Ортонормированные матрицы-функции и интерполяционные задачи в классе Неванлинны

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

MSC 41A05
ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ МАТРИЦЫ-ФУНКЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ В КЛАССЕ НЕВАНЛИННЫ
Ю.М. Дюкарев
Белгородская государственная сельскохозяйственная академия имени В. Я. Горина, ул. Вавилова, 1, Майский, Белгородская обл., 308 503, Россия, e-mail: yu. dyukarev@karazin. ua
Аннотация. Упорядоченной последовательности интерполяционных задач для неванлин-новских матриц-функций поставлена в соответствие последовательность ортонормированных матриц-функций. Доказан критерий вполне неопределенности предельной интерполяционной задачи в терминах сходимости ряда, построенного по ортонормированным матрицам-функциям.
Ключевые слова: упорядоченные интерполяционные задачи, предельные интерполяционные задачи, критерий вполне неопределенности, ортонормированные матрицы-функции.
1. Введение
Одной из важных проблем в теории функций является нахождение условий, при которых голоморфная функция неоднозначно определяется по своим значениям на некоторой бесконечной последовательности точек из своей области определения (узлов интерполяции). Классическое необходимое условие неоднозначности состоит в том, что все предельные точки множества узлов интерполяции принадлежат границе области определения голоморфной функции. Однако это условие не является достаточным. Необходимые и достаточные условия неединственности зависят от области определения и области значений рассматриваемых голоморфных функций. Наиболее изученным является случай, когда областью определения и областью значений голоморфных функций является круг (полуплоскость). Для таких функций критерии неединственности решения интерполяционных задач в терминах параметров Стилтьеса, параметров Шура, ортонормированных многочленов, кругов Вейля были получены в статьях [1]- [5]. Эти исследования были продолжены в работах многих авторов. Особо отметим статьи [8]- [11], выполненные в рамках подхода В. П. Потапова к решению интерполяционных задач для неванлинновских матриц-функций (МФ). Аналогичные результаты для стилтьесовских МФ были получены в статье [12]. В процитированных статьях были рассмотрены конкретные интерполяционные задачи. Общие схемы решения интерполяционных задач, включающие в себя целые классы конкретных интерполяционных задач, были предложены в статьях [13]- [15] для неванлинновских МФ и в статьях [16], [17] -для стилтьесовских МФ. Однако эти общие подходы не включали в себя «пошаговых» объектов типа параметров Стилтьеса, параметров Шура, ортонормированных многочленов, кругов Вейля и соответствующих критериев неопределенности предельных интерполяционных задач. Абстрактные аналоги «пошаговых» объектов были введены в
контексте упорядоченных последовательностей обобщенных интерполяционных задач в [18] для неванлинновских МФ и в [19], [20] - для стилтьесовских МФ.
В этой статье с упорядоченной последовательностью обобщенных интерполяционных задач для неванлинновских МФ впервые связана последовательность ортонорми-рованных МФ. В зависимости от типа обобщенных интерполяционных задач эти орто-нормированные МФ могут быть целыми или мероморфными МФ. Они являются обобщениями классических ортонормированных многочленов и ортонормированных рациональных функций. В терминах последовательности ортонормированных МФ получен новый критерий вполне неопределенности предельной интерполяционной задачи.
2. Основные определения и обозначения
Пусть С+ = {г € С: 1тг & gt- 0}, С_ = {г € С: 1тг & lt- 0} и С± = {г € С: 1тг = 0}. Пусть, далее, 0 — сепарабельное и Н — конечномерное гильбертовы пространства. Символом {Н, 0} обозначим множество всех ограниченных линейных операторов, действующих из Н в 0, символом {0} обозначим множество ограниченных операторов в 0, а символом {0}я — множество ограниченных эрмитовых операторов в 0. Оператор, А € {0}я называется неотрицательным, если (/, А/) & gt- 0, V/ € 0. Множество неотрицательных операторов в 0 обозначим символом {0}& gt-. Неотрицательный оператор, А € {0}& gt- называется положительным, если он обратим и А-1 € {0}. Множество положительных операторов в 0 обозначим символом {0}& gt-. Пусть операторы А, В € {0}я• Неравенство, А & gt- В (соотв. А & gt- В) означает, что, А — В € {0}& gt- (соотв. А — В € {0}& gt-).
Тождественный и нулевой операторы, действующие в некотором гильбертовом пространстве 0, обозначим символами 1д и Од. Нулевой оператор, действующий из гильбертова пространства 01 в гильбертово пространство 02, обозначим символом Одгд2. Для упрощения записи мы часто будем опускать нижние индексы у нулевого и тождественного операторов, если эти индексы легко определяются из контекста.
Пусть заданы операторы К € {0}& gt-, Т € {0}, и, у € {Н, 0}- И пусть эти операторы удовлетворяют Операторному Тождеству (ОТ)
ТК — КТ * = уи* - «V*. (1)
Определение 1. Упорядоченный набор операторов
Р = {К, Т, и, у}, (2)
удовлетворяющий ОТ (1), называется обобщенной интерполяционной задачей неван-
линновского типа, а пространства 0 и Н называются масштабными пространствами
обобщенной интерполяционной задачи.
Пусть оператор Т таков, что оператор-функция (ОФ) Ят (г) = (1д — гТ)-1 мероморф-на в С. Множество особых точек О Ф Ят обозначим символом 2. Из мероморфности Ят следует, что множество 2 дискретно в С, т. е. не имеет предельных точек в С. Пусть 2 = {z? С: ^? 2}.
Определение 2. ОФ, ш: С+ ^ {Н} называется неванлинновской, если она голоморфна в С+ и ^(г) — и& gt-*(г)}/2г & gt- Он, У г € С+.
Класс всех таких ОФ обозначим
Определение 3. ОФ, ш € ^ называется решением обобщенной интерполяционной задачи (2), если она удовлетворяет следующему Основному Матричному Неравенству (ОМН) В.П. Потапова
K Ят (г) { уэд (г) — п }
{ уЦг) — и }* ЯТ (г) {Цг) — (г)}/{г — г} 1 & gt- °д®н г € С+ 2 —
Определение 4. Обобщенная интерполяционная задача Р = {К, Т, и, у} с масштабными пространствами 0 и Н называется вполне неопределенной, если
К € {0}& gt-, уЛ = 0 ^ Л = 0, пЛ = 0 ^ Л = 0.
Далее в этой статье мы будем рассматривать только вполне неопределенные обобщенные интерполяционные задачи. Множество всех решений обобщенной интерполяционной задачи (2) обозначим символом Т. Можно доказать (см. [14]- [15]), что при сделанных предположениях множество Т не пусто.
Пусть дана бесконечная последовательность гильбертовых пространств ^_1.
Рассмотрим ортогональные суммы этих пространств
д (і) = ^(1) ф ^(2) 0 … 0 Ь (1) •
Каждое из пространств д (к) можно рассматривать и как подпространство в любом пространстве д (і) при I & gt- к. Мы часто будем отождествлять векторы (х1,…, Хк, 0, • • •, 0) из д (1) с векторами (х1, …, хк) из д (к). Пусть оператор, А Є {д (і)}. Сужение оператора, А на подпространство д (к) обозначим через А|д (к). Пусть Рік обозначает оператор ортогонального проектирования пространства
д (і)
на подпространство д (к). Оператор Рі, кА|д (к) в подпространстве д (к) С д (і) мы часто будем рассматривать как оператор в пространстве д (к).
Пусть теперь для всех I & gt- 1 определены обобщенные вполне неопределенные интерполяционные задачи
р (і) = {К (і), т (і), и (1), у (1)} (3)
с масштабными пространствами д (і), Н.
Пусть произвольные натуральные числа I и к удовлетворяют неравенствам 1 & lt- к & lt- /. Рассмотрим ортогональное разложение масштабных пространств интерполяционной задачи (3)
д (і) = д (к) ф (д (і) ед (к)). (4)
Определение 5. Пусть дана последовательность интерполяционных задач (3) и матричные представления операторов интерполяционной задачи Р (1), построенные по разложению (4), имеют вид
К (1) = ^ КВ (г'к) Т (г) = / ^(к) °д (1)ед (к)д (к)
К V В (1& gt-к)* с (1& gt-к) у, Т V Т2(1,к) Т2(2,к) у ,
?(к)
'-,(і, к)
и (і) =
и
(к)
и
(і, к)
(5)
Последовательность интерполяционных задач (3) называется упорядоченной, если операторы К (к), Т (к), У (к), П (к), рассматриваемые как операторы в пространствах 0(к) и Н, совпадают с операторами К (к), Т (к), у (к), п (к) интерполяционной задачи Р (к).
Для упрощения записи в формулах (5) мы будем обозначать К (1) через К (1) и т. д. Упорядоченную последовательность интерполяционных задач обозначим через {Р (1)}г ^ В этом контексте обобщенные интерполяционные задачи Р (1) называются усеченными интерполяционными задачами. В обозначения объектов, связанных с усеченной задачей Р (1), введем верхний индекс (/). Имеют место включения ^(1+1) С ^(1) (см. [18]).
3. Ортонормированные О Ф, ассоциированные с упорядоченными интерполяционными задачами
Рассмотрим упорядоченную последовательность обобщенных интерполяционных задач {Р (г)} к. И пусть в представлении масштабных пространств (см. (4)) к = I — 1
д
(і)
д (і-1) ф ^(і) —
І & gt- 2 •
Введем упрощенные обозначения для операторов
И пусть
К (і)
К (і-1) в (і)
в (і)* с (і)
,(0
-(і-1) уі(і)
І = 1,
(6)
с (і)_ в& lt-1)'-К (і-1) 1 В (і), І& gt- 1
Легко видеть, что выполнены равенства
К (і)
І
в (і)* К (і-1) —
0
1
К (і-1) о
о 5(і)
І К (і-1) 1 В (і)
о
І
Отсюда
к (і)-1 = (К (, 0, г 1 0) + (-К ('-& quot-ІГ 1 в (1))т1 ґ-в& lt-'>-'-к<-'->-11
(7)
Пусть операторы
V (і): д (і) = д (і-1) ф ^(і) ^ & amp-
()
и естественных матричных представлениях задаются формулами
V (1) =
Из (7) и (8) следует, что
°д (і-1) ь (1) І^(-)
5(і) V (і)К (і)
-В (і)* К (і-1) 1 І
(8)
(9)
1
С упорядоченной последовательностью {Р (1)} г к обобщенных интерполяционных задач свяжем последовательность ОФ
Р (1)(л) = /(1Г^Ят (1)^), Р{1)^) =, 1& gt- 1. (10)
Пусть неванлинновская ОФ т € Т (1) и ее интегральное представление (см. [21]) имеет вид
№(~ - «(*), «(0, Г (-_____________(°° а (1)№
и& gt- (~) = + //¦& gt- + j ~~ 7+^2/ а (^)' J 1 + р ~ сходится.
Здесь ^(1) € {Н}& gt-, V (1) € {Н}н, а неотрицательная операторная мера, а определена на борелевских подмножествах К и принимает значения в {Н}& gt-. Тогда при выполнении некоторых дополнительных условий (см. [14], [15]) имеют место интегральные представления
/ГО
Ят (0 (ф (1)а (1)(^)у (1)*Я*(0 (*) + W (1). (11)
•ГО
Здесь W (1) € {0(1)}& gt-. Мы будем считать, что в наших задачах всегда имеет место интегральное представление (11).
Теорема 1. Пусть дана упорядоченная последовательность обобщенных вполне неопределенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р (1)}г к. И пусть, далее, функция т € Т (1) и К (1) допускает интегральное представление (11).
Тогда для любого I € N имеют место соотношения обобщенной ортонормированности
/ГО
Р (1)(-?)а (1)(^)Р (1)* (-?) + ?(1)½ V (1)K (1)-1 W (1)К (1)-1 V (1)*?(1)½ =, (12)
ГО
/ГО
Р (к)(-?)а (1)(^)Р (1)* СО + 5(к)½ V (fc)K (к)-1 Х1'^(1)К (1)-1 V (1)*?(1)½ = °н, к & lt- 1,
ГО
(13)
/ГО
Р (к)(-?)а (к)(^)Р (1)* (*) + 5(к)½ V (fc)K (к)-1 W (к)Уг'кК (1)-1 V (1)*5(1)½ = Он, к & gt- 1.
ГО
(14)
Здесь операторы Xг, к € |^(1) = 0(к) ® (0(1) 0 0(к)), 0(к) | и задаются с помощью мат-
ричных представлений
Xі, к = (Іг. (к) о,
д (к) 0д (г)(c)д (к), д (к)
а операторы Уг, к € |0(к) = 0(1) © (0(к) 0 0(1)), 0(г) | и задаются с помощью матричных
представлений
^і, к / І^(1)
0д (к)(c)д (г), д (г)
? Имеем
ГО
/ Р (1)(-?)а (1)(^)Р (1)* (*) + 5(1)½ V (1)К (1)-1 W (1)К (1)-1 V (1)* 5(1)½
_ 5(і)½ V (l)K (і) 1 (/ ЛТ (0 (і)у (і)а (і)(^)у (і)* ЛІ(0 (і) + Ж (і))К (і) 1 V (l)*5(і)½
_ з (і)½ V (і)К (і)-1 К (і)К (і)-1 V (і)*5(і)½ _ 5(і)½ V (l)K (і)-1 5(і)½ _ 5(і)1/25(і)-15(і)½ _ іп_
Здесь мы воспользовались формулами (10), интегральными представлениями (11) и равенством
у"К (і)-1 у (і)* _ (05"-1,й», 1"и)(К (і0')-1 0)(Ої^"-1')
+ (0д (*-1) [,№ І^(-)
X
о о- і
-К (і-1)-1 в (і)
І
о*
5 (і)-1 (-В (і)* К (і-1)-1 і) ^ о^^(1−1^ _ з (і)-1.
Формулы (12) доказаны.
Докажем теперь соотношения (13). Из блочной структуры оператора Т (і) (см. (5)) следует, что О Ф Ят (г) (г) имеет следующую структуру
Ят») (г) _ (V) — гТ (і))-1 _ («^(c)^Р) • (15)
Здесь Я21(г) и Я22(г) некоторые мероморфные вместе с Ят (г) (г) ОФ, конкретный вид которых нас не интересует.
Имеем
X і, к о (г)у (і) ___ /& quot-і о (к) (г) о0(г)(c)0(к)0(к) А /& quot- у ()
Х Ят (г) (г)у _ (^(к) од (г)(c)д (к) — д (к)Д ^(г) ^(г) ^ ^ у (і& gt-к) ^
/ у (к)
_ (Ят (к) (г) °0(г)(c)0(к)0(к)) (у (і, к) I _ Ят (к) (г)у (к) •
Таким образом,
Ят (к) (г)у (к) _ Xі'кЯт (г) (г)у (і) •
Воспользовавшись этим равенством, получим
/ Р (к)(0а (і)(^)Р (і)* (і) + 5(к)½ V (k)K (к)-1 Хі'кЖ (і)К (і)-1 V (і)* 5(і)½
Jo
ГХ
_ ь^)1'-2V (к)К (к) — / Ят (к){()у (к)ст (і){йі)у (і)'-я-0)(і)К (і)-1 V (і)'й™1'-2
ио
+ 5 (к)½ V (к)К (к)-1 X і'кру (і) К (і)-1 V (і)* 5 (і)½
_ 5(к)½V (к)К (к)-1 Хі к / Ят», Щу^^у"* Я^г,(?)К (і)-1 V™'5(і)½
0
и
о
+ 5 (к)½ V (к) К (к)-1 X і'к Ж (і)К (і)-1 V (і)* 5 (і)½
оо
?(к)½ V (к)К (к) 1Xі, к ^ у ЯТ (г) (і)у (і)а (і)(^)у (і)* ЯТ (г) (і) + Ж (і)) К (і) 1 Vті 5(і)½
5 (к)½ V (к)К (к)-1 і, кК (і)К (і)-1 V (і)* ?(і)½ _ 5(к)½ V (к) К (к)-1 X l, kV (і)* ?(і)½ _ о^
Мы воспользовались равенством Xі, кV (і)* _ о, которое следует из того, что образ оператора
V (і)* _ (°(г) е (г-1)
V)
содержится в ядре оператора Xг, к =Тд (к) °д (г)ед (к). Равенства (13) доказаны. Ана-
логичным образом доказываются равенства (14). I
4. Предельная интерполяционная задача
Определение 6. Пусть дана упорядоченнаб последовательность обобщенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р (1)}г к и пусть Т (1) обозначает множество всех решений интерполяционной задачи Р (1). ОФ т € ^ называется решением предельной интерполяционной задачи, если т € Т (1), V/ €
Множество решений предельной интерполяционной задачи обозначим символом Т (го), а саму предельную интерполяционную задачу — символом Р (го). Пусть 2(1) обозначает множество особых точек ОФ ЙТ (1). И пусть _2^°°) = и/ен2^, а _2^°°'-& gt- = Нас
будет интересовать тот случай, когда предельная интерполяционная задача имеет бесконечно много решений. Для этого необходимо, чтобы множества. 2^°°) и 2^ ^ не имели предельных точек в С±. Будем считать, что для наших задач выполнено это необходимое условие.
Сформулируем некоторые известные результаты из теории операторных кругов Вейля (см. [9]- [11], [22]- [24]). Зафиксируем точку Zo Е С+ и и и рассмотрим
множество операторов
К (1)(го) = {т (^о): т € Т (1)}.
Множество К (1)(г0) допускает представление вида
К (1)(го) = {с (1)(го) + г^о^Ы: V*V & lt- I}. (16)
Здесь
с (і)(го) _ (г (го — го) у (і)*(г) (*о)К (і)-1 Ят (г) (го)у (і)) х
х{г (го — го) и (і)*№ (го)К (і) 1 у (і) — іІ}*, г (і)(го) _ (г (го — го) у (і)*Я^г)(*о)К (і)-1 ЯТ (0(го)у (і))-½ & gt- о, (17)
р (і)(го) _ (г (го — го) у (і)*Д^О)(*о)К (і)-1 ЯТ (0(го)у (і))-½ & gt- о.
С геометрической точки зрения множество K (1) (zo) из (16) можно считать операторным кругом с центром в точке c (1)(zo) левым радиусом r (1)(zo) и правым радиусом p (1)(zo). Этот круг называется операторным кругом Вейля.
Из включения F (1+1) С F (1) следует, что
K (1+1)(zo) cK (1)(zo).
Пусть
ГО
KM (zo) = f| K (1)(zo).
1=1
Оказывается, что существуют пределы
c (ro)(zo) = lim c (1)(zo), p (ro)(zo) = lim p (1)(zo) & gt- O, r (ro)(zo) = lim r (1)(zo) & gt- O.
1^ГО 1^ГО l^ro
Более того,
K (ro)(zo) = {w (zo): w G F (ro)} = {c (ro)(zo) + r (ro)(zo)Vp (ro)(zo): & lt- I}
Множество матриц K (ro)(zo) называется предельным кругом Вейля в точке zo.
По теореме С. А. Орлова (см. [22]) для любых точек z, z2 G С+ {Z^ U Z^j имеем
m = rank r (ro)(z1) = rank r (ro)(z2), n = rankp (ro)(z1) = rankp (ro)(z2).
Числа m и n служат мерой вырожденности предельной интерполяционной задачи.
Определение 7. Если m = n = dim H, то предельная интерполяционная задача р (го)
называется вполне неопределенной.
Резольветной матрицей для усеченной задачи P (1) называется
І + гу (і)* Ят (г)* (г)К (і) 1 и (і) -гу (і)* Ят (г)* (г)К (і) 1 у (і)
ги (і)* Ят (г)* (г)к (і)-1 и (і) І - ги (і)* Ят (0* (г)К (і)-1 у (і)
Матрицей Вейля для усеченной задачи Р (і) называется
Ж (і)(г)_ и (і)-1* (г)3и (і)-1 (г), 3 _(-Ін. (18)
V і1н он /
В [18] доказано, что
Ж (і)(г) _ (о -СТ (г)) ((г)) (- Аг) о) ¦ & lt-19)
Теорема 2. Пусть дана упорядоченная последовательность обобщенных интерполяционных задач неванлинновского типа {Р (і)} 1& amp-^ и предельная интерполяционная задача Р (х). И пусть, далее, последовательность ортонормироваиных ОФ {Р (і)(г)}ієм определена в (10), а последовательность матриц Вейля {Ж (і)(г)} н определена в (18).
Для того, чтобы предельная интерполяционная задача Р (го) была вполне неопределенной необходимо, чтобы во всех точках z? С+ ^} существовал отличный
от нуля предел числовой последовательности
Иш det W (1)(г) = 0 (20)
1^ГО
и сходился ряд
ГО
Р (1)* (г)Р (1)(г) (21)
1=1
и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке z? С+{2(оо)и2(оо)} существовал отличный от нуля предел числовой последовательности (20) и сходился ряд (21).
? Для все / € N и с? С+ и _2^°°'-& gt-} имеют место равенства
I
г (1)-2 (г) =. (_ - г) ^ Р^ (^Р^г). (22)
7=1
Индукцией по / докажем формулы (22). При / = 1 формула (22) очевидна. Пусть теперь
при некотором фиксированном / & gt- 1 формулы (22) выполнены для всех к & lt- /. Тогда
для к = / имеем
г (1)-2 (г) =. (_ - ф (1)*Р-Т (0 (г)К (1)-1 Рт (0 (, ф (г)
_. (_ г) 1 У (1 !) 1 Рт (1−1) (г) °(0д (1−1)
- *(0 М Д21(г) Р22(г^
х & lt- (К (о)& quot-'- °) + (-КТ'-В (1^ 5т-' Г-в ('-)'-К ('_1)-11
РТ (г-1) (г) °^(1)д (г-1) / у (1 !)
Х 121 (г) Р22(г^ V ^(г)
=. (г — г) у (г 1 К*гГ (г) (х)К (1 !) Рт (г) (ж)у (г !)
+^1)* р-(г) (х) -К (1 1) В (1^ 5(1)-1 (-В (1)* К (1−1)-1 1) Рт (1) (жУг)
= г (1−1)-2 (г) +. (_ - ф (1)* Р- (1) (х)К (1)-1 V (1)* 5(1) 5(г)-15(1) V (1)К (1)-1 Рт & lt-0 (ж)у (1) = г (1−1)-2 (г) +. (_ - *)(?(1)½ V (1)К (1)-1 Рт (г) (жУ1)У-(?(1)½ V (1)К (1)-1 Рт№ (ж)у (1)
= г (1 !) 2 (г) +. (г — г) Р (1)* (х)Р (1) (х) =. (г — г) ^ Р (7)* (х)Р (7) (х).
.7 = 1
В этой цепочке равенств первое равенство следует из (17), второе — из (6), (7) и (15) при к = / - 1, четвертое — из (9) и последнее равенство следует из предположения индукции. Доказаны равенства (22).
Пусть предельная интерполяционная задача P (те) является вполне неопределенной. Тогда во всех точках л? С+ {_2^°°) U _2^°°'-& gt-} имеем
lim r (1)(z0) = r (TO)(z0) & gt- O, lim p (1)(z0) = p (TO)(z0) & gt- O.
Поэтому
lim r (1)2 (z0) = r (~)2 (z0) & gt- O, lim p (1) 2 (z0) = р (те) 2 (z0) & gt- O. (23)
Отсюда и из (22) следует сходимость ряда (21). В силу (19) имеем
det W (1) (z) = - det r (1)2 (z) det p (1) 2 (z). (24)
Переходя в этом равенстве к пределу l ^ то и учитывая (23), получим (20).
Наоборот, пусть в некоторой точке z? С+ {_2^°°) U _2^°°'-& gt-} к ненулевому пределу сходится последовательность (20) и сходится ряд (21). Из (22) и (21) следует, что
lim r (1)2 (z0) = r (~)2 (z0) & gt- O. (25)
Переходя в равенстве (24) к пределу l ^ то и воспользовавшись (25), (20), получим det р (те) (z) = 0. Отсюда и из (25) следует, что в рассматриваемой точке z? C+
у выполнены неравенства
r (TO)(z0) & gt-O, p (^(z) & gt-O.
По теореме С. А. Орлова [22] эти неравенства выполняются во всех точках z? C+
у И, таким образом, предельная интерполяционная задача 7^°°) является
вполне неопределенной. I
Литература
1. Stieltjes T. J. Recherches sur les fractions continues // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. — 1894. — 8−4. — P. 1−122.
2. Stieltjes T. J. Recherches sur les fractions continues // Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. — 1895. — 9−1. — P. 1−47.
3. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -
1920. — 81−2-4. — P. 235−319.
4. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -
1921. — 82−1-2. — P. 120−164.
5. Hamburger H. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems // Math. Ann. -1921. — 82−3-4. — P. 168−187.
6. Schur I. Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind // J. reine u. angew. Math. — 1917. — 147. — P. 205−232.
7. Schur I. Uber Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschrankt sind // J. reine u. angew. Math. — 1918. — 148. — P. 122−145.
8. Ковалишина И. В., Потапов В. П. Индефинитная метрика в проблеме Неванлинны-Пика // Докл. АН АрмССР. — 1974. — 59−1. — С. 17−22.
9. Ковалишина И. В., Потапов В. П. Радиусы круга Вейля в матричной проблеме Неванлинны-Пика // Теория операторов в функциональных пространствах и ее приложения, Сб. науч. тр., Наукова думка, Киев. — 1981. — С. 25−49.
10. Потапов В. П. К теории матричных кругов Вейля // Функциональный анализ и прикладная математика, Сб. науч. тр. / Киев: Наукова думка, Киев, 1982. — С. 113−121.
11. Ковалишина И. В. Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1983. — 47−3. — C. 455−497.
12. Дюкарев Ю. М. О критериях неопределенности матричной проблемы моментов Стилтье-са // Математические заметки. — 2004. — 75−1. — C. 71−88.
13. Кацнельсон В. Э., Хейфец А. Я., Юдицкий П. М. Абстрактная интерполяционная проблема и теория расширений изометрических операторов // Операторы в функциональных пространствах и вопросы теории функций. Сб. науч. тр. (ред. Марченко В.А.) / Киев: Наукова думка, 1987. -С. 83−96.
14. Иванченко Т. С., Сахнович Л. А. Операторный подход к схеме В. П. Потапова исследования интерполяционных задач // Укр. мат. журн. — 1987. — 39−5. — С. 573−578.
15. Ivanchenko T.S., Sakhnovich L. A An operator approach to the Potapov scheme for the solution of interpolation problems // Operator Theory: Advances and Applications. — 1994. -72. — P. 48−86.
16. Дюкарев Ю. М. Общая схема решения интерполяционных задач в классе Стилтьеса, основанная на согласованных интегральных представлениях пар неотрицательных операторов. 1 // Математическая физика, анализ, геометрия. — 1999. — 6−½. — С. 30−54.
17. Bolotnikov V., Sakhnovich L. On an operator approach to interpolation problems for Stieltjes fanctions // Integr. equ. oper. theory. — 1999. — 35. — P. 423−470.
18. Дюкарев Ю. М. О неопределенности интерполяционных задач для неванлинновских функций // Известия высших учебных заведений. Серия «Математика». — 2004. — 8(507). -C. 26−38.
19. Дюкарев Ю. М. О неопределенности интерполяционных задач в классе Стилтьеса // Математически сборник. — 2005. — 196−3. — С. 61−88.
20. Дюкарев Ю. М. Обобщенный критерий Стилтьеса полной неопределенности интерполяционных задач // Матем. заметки. — 2008. — 84−1. — C. 23−39.
21. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М.: Наука, 1973. — 552 c.
22. Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра, и теоремы об инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1976. — 40−3. — C. 593−644.
23. Шмульян Ю. Л. Оператоные шары // Теория функций, функ. анализ и их прилож. -1968. — 6. — С. 455−497.
24. Dubovoj V.K., Fritzsche B., Kirstein B. Matricial version of the classical Schur problem / Stuttgart-Leipzig: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1992. — 355 p.
ORTHONORMAL MATRIX FUNCTIONS AND INTERPOLATIONS PROBLEM
IN THE NEVANLINNA CLASS
Yu. M. Dyukarev
Belgorod State Agricultural Academy by V. Ya. Gorin,
Vavilova St., 1, Maiskiy, Belgorod Reg., 308 503, Russia, e-mail: yu. dyukarev@karazin. ua
Abstract. The sequence of orthonormal matrix functions is connected to the ordered sequence of interpolation problems for Nevanlinna matrix functions. A criterion was proven for the complete indeterminacy of limiting interpolation problem in terms of the convergence of the series, which was built in orthonormal matrix function.
Key words: ordered interpolation problems, limit interpolation problems, criterion for the complete indeterminacy, orthonormal matrix functions.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой