достоинствами. Во-первых, она позволяет оценить неизвестные амплитуду и фазу гармонической составляющей, так как cCoswt + = ASin (wt + ф),
А = у1 с2 + Ь2, ф = агС^(с/Ь), w = 2л/Т0.
Во-вторых, модель (2) линейна относительно оцениваемых параметров. В модели (2) у (/) = у ()~ у () — результат, получающийся после удаления из наблюдаемого процесса трендовой полиномиальной составляющей. При этом для моментов наблюдений {АТ, 2АТ, …, п АТ }
получим соответствующую совокупность у, у2,---, у"}. Неизвестные параметры Ь и с вновь найдем методом наименьших квадратов. Введем
Л2
х-1 (2л 2л
Л =Я ЬБт-У АТ + сСое-уАТ — у
у=1V Т0 Т0 V
Далее
^ = сУ Соб2 — уАТ + Ь У Бт- у АТ • Соб-уАТ -7 т т т
ас у=1 10 у=1 10 10
(3)

у=1 ^

у Сое-/АТ = 0, (4)
Т П
2л х-'- о 2л
Бт- У АТ • Соб-у АТ + Ь У Бш2 — /АТ —
ГГ1 ^ ГГ! ^ ГТ-! ^
/=1 Т Т /=1 Т

/=1 ^

у-Бш-/АТ = 0. (5)
Т П
Решение системы уравнений (4), (5) определяет параметры Ь и с аналитического описания гармонической составляющей процесса.
Этап 3. Обработка случайной составляющей. После выделения из наблюдаемого процесса детерминированных полиномиальной (1) и
периодической (2) составляющих получим случайную последовательность Т = {т1, т2,…, т п }, т у = уу — у у — у у, / = 1,2, п.
Найдем оценку дисперсии случайной величины, выборка значений которой образует последовательность т1, т2,…, тп. Эта оценка равна
1 п
ь2 =-Ут2. Рассчитаем теперь величину коэффициента корреляции
11=1
между соседними членами в последовательности Т, которая
^ п-1
определяется по формуле Кп-1 = ----------------- У т у т.,. Дополним
(п-1& gt-г2 у=1 у у
последовательность Т неизвестным прогнозируемым значением спроса тпр. Запишем соотношение для коэффициента корреляции между
соседними членами в дополненной последовательности т1, т2,…, тп, т
1 п п-1
Кп =-^УТуТу+1 = ~Г& quot- У
& gt-п+1 у=1
(п -1)ь
т у т у+1 + т п тпр
у=1
V
------Кп-1 ±Т& quot- т пТпр. (6)
пЬп+1 пЬп+1
Заметим теперь, что даже если число наблюдаемых членов в
последовательности Т не слишком велико, можно приближенно считать,
что ~ Ь+1, Кп ~ К"-1.
Тогда соотношение (6) упростится к виду:
п — ^ 1
Кп-1 =------Кп-1 ±----2 тпТпр, откуда
п пЬп
тч& gt-.. (7)
т п
Теперь с использованием (1), (2), (7) получим оценку
прогнозируемого значения процесса:
у (^пр) = У (^пр) + У (tпр) + Тпр =
^ - г & quot-. 2л — 2л Ки-1стп
= У аг^р tПр + сС°5 — tПр ±--------.
г=0 Т0 Т0 тп
2
Выводы. Таким образом, с использованием традиционных методов получены простые соотношения для оценки прогнозируемого значения коррелированного случайного процесса. Прогнозируемое значение является суммой соответствующих значений для детерминированных полиномиальной и гармонической составляющих и значения случайной составляющей, рассчитанной с использованием корреляционной функции процесса.
Список литературы: 1. Вартанян В. М. Моделирование динамических процессов по временным рядам / В. М. Вартанян, Ю. А. Романенков, Д. С. Ревенко, В. Ю. Кащеева. — Х.: НАУ им. Н. Е. Жуковского & quot-ХАИ"-, 2012. — 266 с. 2. Янч Э. Прогнозирование научнотехнического процесса / Э. Янч. — М.: Прогресс, 1980. — 568 с. 3. Льюис К. Методы прогнозирования экономических показателей / К. Льюис. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 133 с. 4. Шелобаев С. И. Математические методы и модели / С. И. Шелобаев. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009. — 496 с. 5. ЛинникЮ.В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений / Ю. В. Линник. — М.: Физматгиз, 1968. — 352 с. 6. ВучковИ. Прикладной линейный регрессионный анализ / И. Вучков, И. Бояджиева, Е. Солаков. — М.: Финансы и статистика, 1987. — 239 с. 7. Більчук В.М. Теорія ймовірностей, випадкові процеси та математична статистика / В.М. Більчук. — Х.: ХУПС, 2009. — 436 с. 8. КрассМ.С. Математические методы и модели для магистрантов в экономике / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. — СПб.: ПИТЕР, 2010. — 496 с.
Bibliography (transliterated): 1. Vartanjan V.M. Modelirovanie dinamicheskih processov po vremennym rjadam / V.M. Vartanjan, Ju.A. Romanenkov, D.S. Revenko, VJu. Kashheeva. — H.: NAU im. N. E. Zhukovskogo & quot-HAI"-, 2012. — 266 s. 2. Janch Je. Prognozirovanie nauchno-tehnicheskogo processa / Je. Janch. — M.: Progress, 1980. — 568 s. 3. Ljuis K. Metody prognozirovanija jekonomicheskih pokazatelej / K. Ljuis. — M.: Finansy i statistika, 1986. — 133 s. 4. Shelobaev S.I. Matematicheskie metody i modeli / S.I. Shelobaev. — M.: JuNITI-DANA, 2009. -496 s. 5. LinnikJu.V. Metod naimen'-shih kvadratov i osnovy teorii obrabotki nabljudenij / Ju.V. Linnik. — M.: Fizmatgiz, 1968. — 352 s. 6. Vuchkov I. Prikladnoj linejnyj regressionnyj analiz / I. Vuchkov, I. Bojadzhieva, E. Solakov. — M.: Finansy i statistika, 1987. — 239 s. 7. BWchuk KM. Teorija jmovirnostej, vipadkovi procesi ta matematichna statistika / V.M. BWchuk. — H.: HUPS, 2009. — 436 s. 8. Krass M.S. Matematicheskie metody i modeli dlja magistrantov v jekonomike /M.S. Krass, B.P. Chuprynov. — SPb.: PITER, 2010. — 496 s.
Поступила (received) 26. 02. 2014
Работу представил д-р техн. наук, проф НТУ & quot-ХПИ"- Раскин Л. Г.
Golovko Vitaliy, graduate student
National Technical University & quot-Kharkiv Polytechnic Institute& quot-
Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61 002
tel. /phone: (057) 707−66−28, e-mail: Sova_vika92@mail. ru
Yamen Hazim, graduate student
National Technical University & quot-Kharkiv Polytechnic Institute& quot-
Str. Frunze, 21, Kharkiv, Ukraine, 61 002
tel. /phone: (057) 707−66−28, e-mail: Sova_vika92@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой