О слабом вязком взаимодействии на пластине с изломом передней кромки

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том V 197 4
№ 1
УДК 532. 526. 011. 55. 011. 7
О СЛАБОМ ВЯЗКОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ НА ПЛАСТИНЕ С ИЗЛОМОМ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКИ
В. В. Михайлов
Изучается ламинарное течение совершенного газа в гиперзву-ковом пограничном слое около плоской пластины, имеющей- излом острой передней кромки. Предполагается, что угол атаки и степень вязкого взаимодействия малы, а в каждом продольном сечении внешний невязкий поток можно считать плоским. Для указанного режима течения найдено асимптотическое решение, позволяющее учесть влияние излома кромки на давление, трение и теплопередачу. При этом показано, что в отличие от режима слабого вязкого взаимодействия на пластине [1−3] возмущения распространяются через весь пограничный слой, хотя область их влияния относительно мала.
1. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с точкой излома острой передней кромки плоской пластины, а оси х, z лежат на поверхности пластины так, что ось z перпендикулярна скорости набегающего потока и" (фиг. 1).
Введем обозначения: иих, vu,*, wu- составляющие скорости вдоль осей х, у, z соответственно- /7роо"^ - давление- рроо — плотность- hula — энтальпия- - коэффициент динамической вязкости- роо — плотность невозмущенного потока- Но — коэффициент вязкости при температуре адиабатического торможения- Моо- число М набегающего потока- а-угол атаки- х-показатель адиабаты- Рг — число Пранд-тля-
є = (х — 1)/(2х) —
Яо х ~ (роо «со Х)ІР0,
Н = h -f-½ (и2 + ®& gt-2).
Все линейные размеры отнесем к характерной «вязкой длине» ji0/(poo Иоо), индексами w и, а обозначим соответственно значения параметров на поверхности пластины и в течении, рассчитанном без учета влияния пограничного слоя.
В принятых обозначениях уравнения ламинарного пограничного слоя имеют вид '-
ди, ди, ди
u-rx + 'v^ + w^='-
dp
дх
+
dw, dw, dw U1TX + Viry + Wte =
J__^? i.
P dz '-
1 д I du _ «p» dy ~dy) '-
d I dw '- Sy ~dy) '
ll
dH
дх
дН, дН v-^ + w
+
1
дри. dpv. дх ду '-
1 —
др w
1
Рг
дг
1 д Р
_ 1 1 д / Рг р ду
дН
ду
p^(u2 + W2
& gt-] =
dz
п. Р 1 и ы м2+^2
: 0' Т2Г=А Н---------2-¦
0)
Будем считать зависимость вязкости от температуры линейной. Кроме этого отбросим члены порядка 1/М?& gt-.
Тогда при температуре адиабатического торможения значение //=½ и, следовательно, ^ = р (ре)-1 = 2Л.
Введем вместо переменной у функцию тока ф, используя соотношение и + V -Ц- 4- V) -Ц- - 0. Переходя затем к переменной
дх
ду
s~V-yП0ЛУЧИМ
и
да
ди
ди
1 др
д2 и
дх + Q ~Ts + w 1Z +2вН т dF
ds
дН, ~дН, дН
aTx + Q-^ + w-^ =
дг
dz
1 d2 H Рг ds2
d2 w ds2 1
+ 4(1-w)S («2 + ®'2) —
du, dQ. dw
* * & quot-T~
______,___,____L^. + JL_L^ = o- v = 2l/- f Ads.
dx ^ ds ^ dz r 2 /& gt- d* 2 p dz ' Г p J
(2)
Здесь Q — некоторый аналог составляющей скорости v.
Введем дополнительно следующие предположения*:
а) число М во внешней невязкой зоне течения Мв^& gt-1 и поэтому h -& gt- 0 при s -«¦ оо-
б) вне пограничного слоя значения w и wz достаточно малы, и в каждом продольном сечении, z = const, внешнее течение можно считать плоским (см. теорию полос в работе [4]) —
в) приращение давления, индуцированное пограничным слоем, пропорционально частной производной по х от толщины вытеснения 8.
Из предположения «а» следует, что пограничный слой гиперзву-ковой, т. е. имеет четкую верхнюю границу, которую можно вычислить из соотношения
/- 00
8=2 y-Jhds. (3)
* Режимы течения, при которых указанные предположения выполняются, будут определены после полного решения задачи.
Предположения «а» и «б» приводят к следующим краевым условиям для уравнений (2)
и-& gt- 1, w, h^ 0 при s-& gt- оо- | ^
u = Q = w = 0, h — hw при s — О /
(или dhjds = 0 при s = 0 для теплоизолированной поверхности плас-
тины).
Согласно предположению «в» для расчета распределения давления имеем
+ К == const). (5)
Рассмотрим течение при z& gt-0, где тангенс угла стреловидности лередней кромки tg X = р (см. фиг. 1).
Введем вместо z и s новые переменные g и г согласно соотношениям
g=Z$/X, Г =Л& quot-,/2(1 — g)~V2S.
Обозначив соответствующие производные индексами снизу, приведем уравнения (2) вместе с соотношениями (4) к виду
(иих + 2 shpjp) x (-g)-}-Nur + (- g) [((c)р — gu) ug —
— 2ehgpgp = urr-
uwxx{ 1 — ?)4-Ме& gt-г + (1 — g)[{w$ - gu) wg + 2sh$pg/p=wrr-
uHxx (-g) + NHr + (-g)(w$-gu)Hg = (6)
= И-г/Рг + (и* + w*)rr (Pr — 1)1(2 Pr) —
[ux -f upj (2 p) x (1 — g) 4- Nr + (1 — g) [$wg — gug +
+ (®Э — gu) pgl (2 p) + И/2 — ®p/2 = 0.
Здесь N также некоторый аналог составляющей скорости v.
После указанной замены переменных из (3) и (5) получим
8 = 2 VP~l s*(l — g) j hdr —
о
pipа = 1 + 8* - («Со ¦*)» 1 & amp-V
(7)
Проведем дополнительное преобразование, исключающее из уравнений ра и т,. Для этого обозначим р°=р1ра, х° = ахох, 8° == ах о 8, а = (4зто)~1 ра.
После перехода к новым переменным вид уравнений (6) не изменится, а соотношения (7) преобразуются к виду
00
8° = V (Р°) -1x& lt->-{l-g) Мг, р°= 1+ 8°-(х°Г1 ?8°. (8)
о
В дальнейшем для получения решения будем использовать уравнения (6) и (8), опуская в последних верхний индекс 0.
2. Учитывая зависимость решения для бесконечной скользящей пластины от входящих в задачу независимых переменных, найдем решение уравнений (6) и (8) в области, достаточно удаленной от
передней кромки, в виде асимптотического разложения по степеням
И = и0(г) + ы, (г) + …, А = + 5^(г)+ |
Н = Н0(г) + НХ (г)--® = рМг) Е + …- (9& gt-
8 = 1 80 -4- …, р=--%рх--…)
Подставив разложения (9) в (6) и (8), исключив из полученных уравнений и введя обозначения & lt-р'- = & lt-р (. = и0, 0'- = 62 = Л0, ^ = ^1г» получим
+ ½ & lt-р"- & lt-р = 0- 6'-& quot- 4- ½ 0& quot- & lt-р Рг 4- & lt-Р"-2 Рг = 0-
*- 4- 1 /2 & lt--? + 1 /2 *, — ер, 0'- = 0- 80 = 0 (& lt-*>-)=2а-
«р = & lt-р'- = 0 = ^ = 0, 0'-= или 0& quot- = 0 при г = 0-
0'-, ^ -& gt-• 0, & lt-р'- -+ 1 при г-*оо.
(Ю& gt-
Полученные уравнения дают решение задачи обтекания стреловидной пластины и, естественно, неприменимы вблизи оси х, так как значения на справа и слева от этой оси существенно различны [согласно (9) их отношение равно — Р~/Р+, где р- и р+ - тангенсы углов стреловидности справа и слева от излома кромки].
Ввиду этого в некоторой относительно малой окрестности оси х (для малых значений ?) будем использовать другое асимптотическое разложение искомых функций, введя новый характерный поперечный размер gz = х114g = О (I).
При ?¦* -» оо необходимо обеспечить асимптотическое сращивание нового разложения с разложением (9). Поэтому, обозначив искомые функции звездочкой, запишем новое разложение в следующей форме, обеспечивающей наиболее удобный вид условий сращивания
и = и0 (г) 4- ри* (г, g^)X-¼ N = N0 (г)-I- рлг*(г, g^)X-V4 4-… -
к — Л0 (г) 4- р/г* (г, g^) х-1'-4 4-…, т = (г) л: -1'-2 +
+ Р** (г, g*)x-l|2 4- •••-
8 = 80 — р/2 80 хт + р. *¼/ к*йг 4-
0.
/7 = 1 +р1х-ч*+ 112№*Р1Х-314 + $р*^)х-314 + …
(П& gt-
При этом условия сращивания с (9) будут следующими: и*,
Л*, **,/& gt-*"*¦ 0 при ?*-«оо. Кроме этого на оси л: (^ = 0) необходимо выполнить условие сопряжения решений при % 0 и 2-& lt-0.
Обозначая эти решения, как и ранее, верхними индексами «4-» и «-для всех симметричных функций Д получим условие
р+/- = р-/: при *. =о. (12& gt-
Для антисимметричной функции Ь будем иметь
р+ (*, 4- *+) = - Р- & amp- 4- С) при г, = 0. (13)
Подставим разложения (11) в уравнения (6) и (8), исключим N¦1 и введем обозначения о/ = шг = и*, х'- *= хг = о'- = ог = А*. Тогда,
(14)
учитывая, что Л^=- ½?, и0 = ?'-, /г0 = 6'-, получим следующие уравнения ДЛЯ Определения фунКЦИЙ (О, о, х
«& quot-'-+½ ?о)& quot- -(¾ ¼ «& gt-) ср& quot-+¾ & lt-р'- +¼ ?'- ш'-=0-
/'Г10'-& quot- + ½ 90& quot- - (¾ & lt-0* - 1* - ¼ (О) 6& quot- + ¾ а± +
+ ¼?'-а'- + 2?& quot-ш"- = 0-
+ 1 /2 ?х& quot- + ¾ glt! ср'- х* + 1 /2 ?'- х'- - 2 еб'- = 0-
/& gt-*- ¼ о (оо, ?•*)-3/40^(00,^) —
ш = 0 = х = ш'- = х'- = 0, а'- ИЛИ а& quot- = 0 при г = 0- а)'-, а'-, х'- 0 при г-+ со.
3. Покажем, что однородная система уравнений (14) с нулевыми краевыми условиями имеет нетривиальные решения — собственные функции. Разложим функции ш, а, х в окрестности g% = оо в ряды вида
(r) = ®1^+®22+°& gt-а^_4 +• • •-
3 = °1 ^ + о*"А2 + … -
^ = ¦'-1 g'-г1 + '-Ч й*-3 + ¦*» ?-5+ • • • •
(15)
Из уравнений (14), ограничиваясь первыми членами рядов (3. 1), имеем
'-'- + ½ ?»)» +¼(3^ + 1)®'- % - ¼(ЗХ- 1)9//& lt-в1 = 0-
Рг-1 аГ + ½ 9& lt-+ ¼ (ЗХ 4−1) 9- 31 — ¼ (ЗХ — 1) 0& quot- ш, + 2& lt-р"- ш& quot- = 0-
х"'- + ½ & lt-рх"- 4- ¼ (ЗХ -(- 1)9'-х-+ ½еХ (ЗХ-1)0'-а1(оо) = О- (16) Ш1 «°1 = Т1 = Ш1 = 0, а| или а& quot- = 0 при г = 0.
'- '- '- /Л
ш1& gt- °1» X! -& gt- и при г-& gt-- оо.
Если существуют некоторые значения X, при которых первое из уравнений (16) имеет не равные тождественно нулю решения, то и решение последних двух уравнений должно дать о, и х*, не равные тождественно нулю. Если однородная часть второго уравнения имеет собственные функции, то и третье уравнение имеет решения X, ф-0.
Численные расчеты и анализ решений при Х^-оо показали, что однородные части двух последних уравнений не имеют отрицательных собственных значений X, а для первого уравнения существует лишь одно такое число, равное Х = - 0,304. Таким образом, можно ожидать, что система (14) также обладает однопараметрическим семейством собственных функций, стремящихся к нулю при ?*-& gt-оо.
4. Определим вид особенности уравнений (14) в точке ?* = 0.
Из соотношений (14) следует, что искомые функции при ?*^0 могут быть представлены суммой двух рядов вида
«= 2 й и и* в? *- 3 = 2 + ^/3 2
0 0 0 0
* = 2 ъ К + ё13 2х* в?~1 ' р*=^р1ё1, + 2 р* ??
Численные расчеты подтверждают указанный вид зависимости ю, а, х и р* от g* при gt •-& gt- 0.
Из (17) следует, что, если О, то0, p^g const.
Таким образом, решение уравнений (14) можно пронормировать так, чтобы при g# = 0 значение /7*^= - 9(оо)/4 = р½. Тогда, сравнивая третье уравнение (10) с уравнением для х, получим х'-= = - tt при g& quot-* = 0. Используем пронормированные указанным способом функции в), а, х, р для построения полного решения задачи.
Представим решение при z& gt- 0 как b+ F, а решение при 0 как b~ F, где под F будем подразумевать любую из нормированных функций со, о, т, р%. Тогда для множителей Ь+ и Ъ~ из условий сопряжения (12), (13) получим
Здесь (3= ½ф+ + р~). Из разложений (11) и соотношений (18) следует, что если допустить погрешность порядка х~¼ по сравнению с членами, определяющими влияние излома передней кромки, то с учетом (18) разложения (11) можно представить в следующем виде:
Индексом у здесь отмечены значения соответствующих параметров на стреловидной пластине [в разложении (11) эти параметры вычислялись с помощью метода полос]. В записанном решении для та знак выбирается совпадающим со знаком ИВ].
5. Найдем необходимые для полного решения задачи значения постоянных х0 и а, зависящие от Мо, и угла атаки а.
Применение для расчета распределения давления формулы (5) типа формулы Аккерета, строго говоря, справедливо в трех случаях: во-первых, когда все поле давления около крыла является слабовозмущенным, т. е. возможна линеаризация- во-вторых, когда рассматривается течение на той стороне крыла, где имеет место разрежение и отсутствует скачок уплотнения- в-третьих, когда 8^ является степенной функцией от ^ и учет возмущений, отраженных от скачка, согласно [5], сводится к домножению коэффициента в формуле Аккерета на некоторый постоянный множитель.
В рассматриваемом случае при К= Моо"& gt--0(1) на наветренной стороне пластины приближенный учет указанных возмущений может быть осуществлен, если принять, что функция 8^ близка к Ьх на скользящем крыле, т. е. пропорциональна х1/2. Как показывают оценки, при К = Моэ о, = оо (что соответствует наибольшему влиянию отраженных от скачка возмущений), погрешность в вычислении давления вблизи ?* = 0, где 8^- х~½ + сх~314, составляет величину порядка 10%. При -«оо относительная погрешность растет, однако сами величины искомых функций стремятся при этом к нулю.
Можно показать, что решение рассматриваемой задачи возможно и при корректном учете возмущений, отраженных от скачка
Ь+ = Р/Р+, *- = Р/Р& quot-
(18)
и = И/ + (& lt-ИЙ#о х)~Щ Р®'--
h — hj + (ах о R0x)~Vi р о'-- W = Wj + (ато R0 X)~V2 р х'-- р = pj + (axl R0 ,)~¾р/& gt-*.
(19)
уплотнения. Однако при этом теряется «универсальность& quot- решения, так как искомые поправки к решению для скользящего крыла становятся зависящими неявно от гиперзвукового параметра подобия К.
Применим решение Прандтля-Майера для определения параметров т и, а на подветренной стороне пластины. Имеем
а -----
1
х-! ^1»
(20& gt-
2(х-1)
где К- М^а.
На наветренной стороне пластины из уравнений косого скачка уплотнения с учетом отражений возмущений от скачка уплотнения
*с = ^+[(^К)Ч1]½-
Ра = { + х/ска (хМ*,)-1-
, _ 1-Хо^/2 1 [ Л, *-1 к2 У|~½'-
0 кЛ*(ъ+1) ^ 2 '-«Л
— К2
2 '-с
(21)
ОЛ
Входящие в (21) коэффициент отражения возмущений Х0 и параметр «частоты отражений& quot- & amp- приведены на фиг. 2, построенной по результатам работы [5]*. 9
Как уже отмечалось, при /(& gt-0(1) решение на наветренной стороне пластины не является строго асимптотическим. Однако при К0, когда Х0& amp--½-*0, это решение можно считать асимптотически точным.
6. Численное решение системы (14) ' & quot-
проводилось с помощью стандартной программы расчета системы параболических уравнений [6]. При этом функция 0,2 ¦ р*г находилась итерационным методом на каждом шаге интегрирования с помощью последнего уравнения системы (14).
Интегрирование начиналось от достаточно большого значения g^. Выход на решение, отличное от нуля, обеспечивался не с помощью разложения (15), а заданием некоторого «возмущения& quot- в нулевых краевых условиях задачи. Сравнение результатов расчета при различных вариантах начальных «возмущений* показало, что если начальное значение достаточно велико, то все интегральные кривые аффинно-подобны.
ОЛ
0 Ч


«
1 1 2 /? К
Фиг. 2
* Отметим, что в работе [5] в формуле для Х0(/С) и при построении соответствующей кривой допущены ошибки.
Поскольку ^*=0 является особой точкой системы, значения функций при — 0 (в частности, p%g) находились экстраполяцией
с использованием разложений (17).
При расчетах полагалось х = 1,4, Рг = 0,7. На фиг. 3−6 в зависимости от g% приведены величины
Р* = (ахо *)¾ & gt- Р**& gt-$ ?Р°- у
. =|?мя. ,)и.
/¦=о р/
с& quot-
0& quot-
г=0
(/-«?
у=о
м. дИ
/=о)
Графики построены для трех значений /гш = 0 — нулевая тем-
пература поверхности, /гш = 0,25 — температура поверхности равна половине температуры адиабати- '-
ческого торможения и = температура пластины соответствует равновесной температуре на
Л
Р*
0. 2

у*. г~
& lt-?'-4^
0. 2
0. 1
Ц5 1,0 дл Фиг. 3
9
А
у V *

0.5 1,0
Фиг. 4
поверхности пластины без излома кромки. На фиг. 3 и 4 показаны функция р% [соотношение (19)], определяющая приращение давления Ар за счет влияния излома кромки, и производная р^г Из данных фиг. 5 и 6 могут быть получены относительные изменения коэффициентов «продольного11 трения и теплопередачи (Д///, обусловленные влиянием излома кромки пластины.
Для расчета абсолютных приращений давления, трения и теплопередачи значения, а и т0 могут быть вычислены из соотношений (20) и (21), а при определении р необходимо учитывать, что для обратной стреловидности х& lt-0 и р =х0. Построенные на фиг. 3−6 функции симметричны относительно 2 = 0 и поэтому можно считать, что g^ = zx'-~1 R1Q|4X.
7. Выпишем асимптотические условия применимости рассмотренной схемы течения и сделаем некоторые общие выводы, следующие из полученного решения.
Применение краевых условий, соответствующих гиперзвуко-вому пограничному слою, так же как и гиперзвукового приближения для внешнего потока требует выполнения условия
Ма-2 = О (т2) = О (а2 + М-2) & lt-0(1). (22)
Асимптотические разложения (9), (11) могут быть применены только при
V ад4 & lt-0(1), рт-1/?-]/» & lt-0(1).
Два последних неравенства удобно заменить одним
(т0 сое х'-Г1 /?^/4 & lt-0(1). (23)
И, наконец, для применимости метода полос при расчете внешнего. невязкого течения в области й'-* = 0(1) должно быть выполнено условие
^До-¼& gt-0(1) — (24)
При выполнении последнего неравенства все члены с производными д1дг относительно малы в невязкой части течения.
Фиг. 5 Фиг. 6
Нетрудно видеть, что необходимыми условиями для исследуемого режима течения являются неравенства (23) и (24), так как из (23), (24) следует и (22).
Очевидно, что для «гладкого& quot- сращивания решений при 2& gt-0 и г& lt-0 требуется дополнительное асимптотическое рассмотрение вблизи г = 0.
Отметим некоторые общие свойства полученного выше решения:
— зона возмущенного изломом передней кромки течения, где
г — а также возмущения давления-, толщины вытеснения,
трения и теплопередачи симметричны относительно плоскости г==0 (см. фиг. 1)-_
— при р=0(1) влияние излома кромки на трение и теплопередачу превосходит по порядку величины влияние вязкого взаимодействия. Влияние излома на распределение давления меньше поправок, даваемых теорией вязкого взаимодействия-
— относительное изменение трения и теплопередачи, вызванное изломом кромки, при прочих равных условиях прямо пропорционально величине Р = l/2(tgx++ tgx_).
1. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.
2. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 6.
3. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.
4. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.
5. Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью М., Физматгиз, 1959.
6. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. В сб.. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы». М.,. Наука"-, 1964.
Рукопись поступила 1/1У 1973

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой