Прогнозирование процесса вертикальной качки корабля

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы естественных и точных наук


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Прогнозирование процесса вертикальной качки корабля 29
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.
8. Никифоров В. О., Ушаков А. В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2002.
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
систем управления и информатики 26. 06. 07 г.
УДК 62. 50
В. В. Григорьев, Ю. В. Медынский, М. М. Мотылькова
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики
О. К. Мансурова
Северо-Западный государственный заочный технический университет
Санкт-Петербург
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЕРТИКАЛЬНОЙ КАЧКИ КОРАБЛЯ
Описывается алгоритм прогнозирования вертикальной качки на море, который может быть использован для повышения точности работы бортовых систем автоматического управления посадкой самолетов палубной авиации и разработки новых систем управления беспилотными летательными аппаратами.
Введение. Научные модели, применяемые для описания явлений природы, можно разделить на детерминированные и вероятностные [1]. В вероятностной модели любого явления наряду с контролируемыми присутствуют случайные факторы, вызывающие при его повторении неконтролируемые колебания.
В теории случайных процессов рассматривается специальный класс — нерегулярная качка [1]. Движение объектов, в данном случае корабля, под действием нерегулярных возмущений (нерегулярное волнение) осуществляется по случайному закону. Процесс качки характеризуется существенной неопределенностью. Описание этого процесса детерминированной моделью не отразит полностью характер его развития. Поэтому при построении модели качки будем опираться на вероятностную модель — случайный процесс.
Расчет математической модели процесса качки. Случайный процесс вертикальной качки характеризуется явной колебательностью. В общем случае спектральная плотность случайного процесса с явно выраженной резонансной частотой Шо, коэффициентом затухания, а и константой уровня Оо определяется выражением [2, 3]
5 (ш) =
4
Ш0 О0
ш4 + 2(2а2 -Ш2)Ш2 +ш0
Предположив, что случайный процесс вертикальной качки представляет собой гауссов белый шум, постоянный «белый& quot- спектр которого искажается при прохождении через колебательное звено, запишем выражение для передаточной функции формирующего фильтра [2]:
Ф (р) =
Ш0
2 2 р + 2ар + ш0
Далее, учитывая тот факт, что ковариационная функция случайного процесса является обратным преобразованием Фурье от спектральной плотности, воспользовавшись таблицей отображений [1], запишем выражение для ковариационной функции:
С


2 2 11 тcos/Q0 -а + т
а
Л
2 2 ш0 -а
sin-Jo
2 2 ¦sm/Q0 — а
где т — интервал дискретности (длительность одного такта бортовой ЦЭВМ).
В рассматриваемом случае, задаваясь значениями Шо = 0,6 рад/с, а = 0,03 рад, Go = 1,7. т = 0,1 с, получим [3]
с () 0,22
S (Ш)=1−2--
ш4 — 0, 72Ш2 + 0,13
R (т) = 10,2e& quot-0'-03lТ (cos 0,6 т + 0,05 sin 0,6|т|),
ч 0,36
Ф (р) = 1−2-
p2 + 0,06 p + 0,36
или в дискретном виде
Ф? (z) =
0,0029z + 0,0029
& quot- 0,922 -0,0359& quot- & quot-0,0996"-
A =, B =
0,0996 0,9982 0,005
Z* - 1,9904z + 0,994
Расчет фильтра Калмана для оценки состояния математической модели процесса качки. Учитывая постановку задачи прогнозирования (требуется оценить состояние системы, на вход которой поступает белый шум с известными структурой и параметрами модели системы), а также необходимость реализации прогноза, выберем в качестве устройства оценки оптимальный фильтр Калмана. Прогнозирование будем осуществлять в виде расчета динамики системы на основании текущей оценки состояния. Дискретная модель процесса качки с интервалом дискретности 0,1 с в форме «вход — состояние — выход& quot- задается уравнениями
х (k +1) = Ax (k) + Bu (k) — y (k) = Cx (k),
где
C = [0,6 0].
На вход модели поступает белый дискретный шум u (k) = w (k), dim {w (k)} = 1, с нулевым средним и единичной дисперсией Q:
E{w (k)} = 0, E{w (k)wT (k)} = Q = I,
где I — единичная n x п-матрица.
Дополним модель шумом измерений в виде аддитивного дискретного белого шума v (k), dim {v (k)} = 1, с нулевым средним и заданной дисперсией R:
E{v (k)} = 0, E{v (k)vT (k)} = R = 0,01. Шум измерений и шум состояния предполагаются некоррелированными: E {w (k) vT (k)} = 0. Таким образом, модель процесса качки задается уравнениями
х (k +1) = Ax (k) + Bw (k), y (k) = Cx (k) + v (k)
или в скалярной форме
х1 (к +1) = 0,922×1 (к) — 0,0359×2 (к) + 0,0996^ (к) — х2 (к +1) = 0,0996×1 (к) + 0,9982×2 (к) + 0,005^ (к), у (к) = 0,6 Х1 (к) + V (к).
Фильтр Калмана содержит модель объекта управления без учета шумов (модель сообщения) и обратную связь по невязке наблюдения:
Х (к +1) = АХ (к) + ин- у (к) = СХ (к),
где ин = Кн У =
кн к& quot- (у — у), Кн — матрица коэффициентов обратной связи.
Модель ошибок ХХ = х — ХХ принимает следующий вид:
& quot- w (к)& quot-
x (к + 1) = (A — КнC) x (к) + [B -Кн ]•
y (к) = Cx (к),
-(к).
= AH x (к) + BH ?(к) —
где AH = A — Кн C — матрица входов модели наблюдения, BH = [B -Кн ] - матрица выхо-
дов модели наблюдения, ^(к) =
w (к)
V (к)
Определим ковариационную матрицу ошибки в установившемся режиме в виде решения алгебраического уравнения Риккати:
P = A P? P? C
t
CPL CT + R
-1
CP? AT + BQBT.
В результате получаем следующее значение для матрицы PL:
& quot-0,0109 0,0178& quot-
PL =
0,0178 0,0585
установившееся значение матрицы ковариаций.
Теперь определим матрицу коэффициентов обратной связи:
Кн = Pl c
t
CPL CT + R
-1
= [0,5441 0,7473]T.
Процесс вертикальной качки корабля и его оценка с помощью фильтра Калмана представлены на рис. 1.
& gt-'-(/), M
уО), м 1,5
1,0 0,5 0
-0,5 -1,0 -1,5
_I_ILi_
75
Рис. 1
Расчет состояния системы в заданный момент времени. После того как вычислена оценка вектора состояния модели процесса качки, можно получить прогноз значения вектора
состояния х (к) через несколько тактов в будущем: х (к + т), т — число интервалов дискретности (число тактов).
Рассмотрим аналитическое решение уравнения, определяющего динамику развития процесса качки для некоторого, заданного в момент времени к, состояния х (к):
х (к +1) = Ах (к) — х (к + 2) = Ах (к +1) = А Ах (к) = А2 х (к) — х (к + 3) = Ах (к + 2) = А А2х (к) = А3 х (к) —
х (к + т) = Ах (к + т _1) = Атх (к).
Таким образом, путем доказательства методом математической индукции можно утвердить равенство, связывающее текущую оценку состояния и ее значение через некоторое число тактов в будущем [3]:
х (к + т) = Атх (к).
Приведение непрерывного значения интервала прогнозирования tп к числу интервалов дискретности легко осуществить на основании заданного значения интервала дискретности т [4]: т = ^/т.
Алгоритм прогнозирования. Исходные данные: ш0 е Я+, О0 е Я +, аеЛ+(0… 1), теЯ+ (т& lt- 0,01п).
1. Построение модели «вход — состояние — выход& quot- процесса качки. Построим модель в канонической управляемой форме:
А =
2. Построение фильтра Калмана:
& quot- 0 1 & quot- & quot-0"-
, Б =
_ш2 _2а 1
К = Р С1
н ю^
С =
СРю СТ + Я
0
Р: Р = А) Р _ Р С
* ю • А ю * гг,^
ю ю
СРю С1 + Я
_1
СРю А1 + БОБ1
0 = I, Я = 0,01.
3. Расчет состояния модели процесса качки:
х (к +1) = Ах (к) + Кн (у (к) _ Сх (к)) = Ах (к) + Кн (у (к) _ у (к)), х (0) = 0.
4. Расчет матрицы состояния в заданный момент:
т = п! т, Ат =(А)т.
5. Расчет прогноза состояния:
х = Атх лт+1 ~ п Л1 ¦
Статистический анализ системы прогнозирования. Определим зависимость между интервалом прогнозирования и статистическими показателями ошибки прогнозирования. Для вычисления средних по множеству характеристик разобьем интервал прогнозирования 0… 20 с периодом т = 0,1 с на 200 квантов и для каждого кванта определим характеристики
на основании рассмотрения 50 реализаций случайного процесса ошибки в установившемся режиме [5]. Графики зависимости математического ожидания ошибки и дисперсии от времени представлены на рис. 2 и 3 соответственно.
M, м 0,5
-0,5 ¦
D, м 5
4
3
2
1
t, с
t, с
Рис. 2
Рис. 3
По результатам анализа можно сделать следующие выводы: интервал прогнозирования tn, обеспечивающий приемлемую точность прогноза, составляет 5 с, что согласуется со значением периода корреляции случайного процесса. Увеличить значение этого интервала можно за счет увеличения периода корреляции, т. е. за счет уменьшения частоты исходной модели процесса качки. Данное утверждение иллюстрируется графиком прогноза качки с резонансной частотой Шо = 0,1 рад/с и интервалом прогнозирования tn = 12 c (рис. 4). v (i), M y (t+t»), м
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 ^ с Рис. 4
Таким образом, можно утверждать, что спектральная плотность процессов качки, в которых присутствуют высокие частоты, будет шире, а график корреляционной функции уже, т. е. процесс качки будет обладать инерцией лишь в малом промежутке корреляции, и интервал прогнозирования, в котором обеспечивается приемлемая точность прогноза, также будет мал. В то же время для процессов качки, которые характеризуются низкими частотами, этот интервал будет больше [4, 3].
0
0
Под интервалом прогнозирования, в котором обеспечивается приемлемая точность прогноза, понимается максимальное время прогнозирования, когда ошибка прогноза составляет менее 1 м с вероятностью, превышающей 0,9.
1. Вероятностные разделы математики. Учебник для бакалавров технических направлений / Под ред. Ю. Д. Максимова. СПб.: Иван Федоров, 2001. 592 с.
2. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003. 752 с.
3. Случайные процессы. Т. 3. Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В. В. Сизых. М.: Радио и связь, 2004. 408 с.
4. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. К. Т. Леондеса. М.: Мир,
список литературы
1980. 408 с.
5. Медич Д. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. 387 с.
Рекомендована кафедрой
систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Поступила в редакцию 26. 06. 07 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой