К определению граничных элементов в рамках модели водонасыщенного грунтового слоя конечной толщины

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

№ 7 — 8 липень — серпень 2012
6. Власов В. З. Строительная механика тонкостенных пространственных систем. — М.: Стройиздат, 1949. — 434 с.
7. Сливкер В. И. К вопросу о назначении характеристик двухпараметрового упругого основания // Строительная механика и расчет сооружений. — 1981. — № 1. — С. 36 — 39.
8. Барвашов В. А., Федоровский В. Г. Трехпараметрическая модель грунтового основания и свайного поля, учитывающая необратимые структурные деформации грунта // Основания, фундаменты и механика грунтов. — 1978. — № 4. — С. 17 — 20.
УДК 657. 012. 43
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАМКАХ МОДЕЛИ ВОДОНАСЫЩЕННОГО ГРУНТОВОГО СЛОЯ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
Ключевые слова: граничные элементы, осадка, матрица, модель, фильтрационная консолидация, упругое водонасыщенное основание
Цель исследования: В рамках модели упругого водонасыщенного основания получить формулы для коэффициентов (точнее, функций) влияния матрицы податливости для трех- и четырехугольных граничных элементов, а также для граничных элементов в виде кольцевого сектора [4- 6- 7].
Изложение материала: Задача решалась в рамках расчетной схемы основания в виде слоя конечной толщины.
В рамках расчетной схемы полупространства эта проблема решена авторами [6 — 8].
Указанный набор граничных элементов позволяет определить напряженнодеформированное состояние грунтового основания фундаментов с практически произвольной формой подошвы.
При нахождении функций влияния для описания процесса фильтрационной консолидации нами была использована теория старения [5- 8].
Задача исследований была сформулирована так.
Граничный элемент площадью D находится на грунтовом слое толщиной H, который характеризуется упругими техническими характеристиками Е и V (или соответствующим им упругими константами Ламе Я и G), а также коэффициентом пространственной консолидации У [1. 6].
На этот элемент действует внешняя распределенная единичная нагрузка q = 1, которая остается неизменной во времени и приложена к рассматриваемому граничному элементу в момент времени t = 0.
Требуется определить функции влияния матрицы податливости B (t) для граничных
и
элементов в виде четырехугольника, треугольника и кольцевого сектора.
Напомним, что по определению под коэффициентом влияния понимают осадку точки
основания с координатами (х]-, у]), обусловленной распределением по площади некоторой геометрической фигуры (т. е. либо четырехугольника, либо треугольника, либо кольцевого сектора и т. д.) с центром в точке с координатами (х., у) единичной нагрузкой q = 1 [4].
Согласно [5], осадка упругого слоя толщиной Н в точке с координатой r под воздействием сосредоточенной силы Q в момент времени t равна:
А. В. Шаповал, к. т. н., доц., А. С. Головко, к. т. н., доц., Е. С. Титякова, к. т. н. ,
В. С. Андреев*, к. т. н., доц.
*Днепропертовский национальный университет железнодорожного транспорта
им. академика Лазаряна
S (r, t)
2-ж-G • Н
1 -V
• в •!№)
Ж
0
2 • (1 -V)
1 — 2 •V
(1)
57
Вісник ПДАБА
где
. sh2(a) €€ €. sh2(a)-a-l + ch (a)]2
Щ (а) =------------------ Щ (a, t) = 4 ¦ Щ (а) ¦Щ1(a, t) — Щ (а) =--------------г^-
а + sh (a) ¦ch (a) а + sh (a) ¦ ch (a)]2
— & amp-і(а, t) = Z і
i = l, 3,5
(i ¦n)2
а2 +(i ¦ n)2
-|2
¦ exp
а2 + (i ¦ n)2 Н 2
¦ cv ¦t
Здесь Q — величина сосредоточенной силы- Н — толщина слоя- G, v и cv —
соответственно модуль сдвига, коэффициенты Пуассона и пространственной консолидации основания [6- 7]- а — безразмерный параметр- Jq (х) — функция Бесселя первого рода с
нулевым индексом [6]- sh (х) и ch (х) — соответственно гиперболические синус и косинус [2]- r и t — соответственно координата и время.
Равенство (1) содержит несобственный интеграл, в силу чего его использование в качестве фундаментального решения возникают проблемы вычислительного характера. Поэтому для определения функций влияния используем полученную аппроксимацию (1):
(1 — v)'- Q & quot-
S (r, t) = ¦
J Щ (а)^ J0(а)¦ йа —
(2)
0
(і - «)• Q
2 ¦ р ¦ G
10
z A ¦ 4i®-i = 1
1 — 2 ¦ н 10 10 10 10
z z z z DiJkm • ші]кт (r, t)
2 ¦(1 — н) i = 1j = 1m = 1k = 1
где Dijkm Ai ¦B j ¦ Ckm — x®
r2 + (i -1)2 ¦ da2 ¦ H2
exp
Vijkm (r):
(2 ¦ m -1)2 ¦ n2 ¦ cv ¦ t
H'
1
r2 +
Jcv ¦ t
(i -1) ¦da+(j -1) ¦ db -2lH- + (k -1) ¦ d
2
m
¦ H
Здесь Djm = Ai, Bj, Ckm, da, db и dm — полученные коэффициенты и константы аппроксимации.
1
Вначале рассмотрим случай прямоугольного граничного элемента с размерами сторон L и B, на который действует распределенная нагрузка q = 1 (рис. 2).
58
№ 7 — 8 липень — серпень 2012
Рис. 2. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для прямоугольного
граничного элемента
Найдем осадку дневной поверхности Б*(х, у) точки основания с координатами (x, y) от элементарной нагрузки dQ (%, n) = q ¦ d? ¦ dn, приложенной в точке с координатами (Щ) (см.
рис. 2). В этом случае в формуле (2) радиус следует положить равным r =J (x-%)2 + (у -ц)2)
и проинтегрировать полученное выражение по координате ^ в пределах от — - до + -. Кроме того, полученный таким образом результат следует проинтегрировать полученное выражение по координате Ц в пределах от — - до ± (рис. 2). Имеем:
-
L b
s (x, y) j±vi 77
2 п G L b
2 2
2 2
10. *, — 4 1 -2¦v
У A. ¦ X (x, y, t, n-----
. =1 і лі У П 2^(1-у)
10 10 10 10 * u У j 1ИУ 1кУ j j (х, у, ш)
¦ d?¦ dц, (3)
где
X* (x, y,^n) =
& gt-/(x-?f +(y-nf + (i — 1)2 ¦ da ¦ H2
* (z Л zi (t)
V. ikm (x, y, Z, n, t) = 7--------г
tJKrn / zn (x, y,%, n, t)
— zi (t) = exp
(2 ¦ m -1)2 n2 ¦ cv • t
H2
1
zn (x, y,%, n, t) =
(x-4f + (y-пц +
Ic ¦ t
(i — 1) ¦da+(j — 1) ¦ db + (k — 1) ¦ dm,
H
¦ H2
2
Далее определим функции влияния матрицы податливости метода граничных элементов
Bj (t). В рассматриваемом случае с физической точки зрения функция влияния матрицы U
податливости By (t) является осадкой точки основания с координатами (xj, Уj), обусловленной распределенной по площади прямоугольника с размерами сторон в плане — и Lі и центром в точке с координатами (x., y.) единичной нагрузкой q = 1 в момент времени t.
Поместим центр загруженной области в точку с координатами (x., y.) и найдем осадку точки с координатами (x., y.). При этом примем размеры загруженной области равными — и Lі, а распределенную нагрузку q равной единице. Кроме того, положим нагрузку неизменной во времени. Имеем:
59
Вісник ПДАБА
L _ b_
Bj (t)^-У 1 ij 2-р ¦ G 'lV
2 2
гДе Xjj (, j,4,ri) =
10
II M •"& quot-ч* •"& quot-ч* чі1)
10 10 10 10
M M I I
J1=1j1 = 1m = 1k = 1
1
1 _ 2 ¦ н
2 ¦ (1 _ н)
Di1j1km -uH1j1km (ij'°J'°)
& gt- ¦ d° ¦ d3
(4)
Xi _xj _%)
' xJ
+ (
¦ dr
* і zi (t) ., ,
11 km (ij°J°) = - zi (t) = exp
h — xj -$?+у — yj -'if
(2 ¦ m _ 1)2 -n2 ¦ cv ¦ t

zn (i, j, tnt) =
lx _ Xj _4f+ yi _ yj _ ny +
jc~t
(i1 _1)¦da+(j1 _1)¦ db + (k1)¦ dm
-|2
¦ H
Интегралы (4) для каждого момента времени t целесообразно вычислять методом трапеций. При этом первый интеграл по переменной n вычислялся аналитически.
В случае треугольного граничного элемента (рис. 3) функция влияния матрицы податливости Bij (t) с физической точки зрения является осадкой точки основания с
и
координатами (xj, у 2, которая обусловлена единичной постоянной во времени нагрузкой q = 1, распределенной по площади треугольника с координатами вершин (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) и центром в точке с координатами (x^, y^) в момент времени t.
Рис. 3. К определению коэффициента влияния матрицы податливости треугольного
граничного элемента
Техника определения функций влияния в целом такая же, как и для прямоугольного элемента. Отличие заключается в том, что в данном случае верхний и нижний пределы интегрирования по переменной n являются функциями координаты %, т. е. :
П1
[u (%_ x1) _ U (t_ x3)
У1 +
(y3 _ yj) ¦ (%_ x1)
xj _ X1
и
60
№ 7 — 8 липень — серпень 2012
П2
J (Z- xj) — U (Z- Х2)
У1
+ [u (Z-x2) — U (Z-x3)
У2
+
+ (y2 -y1)• (Z-xj)
x2 — x1
(У3 — У2) •(Z-x2)
+
(5)
x3 — x2
где U (x) — ступенчатая единичная функция Хевисайда [7], а (х1,у1), (х2,у2) и (х3,у3) -координаты вершин треугольника (т. е. загруженной области), причем xj & lt- x2 & lt- x3.
В связи с изложенным имеем:
«t). sla. Y!
yW 2пG П x n1 x1
10 л *, «ч 1 — 2 •v
2 A •х (i, j, Z, n)---------------
t = 1 11 1 Г и 2 • (1 -v)
222 2 Di1j1km Щ (i, J, Z, n, t)
10 10 10 10 2 2 2 2 І1 = 1j1 = 1m = 1k =!
— см. пояснения к формуле (2), а х* (i, j, Z& gt-n) и (i, j, Z, V& gt-t)
& gt-• dZ • dn ' (6)
где Ai1 и Di1j1km см. пояснения к формуле (4).
Для граничного элемента в виде неправильного многоугольника (рис. 4) — такие элементы используются с вычислительных комплексах «Лира» и «Мономах». Коэффициенты влияния матрицы податливости Bij найдем в виде:
в у (t • з {
2 • р • G З x 31x1
10. * .4 1 -2• н
2 Ач ¦ ч* (ij, o, j)----------
і = 1 ч1 ч1у '- 2 • (1 — н)
10 10 10 10 *
• 2 2 2 2 Di1j1km • Mi, j, km (iJ, oj0
11 = 1j1 = 1m = 1k = 1
& gt-• do • d3 (7)
где Ai1 u Di1j1km
— см. пояснения к
см. пояснения к формуле (4).
Здесь з 1 = U (o — x1) — U (o — x4^]-
y1
+
формуле (2Х, а ч* (i, j, o, j) и (Цо^о)
(у 4 — y1) • (о — x1)
+ j (o — x4) — U (o — x!)
У4
+
з2 = U (o — x1) — U (o — x2)
x4 — x1
(У3 — У4) • (o — x4)
x! — x4
(У2 — У1) • (o — x1)
У1
+
+ [u (Z-x2) — U (Z-x3)]
У 2
+
x2 — x1 (y3 — y2)•(Z-x2) x! — x2
+
, x1 & lt- x2 & lt- x4 & lt- x!.
61
Вісник ПДАБА
Рис. 4. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для граничного элемента в виде неправильного многоугольника
С физической точки зрения в рассматриваемом случае функция влияния матрицы
податливости Bj (t) является осадкой точки основания с координатами (x., У.),
iJ J J
обусловленной распределенной по площади четырехугольника с координатами вершин (х1, у1), (х2, у2), (х3, у3), (х4, у4) и центром в точке с координатами (Хі, Уі) единичной постоянной во
времени нагрузкой q.
Для граничного элемента в виде кольцевого сектора при определении коэффициентов влияния матрицы податливости BiJ следует перейти от декартовой к полярной системе
координат (рис. 5).
В данном случае под коэффициентом влияния следует понимать осадку точки М, положение которой определяется вектором длиной b, наклоненным к горизонтали под углом в под воздействием распределенной по площади кольцевого сектора abcd единичной постоянной во времени нагрузки. При этом положение центра граничного элемента abcd определяется вектором длиной р, наклоненным к горизонтали под углом р, а расстояние между центром граничного элемента и точкой М равно:
r =р2 + b2 — 2 ¦ b ¦ р ¦ cos (р). (8)
Далее подставим (8) в (2) и проинтегрируем полученное таким образом выражение в по координате р в пределах от R1, j до R2, J, а по координате р — в пределах от pj j до Р2 j.
Имеем:
. (1 -у) P2, jR2,j
bj (tьhi-1R'- & lt-
pj, jRi, j
10. **Ґ 4 1 — 2-v
s A- -xu
ii =1
l1 Лі1 … '- 2-(1 -v)
10 10 10 10
¦ s s s s
i1 = 1j1 = 1m = 1k =
1 V '-РФ / 4
s s s s Di1j1km ¦i1J1km (и, рр)
& gt-¦ d^-dq'
(9)
где Ai и Di j m — см. пояснения к формуле (2) — (9)
**Р ¦ 1
Xi1 (Ч, рр)= і
ур2 + bi2 — 2-bi-р- cos ¦ (p)+[(k -1) ¦ da H ]
Vi
** zi (t) *.
(і^, р, Р,ґ) = --------------- zi (t) = exp
i1j1kmK
zn (ij^pt)
(2^m -11)2 n2 ¦cv-t

62
№ 7 — 8 липень — серпень 2012
zn (i, j, p,%t) =
, 2,2
+ bj — 2 • bi • p • C05- (& lt-p) +
+
(ij -1) ¦da+(j1 -1) • db v + (k -1) • dm
H
і
c, • t
2
• H
Интегралы (9) целесообразно вычислять методом трапеций. При этом первый интеграл по переменной p целесообразно вычислять аналитически.
Рис. 5. К определению коэффициента влияния матрицы податливости для граничного
элемента в виде кольцевого сектора
Выводы. В целом полученные в ходе выполнения настоящей работы коэффициенты влияния матрицы податливости метода граничных элементов в рамках модели основания в виде линейного упругого изотропного водонасыщенного слоя конечной толщины решать такие задачи проектирования:
— определение напряженно-деформированного состояния грунтовых оснований, находящихся под воздействием приложенной к их верхней границе распределенной нагрузки-
— определение напряженно-деформированного состояния систем «грунтовое основание -фундамент" —
— определение напряженно-деформированного состояния систем «грунтовое основание -фундамент — надфундаментное строение».
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966. — 664 с.
2. Зарецкий Ю. К. Теория консолидации грунтов. — М.: Наука, 1967. — 270 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1974. — 840 с.
4. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. — М.: Мир, 1987. — 328 с.
5. Новацкий В. Теория упругости. — М.: Мир, 1975. — 872 с.
6. Шаповал А. В. Алгоритм расчета напряженно-деформированного состояния обладающих свойством ползучести водонасыщенных грунтовых оснований методом граничных элементов // Будівельні конструкції: Міжвідом. наук. -тех. зб. — Вип. 65. — К.: НДІБК, 2006. — С. 305 — 310.
7. Шаповал А. В., Шаповал В. Г., Капустин В. В. Метод граничных элементов в задачах определения НДС водонасыщенных грунтовых оснований, обладающих свойством ползучести. // Вісник Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. — Вип. 14. — Д.: вид ДНУЗТ, 2007. — С. 220 — 224.
8. Шаповал А. В. Особливості взаємодії водонасичених основ, що мають властивість повзучості, з будинками і спорудами. Автореф. канд. дис. — Д.: ПДАБА, 2007. — 24 с.
63

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой