О сходимости итерационного процесса для псевдопараболического уравнения третьего порядка с нелокальными краевыми условиями в многомерной области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Уравнения математической физики
УДК 519. 635
О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
М. X. Бештоков
Кабардино-Балкарский государственный университет им. X. М. Бербекова Россия, 360 004, Нальчик, ул. Чернышевского, 173.
E-mail: beshtokov_maurat@rambler. ru
Рассматривается нелокальная краевая задача для псевдопараболического уравнения третьего порядка в многомерной области. С помощью итерационного метода решение нелокальной краевой задачи сводится к решению последовательности локальных задач. Получена априорная оценка сходимости итерационного метода в норме
Ключевые слова: краевые задачи, нелокальное условие, априорная оценка, итерационный процесс, уравнение третьего порядка, псевдопараболическое уравнение.
В замкнутом цилиндре QT = G х основанием которого явля-
ется р-мерный прямоугольный параллелепипед G = {х = (х,…, хр): 0 ^ха^1а, а = 1,2,…, р}
с границей Г, G = G U Г, рассматривается нелокальная краевая задача
ut = Lu + f (x, t), (x, t) eQT, (1)
Па (х, t'-) — Р-а (х, t) u (xI, …, Ха-1,1 сп Ха-- & gt- •••& gt- Хр, 7~)
+ / P-a (t, T) u (X!, …, Ха-1} la, Xa+1, …, Xp, T) dT -/J,-a (x, t), При Ха = 0, (2)
J0
Па (х, ?) — Р--а (х, ?)и (ж 1, Ха-1)0, Ха-1−1, ¦¦¦, %р)
+ / Р+а (Ъ, т) и (х, …, Ха-1,0,Ха+1, …, Хр, т)<-1т — Ц+а (х,$, при Ха = 1а, (3)
Jo
и (х, 0) = ио (х), х € С, (4)
где Ьи = Т? а=1Ь"и, Ьаи = (ка (х, г) иХа)Ха + (г]а (х, ?)"*"*) ^ + Га (х^)иХа ~ - да (х, г) и- 0 & lt- Со ^ г]а (х, г) — ка (х, г) ^ си га, да, |/?-«|, |/?+"|,
Мурат Хамидбиевич Бештоков (к.ф. -м.н., доц.), докторант, каф. вычислительной математики.
ИЗ
|р_"(?, т)|, р+а^, т)с2-Па (ж,?) = ка (х,?)иха+г1а (х, 1) их^ - полный поток- СО) СЬ С2 — положительные постоянные- р-а (Ь, т), р+"(?, т) — функции, непрерывные на [0,Т]- 0 ^ т ^ си = 1, р- & lt-5т = б х [0 & lt- К Т].
Относительно коэффициентов задачи (1)-(4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения и (х, Ь) в цилиндре С,}т- Для обеспечения нужной гладкости и (х,?) вблизи границы потребуем для (1)-(4) выполнения условий сопряжения нужного порядка. В качестве одного из способов решения задачи (1)-(4) рассмотрим итерационный метод [1−4], который сводит решение нелокальной краевой задачи к решению последовательности локальных задач.
Итерационный процесс для задачи (1)-(4) будем строить следующим образом:
5+1 5+1
щ = Ь и +/(ж,?), (ж, г)?(^т, (5)
¦5 + 1 5
П, а (ж, ?) — Р-а (. X, ?) и (хх, …, Ха-, 1а, Ха--, ¦ ¦¦, Ж р, т)
+ / р-а^, т) и (х1, …, Ха-1,1а, Ха+1, …, Хр, т)(1т — /Х_а (ж,?), при Ха = 0, (6)
Jo
5+1 5
П, а (ж, ?) Р--а (, Х, ?) и (^Х, • • •, Х^- 1,0, Х^--1 •)••••) Xр, 7»)
+ / Р+а (^, т) и (Ж1, …, Жа1, 0, Жа+1, …, Жр, Г)^ -//+а (ж,^, при Жа = (7)
3−1-1 _
и (ж, 0) = «о (ж), ж еС, (8)
где 8 = 0,1, 2,… — итерационный индекс. В качестве нулевого приближения
о
и можно взять, например, значение решения в начальный момент времени «о (ж).
5+1 5+1 / /
Пусть г = и -и — погрешность метода (5)-(8), где г/, -решение зада-
5+1 5 + 1
чи (1)-(4). Тогда, подставляя и = г +и в (5)-(8), получим задачу для
5+1
погрешности г:
Ч1 = ьЧ1, (ж,?) € & lt-5т, (9)
5 + 1 ^
П, а (ж, ?) — Р-а (Х)Ъ'-) ^ (Ж1, •• •, Жо,_1,, Жо,-|-1, …, Жр, т)~Ь
+ / р-а (г, т) г (х1,…, ха-1,1а, ха+1,…, хр, т)(1т, при жа = 0, (10)
Jo
5+1 5
П, а (ж, ?) Р--а (х,^ г (хЪ …, Ха-1,0, Жо--|-1, …, Жр, т)
+ / Р+а^, т) 1(Ж1, …, Жа1, 0, Жа+1, …, Хр, т)(1т, при Ха = 1а, (11)
Jo
где
V
5+1 -г 5 + 1 -г 5 + 1 /т 5 + 1 / 5 + 1 5 + 1 5 + 1
5+1 5 + 1 5 + 1 / 5 + 1 ч / 5 + 1 ч 5 + 1 5 +
Ь г =у ьа г, Ьа г = (ка г) + {т]а г) + га г -да г
?^ 4 Ха, а X& lt-*? Ха гг.~.
06= 1
Введём скалярное произведение и норму:
{и, у) = [ ьМх, {г, г) = \zH (г, г) = [ гЧх
¦Ю -Ю
р г1а
4 = \4ь2(0,1а)= г2{х,^ха.
а=1
5 + 1
Для оценки решения задачи (9)-(12) умножим уравнение (9) скалярно на г:
('г1,'-?) = (емх, 1)^1) + (? (^1,)1"л1)+
^"=1 «'- ^"=1 «'-
'-& lt-2=1 '- '-& lt-2=1
3+1 5 + 1 I п
2,2 • (13)
Преобразуем интегралы, входящие в тождество (13):
Остальные слагаемые в правой части (13) оценим с помощью неравенства Коши:
(V'-'- & lt- .л ¦5+1 ¦5+1 [ Х& quot-'- •5+1 ¦5+1 л [ •5+1 ¦5+1 л ^
I 2_^г"{х, ЦгХа, х I = / 2_^г"хха х& lt-1х = 2_^ гахХа г йх ^
'-«=1 '- а=1 а=1
«?е/Д?)^+?е/с№& lt- & lt-17>-
а=1 а=1
(^2 да (х, г)3Р, 8г1}=-['-^2 да (х' ^ ^ =
'-«=1 '- а=1
]! сгж^с2^у (1х, (18)
где С = {X'- = (х1,х2,…, ха-1,ха+1, ¦ ¦ ¦, Хр): 0 & lt- хк & lt- 1к, к = 1, 2, …, а — 1, а + 1, …, р}, с1х'- = с1×1(1×2 ¦ ¦ ¦ (1ха-(1ха+1 ¦ ¦ ¦ с1хр. Подставляя (14)-(18) в тождество (13), получаем неравенство
1 СI 8+1 ||2 1 й
2 (Й * 2 (Й
и Г? а (ж,?)(Йа) & lt-1Х + и & amp-<-* (ж, ?)(?**) йх ^
1 ^ С (+1 ^
(1х'- + 2 ^ ^
а=1
(19)
Учитывая краевые условия (10), (И), второе слагаемое в правой части (19) оценим так [5]:
Л-7
а= 1
2 ка гХа +т]а гХа1
йх1 =
а=1
Е/ /5 + 1 5 + 1 5 + 1 5_|_1
/ [П"(1,() г иа=га — П"(з: ,() г
___1 •/
/¦ N Я+1 I
Р /.
/ Р+& lt-*(х, г) г (х, т)+ р+а^, т) г (х, т)(1т)Ха=о3г Ха=1а (1х'-~
а=1]с'-К™ '-
Р п
2 / (/3-а (ж,?)1(ж, т) + / Р-а^, Г) 1(ж, Г^т) 1^=^ 1^=0^'- ^
а=1 •'С'-
Тогда из (19) с учётом (20) находим
а=1
5+1 '- %Ха
& lt-м3(|Г?||§+цг'||§
'-+1& quot-2Чм2
0 до
• (21)
Проинтегрируем (21) по т от
'? По + II '? Над, «М41' (|| II? + II и1 11?)*-+
I м2
I 2 116 +
+
J (||^ Но + 11−4 ||о)^ + J ! (н 2 Но + II 4 \2^(1т1(1т
Второе слагаемое в правой части (22) оценим следующим образом:
I I (н 2 Но + II 4 \fjdTidr ^ Т I (|| I По + II? х По) йг. Учитывая последнее неравенство, из (22) получим
о I 1 _ «I 1
(|| 3*1 Но + II 3*х \о)& lt-1т + М6 J
(22)
I м2 I м 5+1 по ^
I 2 Но + II По ^
2 По + II 2Х По) йт. (23)
Обозначая
^(г) = м6 у (|| I По + II4 Но
м2'-
с1т
J о 4
и применяя к неравенству (23) лемму Гронуолла, получим оценку? (п ^ ||§ + П и1 \ojdT & lt- Тем^(?)
и, следовательно,
|| 8г1 ||о + || 3*х По ^ ТМ (1-) I (|| 11|§ + || гх \fjdr ^
& lt-
Из (24) имеем
такт) [ (||!||?+ || 4 !!§)*. (24)
й И'-^Ницо) «™(Т)

, 5 м² м 5 м²
2 По + II По
Продолжая неравенство (25) вправо, получим
max
OsCtsCT
О
Z
2
В итоге получаем оценку погрешности итерационного метода (9)-(12):
Из оценки (26) следует, что при Т2М (Т) & lt- 1 итерационный метод (9)-(12) сходится в норме И/Г21©. Сходимость итерационного процесса может быть обеспечена за счёт малости времени Т, то есть сходимость будет только в малом.
Следует отметить, что полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда в уравнении (1) Ьаи имеет другой вид:
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. М. Н. Бештоков, «О сходимости итерационного процесса для одной нелокальной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка» / В сб.: Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы X Школы молодых учёных. Нальчик: КБНЦ РАН, 2012. С. 24−26. [М. Kh. Beshtokov, «On the convergence of the iterative process for one nonlocal boundary value problem for a hyperbolic equation of the third order» / In: Non-local Boundary Value Problems and Problems of Modern Analysis and Informatics. Nal’chik: KBNTs RAN, 2012. Pp. 24−26].
2. Д. Г. Гордезиани, О методах решения одного класса нелокальных краевых задач: Препринт, Тбилисский Ордена Трудового Красного знамени Государственный университет, Институт прикладной математики им. И. Векуа. Тбилиси, 1981. 32 с. [D. G. Gordeziani, On methods of resolution of a class of nonlocal boundary value problems: Preprint Tbilis. Gos. Univ., Inst. Prikl. Mat. Tbilisi, 1981. 32 pp. ]
3. D. G. Gordeziani, «Finite-difference schemes for solving nonlocal boundary value problems (in Russian)» // Tr. Inst. Prikl. Mat. Im. I. N. Vekua, 1987. Vol. 19. Pp. 20−25.
4. N. Gordeziani, P. Natalini, P. E. Ricci, «Finite-difference methods for solution of nonlocal boundary value problems» // Comp. Math. Appl, 2005. Vol. 50, no. 8−9. Pp. 1333−1344.
5. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.- англ. пер.: О. A. Ladyzhenskaya, The Boundary Value Problems of Mathematical Physics / Applied Mathematical Sciences. Vol. 49. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1985. 322 pp.
s+l
Lau= (ka (x, t) uXa)Xa + (r]a (x, t) uXa)Xat + ra (x, t) uXa -qa (x, t) u.
Поступила в редакцию 29/III/2013- в окончательном варианте — 01 /IV/2013.
MSC: 35S15- 47G30
ON CONVERGENCE OF THE ITERATIVE PROCESS FOR THE THIRD ORDER PSEUDO-PARABOLIC EQUATION WITH NONLOCAL BOUNDARY VALUE CONDITIONS IN A MULTIDIMENSIONAL DOMAIN
M. H. Beshtokov
Kabardino-Balkarian State University,
173, Chernyshevskogo St., Nalchik, 360 004, Russia.
E-mail: beshtokov_mauratSrambler. ru
In this paper the nonlocal boundary value problem for the pseudo-parabolic equation of the third-order in a multidimensional domain is considered. Using an iterative method, the solving process of the nonlocal boundary value problem is reduced to solving the series of some local problems. An a priori estimate for the convergence of the iterative method in the norm, TU21(G) is obtained.
Key words: boundary value problems, nonlocal condition, a priori estimate, iteration process, third order equation, pseudo-parabolic equation.
Original article submitted 29/111/2013- revision submitted 01/IV/2013.
Murat H. Beshtokov (Ph. D. (Phys. & amp- Math.)), Doctoral Candidate, Dept, of Computational Mathematics.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой