О сходимости метода частиц для несжимаемой жидкости

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Вычислительные технологии
Том 9, № 1, 2004
О СХОДИМОСТИ МЕТОДА ЧАСТИЦ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ*
Е. В. овчинникова Красноярский государственный технический университет, Россия
А. М. Франк
Институт вычислительного моделирования СО РАН,
Красноярск, Россия e-mail: frank@icm. krasn. ru
The first result on convergence for the particles method for incompressible fluid for the case of inner initial-boundary value problem for Navier — Stokes equations has been proven. The result is valid both in 2D and 3D, provided that the differential problem has a solution.
Введение
Метод частиц для несжимаемой жидкости как новый консервативный свободно-лагранжев метод был предложен около 10 лет назад [1]. Подробное его описание можно найти в [2]. Метод представляет собой некоторый специальный вариант метода Галеркина, в котором конвективный перенос осуществляется с помощью материальных частиц. Такой подход имеет ряд очевидных принципиальных достоинств. В частности, материальная производная вычисляется в лагранжевых переменных, поэтому основная схема метода (без внешних и поверхностных сил) полностью консервативна и безусловно устойчива. С другой стороны, массовые, внутренние и поверхностные силы вычисляются в естественных, т. е. эйлеровых, координатах. Использование частиц позволяет легко отслеживать границы раздела, причем произвольное изменение связности течения и границ не доставляет никаких дополнительных алгоритмических сложностей. Использование B-сплайнов в качестве базисных функций в методе Галеркина дает возможность проводить расчеты в областях с криволинейными и подвижными границами. Удачный выбор базисных функций часто позволяет получать хорошие результаты даже при очень грубом (с точки зрения традиционных конечно-разностных и конечно-элементных схем) пространственном разрешении. Примеры решенных двумерных и трехмерных задач для невязкой жидкости можно найти в [2]. Недавно метод был обобщен на случай вязких течений с поверхностным натяжением [3].
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования РФ, грант КЦФЕ для аспирантов А03−2. 8−872.
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
Несмотря на определенные успехи в развитии метода и его применении к решению гидродинамических задач, вопрос о его сходимости оставался открытым. В настоящей статье доказана первая из таких теорем.
1. Постановка задачи
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для системы уравнений Навье — Сток-са:
щ + пкиХк — VДи = 0,у и = 0- (1)
и|5 = 0, и|4=° = а (х) (2)
в области Qт = П х (0, Т). Здесь П — ограниченная область с кусочно-гладкой границей Б. Относительно а (х) предположим
а1у, а = 0, а|5 = 0. (3)
Мы будем иметь дело с обобщенным решением [4] задачи (1), (2). Обобщенное решение
3
задачи (1),(2) — это вектор-функция и (х, ?), для которой интегралы / ^п4(х,?)йх рав-
П г=1
номерно ограничены при? ? [0, Т], производные иХк, и4 существуют и квадратично суммируемы на Qт, а также выполнены условия
и = 0, и|5 = 0, и|4=о = а (х) (4)
и тождество
J (-uФt + VихФх — п^иФхк) (1х (ИУ иФ|4=т?х — ! аФ|4=°йх = 0
п п
(5)
при любой Ф? (Qт) П 3^т). Здесь пространство 3(П) = {и? Ь2(П)| и = 0, и|5 = 0}. Скалярное произведение и норму в ?2(П) будем обозначать (,) и || || соответственно. Под нормой производной будем понимать
½
||их||2 = I |их|2^х, |их|= (пц.
Схема метода частиц с обсуждением особенностей численной реализации подробно изложена в [2, 3]. Здесь мы приведем лишь основные уравнения для случая простейшей дискретизации первого порядка по времени. В качестве базисных функций возьмем в гильбертовом пространстве Ж22(П) П Н (П) фундаментальную систему функций {ак (х)}, ортонормированную в Ь2(П). Пусть Ут — пространство, представляющее собой линейную оболочку функций {ак (х)}т1. В начальный момент времени? = 0 аппроксимируем объем П конечной системой материальных частиц ик с координатами =) и массами тк =), к = 1,…, N. Зададим начальное распределение скорости у°(х) из Ут, аппроксимирующее поле а (х). Обозначим через т шаг по времени, а через й — максимальный линейный размер частиц. Положим по определению ((а (хп), Ъ (хп))) =
N
тка (х& quot-(ек)) • Ъ (х& quot-(?к)), [[а (хп)]]2 = ((а (х& quot-), а (х"-))). Тогда на каждом временном шаге
к=1
новое поле скоростей из Ут находится из системы уравнений
уп+1(хп+1) _ ^(х& quot-)
а (х& quot-+1))) + V (К+Чх1), а1х. (х"-+1))) =0,
(6)
где I = 1,…, т, а частицы движутся в силу уравнения
х& quot-+1(?к) = х& quot-(?к) + т ^(хп (?к)). 2. Априорные оценки
Сначала оценим норму поля скорости
т
уп (хп) = ^ Л& quot-аг (х"-).
г=1
Умножим уравнения (6) на ЛЩ+1 и просуммируем I от 1 до т:
^п+1(хп+1) _ ^(х& quot-), уга+1(хга+1^) + ит ((уп+1(хп+1), Уп+1(хга+1^ = 0. Используя тождество 2((а _ Ъ, а)) = [[а]]2 _ [[Ъ]]2 + [[а _ Ъ]]2, получим
[[уп+1(хп+1)]]2 _ [^& quot-(х"-)]]2 + [^& quot-+1(х"-+1) _ уга (хга)]]2 + 2ит[К+1(х& quot-+1)]]2 = 0. Просуммировав по п от 0 до к _ 1, получим тождество
к1
к1
[[ук (хк)]]2 + ^ [[^(х*1) _ ^(х*)]]2 + 2*т? [[^(х*1)]]2 = [[¦
2- & quot-V0]]2
(7)
г=0
г=0
из которого, в частности, следует безусловная устойчивость схемы. Для доказательства сходимости нам понадобится оценка на якобиан |дх& quot-/д?| преобразования лагранжевых переменных в эйлеровы, поскольку при дискретизации по времени он перестает быть равным 1. Обозначим З& quot-+1 якобиан преобразования |дх& quot-+1 /дх& quot-|, З& quot- - якобиан преобразования |дх& quot-/д?|. Очевидно
З
дх& quot- д хп дх& quot-- 1 д х1
де д х& quot--1 дх& quot--2 де
Справедливо следующее утверждение: Лемма 1. Если
т 1-?& lt-
1
Т? & lt-
1
Т & lt-
1
4Т'- '- & quot- 322(т)[И]2'- 12^(т)[И] й & lt- (24 • е6Т^(т)'-
а
где
3 т
р2(т) = V У^шах (а!)2(х), М = тах |аг (
4 '- ^ ^ хепу ^ 0& lt-1<-т 1
^=1 г=1 х€ п
а ^(П) — объем области П, то:
1) х& quot- = хп (?) — взаимно-однозначное преобразование П на П, обратное преобразование? = ?(х& quot-) принадлежит классу С1-
2) |хп| & lt- е6Т^(т) [[V0]] -
3) М|2 & lt- 2(1 + т2-?)т/тИх& quot-)]]2-
4)
5)
& lt- 2(1 + Т& quot-) 7 ||У (х& quot-
д V& quot-
— & lt- 2^(т) [[V0]]-
-1| & lt- Т
2-?
Доказательство. (по индукции). Для п = 0 утверждения леммы очевидны, кроме п. 3 и 5. Приведенное ниже их доказательство по индукции верно (безусловно) и для п = 0. Пусть теперь п. 1−5 верны для п & lt- к — 1, докажем их справедливость для п = к.
Для п. 1 достаточно показать, что х? = х?(х?-1) есть взаимно-однозначное отображение П на П. Сначала докажем & quot-от противного& quot-, что х? = х?(х?-1) — это взаимнооднозначное отображение П на свою область значений П?.
Пусть Т & lt- ---чгг т1 и х?-1 = х?-1, а
* & quot- 12^ (m)[[v0]] 1 ^ 2 '-
х1−1 + т vfc-1(x1) = х?-1 + ^^(х?-1),
|х?-1 — х2−1| = т^(х?-1) — vfc-1(xk-1)| & lt-
& lt- 6^(т)[И]т|х?-1 — х?-1| & lt- 1 |х?-1 — х?-1| & lt- |х?-1 — х?-1|.
Противоречие. Теперь покажем, что П С П. Пусть х?-1 € П. Обозначим расстояние от х?-1 до дП — 8. Поскольку vfc-1|дП = 0, то vfc-1(xkг-1) & lt- 6^(т)[^0]]8. Тогда расстояние,
пройденное этой частицей за время т, меньше либо равно 6^(т)[^0]]т8 & lt-8, следовательно, х1 € П для любого х?, что и требовалось доказать.
Далее, поскольку vfc-1|дП = 0, преобразование х? = х?(х?-1) переводит границу области П в себя, т. е. дП € П?. Осталось показать, что Ух € П дП уравнение
х = х + Т Vfc-1(x) (8)
разрешимо в П. Преобразуем уравнение (8) к виду
У = - ^-1(у + х) = & lt-р (у). (9)
Обозначим 8 расстояние от х до дП. Нетрудно видеть, что при т & lt- -: — ^(у)
12^ (m)[[v0]]
отображает шар В (0, 8) в себя и является сжимающим отображением. Следовательно, по теореме о неподвижной точке уравнение (9) имеет единственную неподвижную точку в В (0,8). А следовательно, уравнение (8) имеет корень в П. Таким образом, П С П?. А значит, П? = П. Так как якобиан 1 всюду отличен от 0, по теореме об обратном отображении х?-1 = х?-1^?) принадлежит классу С1 в окрестности каждой точки из П.
Для п. 2 оценим |хк |. Тогда
хк = хк-1 + Т vk-1(хк-1).
|хк| & lt- |хк-1| + 3Тптах |^-1| • |х?к-1| & lt- |х*-4(1 + 6^(m)[[v0]]т) & lt-
Для п. 3 докажем, что
& lt- (1 + 6^(т)[И]т)к & lt- е6Т№
!М|2 & lt- 2(1 + т2-?)Т/т[[v (xk)]]2.
(10)
Поскольку v принадлежит конечномерному пространству Ут, имеет место неравенство
акт|М|& lt- [[v (xk)]] & lt- вkm||v||,
где
N
а
кт
Ет^ Лга^(хк& amp-))
??=1 ,=1 ^=1
1=1
½
½
т?
М^ХП г=1
5& gt-а*(хк (е)) йе _ е
/ т 2 N / т 2
где Ек = Д Е Лга^(хк (е)) йе _ Е т,? Лга*(хк& amp-)).
П г=1 / ,=1 г=1 /
Т/т
По предположению индукции Зк & lt- (1 + т2-?), тогда
т «/ т 2 «/ т
ЕЛ.2 = / Е^(х) йх = / ]& gt->-а*(хк (е)) З0кйе & lt-
г=1
, г=1
л=1
& lt- (1 + Т2-Г / (Е^х& quot-(е))) йе
. г=1
и, следовательно,
ЕЛ2
$& gt-а<-(х*(е))) йе & gt- г=1
л=1
(1 + Т2-?)

Оценим сверху Ек:
|Ек |
N
Е
,=1
]& gt->-а*(хк (е)) _? Лга*(хк& amp-))
. г=1
. г=1
йе
N «т
(11)
ЛгЛг[а*(хк (е)) (а1 (хк (е)) _ аг (хк& amp-))) + а1 (хк& amp-)) (а*(хк (е)) _ а*(хк& amp-)))№
,=11 ^& gt-1=1
& lt-
т
2
1
2
т
2
2
т
т
м
& lt- max |аг (х)| шax |а!| ¦ й У^ |ЛДг| ¦ 2 У 1 ¦ йх & lt-
0& lt- Кт. 0& lt- г& lt-т. ?
, = 1
а (х) шах а, —
0& lt-1<-т 0& lt-г<-т
х? П г, 1=1
т
& lt- 6я (П)т шах |аг (х)| шах |а! ,(х)| ¦ Л2 & lt-
_ 0& lt-г<-т '- 4 /10& lt-г<-т Х 4 П ?-^ г~
х? П хЕП 1=1
т
& lt-
6. е6^(т)[[у0]]тй^(П)М^(т) ^ Л2
г=1
Положив
й& lt-
24 ¦ е6Т^(т)[П]т^,(П)М^(т):
получим
ЕЛ?
? I ^ г=1
Е | & lt-
& lt-
ЕЛ. 2
г=1
Теперь оценим снизу а


а=
Е А? = 1
?=1
4 -2(1 + т2-?)т/Т'-
^Л^х?(?)) й? — Е
½
& gt-
г=1
(
& gt- т?
т
Е А|=1
?=1
ЕЛ. 2
г=1
ЕЛ2
г=1

½

(1 + т 2-?)т/т 2(1 + Т 2-?)т/Т 1
^(1 + Т 2-?)т/2Т'-
Отсюда непосредственно следует (10). Для п. 4
д v2
дж,
Ел?

г=0
тт 2
г=0 г=0
Поскольку Т1? & lt- то и
т
Для п. 5
дж,
& lt-? (Л?)2? «)2 & lt-|И|22(т) & lt-
2-?АТ/т ГГ,, 0112
(т) 1 + Т
& lt- 42(m)[[v0]]2.
& lt- 22(т) (1 + т2-?)Т/т (х?)]]2 & lt- 22(т) (1 + т2-?)Т/т [[¦ дv2 2
1п 2
v

дх?+1
д х?
ду? ду? 1 + т^ т- 1
дж1 дж2
ду? джз
Т
Т
д2 дж1 ду?
джт
1 + т
ду? дж2
ду? ду? дж2 дж3
1 + т
ду? джз
(12)
(13)
т
1
2
т
т
2
2
т
1 + Р1 (дЖг) т2 + ^ (дХт) т3 & lt- 1 + (242(т)[И]2т? + 48Е3(т)[^0]]3т1+?) т2& quot-?
Вместе с тем & gt- 1 — (24Е2(т)Н]]2т? + 48Е3(m)[[v0]]3т1+?) т2-?. Положив
Т? & lt- ---, гг и Т & lt-
32Е2(т)[И]2 6Е (m)[[v0]]
получим
(24Е2(т)[И]2т? + 48Е3(т)[И]3т1+?) & lt- 1, и тем самым | ЦП+1 — 1| & lt- т2-?. ?
Следствие 1. В условиях леммы 1 — 1| & lt- 2Тт1-?. Доказательство. Докажем, что & lt- 1 + 2Тт1-?.
& lt- (1 + Т2-?)Т = (1 + Т2-?)Тт 1-? & lt- еТт 1-? & lt- 1 + 2Тт1-?.
Аналогично доказывается, что & gt- 1 — 2Тт1-?. ?
При доказательстве сходимости численной схемы нам понадобится ряд неравенств, связывающих различные нормы функций из пространства Ут. Введем скалярное произведение в лагранжевых координатах (,:
(а (хп), Ь (х»))с = / а (х& quot-(?))Ь (хп (?))й?.
п
Соответственно, ||а||^ = (а, а)^.
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то и Vv € в П справедливы
неравенства:
1) К |& lt- Е (m)||v||-
2) |vx?xJ. |<- Е1(т)|М|-
3) |v| ^VmM|М|-
4) ||v|| & lt- 2Их»)]]-
5)^|^(хга)||? & lt- ||v|| & lt- ^(хп)||?,
где Е (т), Е^т), М те же, что и в лемме 1.
Доказательство. Первые три неравенства очевидны. Четвертое — непосредственное следствие леммы 1. Пятое — доказывается так:
И|2 = / Ц& gt-(хп)|2й? & lt- (1 + 2Тт 1-?)Нхга)|Ц & lt- 2||v (xn)|||,
l|v||2 = / Ц& gt-(хп)|2й? & gt- (1 — 2Тт1-?) ¦ Нхга)|Ц & gt- 1 |^(хга)|Ц.
?
3. Сходимость численной схемы.
Теорема 1. Пусть и (х,?) есть обобщенное решение задачи (1), (2) и функции а*(х) образуют базис в Н (П) и в Ь4(П), ортонормированный в Ь2(П). Если функции а* € С2(П) и нормы ||и"|| и ||иХ|| равномерно ограничены и, кроме того, функция и (х, ?) такова, что ее ряд Фурье сходится в Н (П) равномерно по? € [0,Т], то последовательность приближенных решений V сходится к и при т ^ 0, т ^ то, ^ ^ 0 и следующих ограничениях:
1
тГ (т) ^ 0, ттМ2Г (т) ^ 0, тГ4(т) & lt-
1024[И]4-
где
(т) + Г2(т)) • е6Т^(т)[^ ^ 0, ?¦е-& lt-"-'-НК11. тд№(т) & lt- ,
3 т
Г ^НЕЕ^ а*)2(х),
М = тах 1а1 (х)|,
0& lt-1<-т хбП
т3
?(т) = Е Е)2(
г=1
а ^(П) — объем области П.
Доказательство. Легко видеть, что при выполнении условий теоремы выполнены также условия леммы 1 с е = ½.
Обозначим и (т)(х,?) отрезок ряда Фурье функции и (х,?) по системе {а*(х)}т=1:
тт
(т)
и (т)(х,?) = ^(и (х,?), аг) аг = ^ сг (?)а Для и (т) справедливы равенства
= 2^с
г=1 г=1
ди (т)
'- I V * '- Х& amp- У '- V Хг '- х
м — Цт) и (т), аМ + V (иМ аХ^ = 1т1, (14)
где
1 т = -V К — иХт), аХ^ + (и*и — и*т)и (т), & lt-
Для дальнейших преобразований необходимо, чтобы в (14) скалярные произведения были теми же, что и в численной схеме, а именно дискретными. Перепишем уравнение (14) в следующем виде:
((^Т (хга+1,?га+1), а1 (х-1))) — ([4т)и (т)]Г+1), & lt-) +
+v ((иХт) (хп+1,?п+1), аХг (хп+1))) = тт + ст+от, (15)
где /Щ = /ш (*п+1),
/~т
д и (ш) д*
(х"+1,^п+1), а! (хп+1)) —
д и (ш)
(х,*п+1), аг (х)) +
д*
(и (шш)(хп+1,*п+1), & lt-(хп+1))? — V (иХШ)(х,*п+1), а^(х))
а
ди (ш) \ /д и (ш)
п = '- '- ди (хп+1,*п+1), аг (хп+1))) — (хп+1,Г+1), а!(хп+1)) +
ш!
д*
д*
«
(иХШ) (хп+1,Г+1), & lt- (хп+1))) — V (иХШ)(хп+1,*п+1), & lt- (хп+1))?.
Обозначим wn (x) = vn (x) — и (ш)(х,*п). Вычтем из (6) уравнение (15), результат умножим на Л& quot-+1 — Сг (*п+1) и просуммируем по I от 1 до т. В итоге получим
wn+1 (хп+1) — wn (xn)
wn+1(xn+1
(хп+1))) + V (К+Чх1), wn+1(,
. п+1
_ сп — Пп + Гп ш — ш — ш ш
(16)
где
ГШ = ((и (ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — ([икш)и (ш)](*п+1), wn+1)

и (ш)(хп+1,*п+1) — и (ш)(хп,*п)
Т
^п+1(хп+1)
/Щ получится, если в /Щ вместо а! взять wn+1. То же с СЩ и фЩ.
Используя тождество 2((а — Ь, а)) = [[а]]2 — [[Ь]]2 + [[а — Ь]]2, получим

Т — [КГ + [^ - ^ ]Г + 2vт [[wn+1]]2 — 2т/п — 2тСЩ — 2тдщ + 2ТГ
гп т& quot-
(17)
?
Теперь мы покажем, что все члены в правой части последнего уравнения стремятся к нулю быстрее, чем т. Член мал, поскольку при достаточно больших т мала разница между функцией и отрезком ее ряда Фурье. Остаток С Щ мал, поскольку якобиан преобразования |дхп+1/д?| мало отличается от 1. Значение мало вследствие малости, а г& quot- мал, так как мала разность между точным и приближенным значениями материальной производной. Приведем соответствующие оценки.
Оценка /П приведена в [4]:
|/П| & lt- V||wn+1|| ¦ ||и (Г+1) — и (ш)(Г+1)||я + |К+1||х
/3 2 ½
^? У — и (ш)"ш)) & lt- V||wn+1|| ¦ ||и (*п+1) — и (ш)(*п+1)||я+
+ |К+1||(6
3 Г ½
? / и^х
_^=0 У
3 г ^ (
г=0 ?
и, — - и
(тК4

½
+
+6
г=0 ^
(и5т))4^х
½
У^ / (и — И (т))4?х
У=0 П
½
½
& lt-
& lt- С1 II • 1|и (?га+1) — и (т)(?га+1)||я.
Используя неравенство Юнга при е
V
16 С1
получим
|2т/т| & lt- ^ |К+1||2 + т1||и (?п+1) — и (т)(?п+1)||Н & lt-
16С2
1 т I — 16 11 ^Х
VT
16 С12
& lt- -г[К+1]]2 + т-1ИО — и (т)(Г+1)||Н.
V
Оценка Ст:
2т|ст| & lt- 2т
(и (т)(хп+1,Г+1), —и (т)(х,?га+1), wn+1(x))
+
+2vт
Первое слагаемое
(иХтт)(хп+1,?п+1), wn+1(xn+1^. — (иХтт)(х,?п+1), wn+1(x))

(и (т)(хп+1, Г+1), wn+1(xn+1)) — (и (т)(х, Г+1), wn+1(x))

и (т)(хп+1,?п+1), (1 — ^^^(х1)) ^
& lt-
& lt- 4Тт3/21|и (т) (хга+1, ?га+1) ||^ • |^п+1(хп+1)||? & lt- & lt- 16Тт3/21|и (т) 1) || • [К+1(хга+1)]] & lt-
& lt- 4[К+? + С2Т2т2||и (т)(?п+1)||2.
Второе слагаемое
2vт
(иХтт)(хп+1,?п+1), wn+1(xn+1)). — (иХтт)(х,?п+1), wn+1(x))
В итоге
2vт
(иХт1,^1), (1 — ^^(х1)) & lt- 4vTт3/2||uХm)(xn+1,Г+1)||i • |К+1(хга+1)||? & lt- & lt- ^Тт3/2||иХт)(Г+1)|| • [К+1 (хга+1)]] & lt-
& lt-
& lt- X[К+1]]2 + CзvT2т2||иХт)(?п+1)||2.
Х 2
2 т |ст|& lt- 4[^п+1]]2 + ^ [К+1]]2 +
+С2Т 2 т 2||и (т) (?га+1) ||2 + CзvT 2 т 2||иХт)(?п+1)||2.
Оценка д
п: ш:
2т|дш| & lt- 2т
+2vт
и (ш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (и (ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)
+
((иХш)(хп+1,Г+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
Для а, Ь? УЩ оценим разность:
(а (хп), Ь (хп))г — ((а (хп), Ь (хп)))
N
? / [ап (хп (?))Ьп (хп (?)) — ап (хп (?к))Ьп (хп (?к))] ??
к=1

N
Е
к=1
ап (хп (?)) [Ьп (хп (?)) — Ьп (хп (?к))] + Ьп (хп (?к)) [ап (хп (?)) — ап (хп (?к))] ??

& lt-
& lt-
3шах |ЬЖг | ¦ |х& quot-М / |а (хп (?))|^? + 3шах |аЖг | ¦ |Ь (хп (?к)Ж & lt-
г, У '- / г, У & amp-
к=1
& lt- 3шах |ЬЖг| ¦ |хП|^л/^^||а (хп)||? + 3шах |аЖг| ¦ ^М^/ЙШ^х& quot-)]]. (19)
г, У г, а
Из (19) следует оценка первого слагаемого в выражении для ф
п ш

и (ш)(хп+1 ,^п+1), wn+1(xn+1))) — (и (ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)
& lt- 6тшах ¦ |хП+1|^^^(П)||и (ш)(хп+1)||?+
+6тплах |и (Щ) | ¦ ?хП+^^МК+Чх1)]] & lt-
& lt- 12^2т^(т) ¦ е6Т^(ш)iiv0]]^v/^(^У[[wn+1]] ¦ ||и (ш)|| + +6т^(т)||и (ш)|| ¦ е6Т^ш)[[^^Л/МП)[К+1 (хп+1)]] & lt- & lt- 4[К+1]]2 + 288т2(т) ¦ е12№(ш)[[^2М^) ¦ ||и (ш)||2+
& lt-
^[^Ч]2 + 36т2(т) ¦ е12Т^(ш)[^° ||и (ш)||2.
Второе слагаемое
2vт
((иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
& lt-
& lt- 18vтшах ^| ¦ |хП+1|^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+

+ 18*г шах |и (Ш). | ¦ [хП+^х/МЩНП+^х& quot-"-)]] & lt- & lt- ^т^М^^Н ¦ е6Т^(ш)[[& quot-0]1^Л/^(^)||иХш)(хп+1)||?+
е
п
е
е
+тГ (т)||и (т)|| • е6Т^(т)[[^л/МЩК+1(хп)]] & lt-
& lt- ]]2 + C5V2тF12(m) • е12Т^(т)^0& quot-^(П) • ||иХт)||2
+
+^[К+1]]2 + C6VтF12(m) • е12Т^(т)[[^2МП)||и (т)||2.
Возвращаясь к От, получим
2 т |от|& lt- 3 т [^+1]]2 + ^ [^п+1]]2 +
+С4тГ2(т) • е1г№(т)[[^^(П) • ||и (т)||2 + +C5V2тF12(m) • е12Т№(т)^2^(П) • ||иХт)||2 + +C6VтF12(т) • е12Т^(т)^2МП)||и (т)||2.
(20)
Оценка г
п:
т:
и (т)(хп+1,?п+1), wn+1(xn+1
— ([и (т)и (т)КГ+1), wn+1)


и (т)(хп+1,?п+1) — и (т)(хп,?п)
т
^п+1(хп+1)
где
и (т)(хп+1 /"+1) _ и (т)(хп /П), N
^^-^ и (х) = и ((хп+1,*п+1) + vп (хп)иХ?т)(хп+1,?п+1
рт = П0, пт + vn (xn)n!'-nm + vn (xn)vn (xn)n2: Гm-
п т,
3 () 3 |п0'-пт|2 =? (п0,пт)2 & lt-? т ах (иСт)(х,
г=1. сп
г=1
ЙТ & lt- Е т1ах+1 (х,?)) —
г=1 хбП
Таким образом,
|П2ПТ & lt-? тах № (х,*))
г=1. сп
хСП
2т|тт|& lt- 2т2 |(«, wn+1))| +
+2т
(^П (хп)иХтт)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1))) + ([и (т)и (т)](*п+1), wnfc+1) «^Х?)(хп+1,*п+1), wn+1)) — ^пиХт)(хп+1,Г+1), wn+1)
& lt-

+
+2т +2т +2т
((vn — vn+l)uХmm)(хп+1,*п+1), wn+l)
vn+1uХm), wn+1)? — ^п+1иХт), wn+1
+ +
vn+1u (m), wn+1
к Хк 1
) + ([4т)и (т)](*п+1), wn+l)
+
п
т
т
а
2
3
3
2
+2т2 К (рЩ, wn+1)) |.
Первое слагаемое

((^п (хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))) — (^п (хп)иХ?ш)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1)) & lt- 6тптах ^П+Ч ¦ |хП+1|Л |& lt-и (ш)К+
& lt-
+6т
пах (|vn| ¦ ищ» ^|хп+1|+ппах (|v^ | ¦ |ихщ¦ ^
?л/МЛ)^11)]] & lt-
& lt- 6т^(m)||wn+1|| ¦ е6Т^(ш)[[& quot-°]ЦК||е ¦ ||иХш)||е+ тМЛ (т) + ^2(т)) ||vn|| ¦ ||и (ш)|| ¦ е6Т^^^^МЩ1^1)]] & lt-
& lt- Т[[wn+1]]2 + С7Т2(т)^2 ¦ е12Т^(ш)^0]][[vn]]2 ¦ ||и?ш)||2+
+ 4[^п+1]]2 + С8т (^М*(т) + ^2(т))2 ¦ е12Т^(ш)[[^2^)[И]2 ¦ ||и (ш)||2 Второе слагаемое
^& quot-(хп) — ^п+1(хп+1))иХщ)(хп+1,*п+1), wn+1(xn+1))
& lt-
& lt- 2 т шах |wn+1| ¦ / (^п+1 — ^п)иХщ)
п
, п+1|| 11 п+1 п
& lt-
& lt- 2т^М||wn+1|| ¦ - v
Третье слагаемое
||е ¦ ||иХш)||е & lt- Т[[wn+1]]2 + с9т[[vn+1 — vn]]2 ¦ ||и (ш)||2

(^п+1(хп+1)иХщ)(хп+1 ,*п+1), wn+1(xn+1)) е — (^п+1иХ?ш)(*п+1), wn+1)

([^П+1иХШШ)](хп+1,*п+1), (^ - ^^(х1))
& lt-
& lt- 4Тт3/2 щах |wn+1 (х)^ К+ЧЩ^х^Г^М & lt-
П
& lt- 4Тт3/2^М||wn+1|| ¦ Н+^х1)^ ¦ ||и?ш)(хп+1,*п+1)||е & lt-
41
Четвертое слагаемое 2т
= 2т
& lt- т[[wn+1]]2 + СютМ22^1]]2 ¦ ||иХш)(*п+1)||2.
V п+1иХ?Ш), wn+1
) + ([и (ш)и (ш)](*п+1), wn+1) (^и (ш), wn+1) — ([и (ш)и (ш)](*п+1), wn+1)
2 т | (шП+1и (ш)(*п+1), wnfc+1) | & lt- 2т||wn+1||
^п+1и (ШМ ?х
г, к=0
½
& lt-
е
е
е
е
& lt- 2т|K+1|H|wn+1|k (n) ¦ ||u (m)(Г+1|к (п) & lt- & lt- 16 ¦ 3−3/2т ¦ ||u (m)(ira+1||L4(Q) ¦ ||w?+1|| ¦ ||wn+1||¾ ¦ ||wn+1||¼ & lt-
& lt- 64 ¦ 3−3/2т ¦ ||u (m)(tn+1||L4(n) ¦ [[w1]] + ^[[wn+1]]
Выбрав
33/8 • v¾
8||u (m)(tn+1||L/44(0)
получим
12 т (& lt-+1u (m)(r+1), wnfc+1)| & lt- -т[[wn+1]]2 + Ct||u (m)(in+1||4L4(Q)[[wn+1]] ¦ [[wn+1 ]] & lt-
& lt- VT [[wn+1]]2 + -T [[wn+1]]2 + C2||u (m)(tn+1||444(Q)T [[wn+1]]2.
VT
'-x JJ LLW x JJ ^^ IIй'- Ч1- 1144(0)
Пятое слагаемое
|2T2((pm, wn+1))| & lt- 2t2|((n°'-ram, wn+1))| + +2T2|((vnnk'-nm, wn+1))| + 2t 2|(vnv™n2-nm, wn+1)? |-
2t2|((n°'-nm, wn+1))| & lt- 6t3[[n°'-nm]]2 + T[[wn+1]]2 & lt-
6
& lt- 6т3^)Е max (u^x,*)) + 6[[wn+1]]2, t€[in, in+11 & quot- /6 i=1 xen
2t2|((vnnk, nm, wn+1))|& lt- 2T2

E max+. (4:k м) ¦ [[vn]] ¦ [[wn+1]] & lt-
k& gt-i=1 xen
& lt- 6т3? max (u^ (x, t))2[[vn]]2 + 6[[wn+1 ]]2, te[tn, tn+1^ k / 6
k& gt-i=1 xen
2т2|((«ПГ, wn+1))| & lt-
& lt- 6t2 max |vn|
x€ 0
n 12 |
3 2 _
E Klmx+, l «Xk & lt-
i, j, fc=1 xen
& lt- 6[[wn+1]]2 + 36т3т2М4? max («С™Xk (x, t)) [[vn]]4.
6 te[tn, tn+1^ XjXk /
i, j, fc=1 xen
xe n
Таким образом,
3 2
|2t2((p:, wn+1))| & lt- 2[[wn+1]]2 + 6т3^) J] max («tW)) +
i=1 xen
3 2 3 2 +6т3V max (u (:) (x, t))[[vn]]2 + 36т3m2M4V max (x, t)) [[vn]]4.
^ te[t& quot-, t"-+i| V H) ky V LL JJ te[t& quot-, t"-+i| V lxixky V LL JJ
k& gt-i=1 xen i, j, k=1 xen
3
3
Подставив полученные оценки в (17) и просуммировав по п от 0 до I — 1, получим г- / 5 г- 13
М]2 +? [[wn+1 — wn]]2 & lt- - + С2 тах ^(?^(п)? т[[wn+1 ]]2 +? Я*, (21)
п=0 ^ [ '- п=0 ^=1
где
1−1 1 6С 2
= ^ Т^||и (*п+1) — и (ш)(*п+1)||Н,
п=0
I-1
я2 = С2Т 2 Т ||и (ш)(*
2Т2 ||и (ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
?3 = С^Т2Т2 V ||иХш)(*п+1)||2
Я3 = CзvT2Т^ ||иХш) (*
п=0
г-1
Д4 = С42(т) ¦ е12№(ш)[[^]т||и (ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
Я5 = С5V22(т) ¦ е12№(ш)[[^2М^) ?Т||иХш)(*п+1)||2
п=0
г-1
Д6 = С62(т) ¦ е12№(ш)[[^2^) ?т||и (ш)(*п+1)||2,
п=0
г-1
Яг7 = Сг2(т) ¦ е12№(ш)[[^2? Т[К]]2 ¦ ||иХш)(Г+^И2
п=0
г-1
Я8 = С^^М^(т) + ^2(т))2 ¦ е12Т^(ш)[[^2^)? Т[^п]]2 ¦ ||и (ш)(*п+1)||2
п=0
г-1
= свт? [[vn+1 — vn]]2 ¦||иХш)(*п+1)||2,
п=0
г-1
Я!0 = СютМ2Т2Т2 [[vn+1]]2 ¦ ||и?ш)(*п+1)||2
п=0
3 2
Я1п = 6Тт2МП)? пах (и& lt-Щ) (х,*)) ,
г=1 хЕП
3 () 2 г-1
^ = 6Т2?ц (и'-Ш'-к М))? Т[К'-]]2,
к, г=1 хЕп п=0
3 () 2 г-1
Я13 = 36т2т2М4 V пах Ги (ш) (х,*)) V т[И]4.
13 ^ ге [4& quot-, 4"-+1 ] V ^ / ^
г,^, к=1 хЕП п=0
Следуя [4], обозначим через Рт оператор проектирования, ставящий в соответствие любой функции & lt-^(х) отрезок ряда Фурье по системе ак (х), а именно
т
= ^ (р, а*)а
?=1
Легко видеть, что Рт являются ограниченными операторами в пространствах Н (П) и ?4(П). С другой стороны, они сходятся к единичному оператору на любом из элементов этих пространств. Поэтому в силу теоремы Банаха — Штейнгауза их нормы в обоих пространствах будут ограничены в совокупности: ||Рт||н (п) & lt- С11 и ||Рт||ь4(п) & lt- с12. Это дает для и (т)(х,?) оценки
||и (т)(х,?)||Я (п) = ||Рти||н (п) & lt- Сп||и (х,*)||Н (п) — (22)
||и (т)(х,^)||Ь4(п) & lt- С12||и (М)||Ь4(п). (23)
3
Так как для обобщенного решения и (х, ?) норма в Н и интегралы [ ^ и4(х,?)^х рав-
п ?=1
номерно ограничены при? ? [0, Т], из (22), (23) следует, что равномерно ограничены
3
||и (т)(х,?)||Н (п) и интегралы /Е и (т)(х,?)
п ?=1 1
Теперь, отбросив второе и третье слагаемое левой части (21) и учитывая, что [^0]] = 0, получим неравенство, из которого известным образом (разностный аналог леммы Грону-олла) выводится оценка
12
М2 & lt- С1з? Я (24)
.7 = 1
4
?х.
с постоянной С13, зависящей лишь от Т. Остается показать, что ^ Я. ^ 0 при т ^ 0,
13. =1
^ 0 и т ^ то.
Поскольку по условию теоремы при т ^ то и (т)(х, ?) сходятся к и (х, ?) в норме Н (П)
равномерно по? ? [0,Т],
1−1
Я = ^ т||и (Г+1) — и (т)(?г+1)||Н ^ 0, при т ^ то.
?=0
Норма
и (т)(хг+1, ?г+1) & lt- ||и4(Г+1)||2, а ||и4|| ограничена константой, не зависящей от следовательно, Я2 ^ 0 при т ^ 0.
Согласно (22), ||и?т)(?га+1)||2 & lt- С2||иж (?га+1)||2. Норма ||их|| равномерно ограничена, следовательно, Я3 ^ 0, при т ^ 0. Далее
Я4 ^ 0 при Г2(т) ¦ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я5 ^ 0 при Г2(т) ¦ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0, Я6 ^ 0 при Г2(т) ¦ е12Т^(т)[[-0]]^2 ^ 0.
Поскольку [[vn]] & lt- [[v0]], а ||uXm)(tra+1)||, как уже было отмечено ранее, равномерно ограничена, Л7 ^ 0 при F2 (m) ¦ e12TF (m)[[v°]]d2 ^ 0. Аналогично
R ^ 0 при (V™MFi (m) + F2(m))2 ¦ e12TF (m)[[v°]]d2 ^ 0. i-i
Как следует из (7),? [[vn+1 — vn]]2 & lt- [[v0]]2. А значит, R ^ 0 при т ^ 0.
n=0
Далее
R10 ^ 0 при ттМ2 ^ 0, R11 ^ 0 при т2mM2 ^ 0,
поскольку
max fu,(m)(x, i^ & lt- mM2 max Hu^H2 & lt- mM2 max ||uJ|2-
ie[0,T] V ш У '-7 & quot- ie[0,T]M 11 — ie[0,T] 11 11 '-
хбП
R12 ^ 0 при т2 F2 (m) ^ 0, так как
max (V (m) (x, t))2 & lt- F2(m) max ||u (m) ||2 & lt- F2(m) max ||ut||2. te[0,T] V itxfc / & quot- ie[0,T^M 1 11 _ V ie[0,T] 11 m
xEfi
Аналогично R13 ^ 0 при т2m2M4F2(m) ^ 0.
Из вышеизложенного следует, что при выполнении условий теоремы все будут стремиться к нулю. Тем самым мы получим равномерное по t стремление к нулю нормы [[wn+1]], в силу леммы 2 стремление к нулю нормы ||wn+1||. Теорема доказана. ?
В заключение отметим, что сформулированные в теореме ограничения на шаг т представляются излишне жесткими. Практика численных расчетов показывает, что из соображений точности шаг т должен быть порядка 1/m. Пока такой результат получить не удается в силу отсутствия равномерной оценки на производные решений. Тем не менее мы надеемся в дальнейшем существенно ослабить достаточные условия сходимости, а также обобщить этот результат на случай неортогональных базисных функций, которые используются в реальных расчетах.
Список литературы
[1] Франк А. М., Огородников Е. И. Метод частиц для несжимаемой жидкости // Докл. РАН. 1992. Т. 326, № 6. С. 958−962.
[2] Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001.
[3] FRANK A.M. 3D numerical simulation of regular structure formation in a locally heated falling film // Europ. J. Mech. B/Fluids. 2003. Vol. 22. P. 445−471.
[4] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1961.
Поступила в редакцию 30 октября 2003 г., в переработанном виде -15 декабря 2003 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой