Краевая задача для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 956
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ДВУСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
O^. Абдуллаев
Национальный Университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека,
100 174, Узбекистан, г. Ташкент, ул. ВУЗ городок E-mail: obidjon. mth@gmail. com
Мы изучаем существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения второго порядка с двумя линиями изменения типа в двусвязной области. Когда исследуемая область односвязна, аналогичные результаты были получены в работах Д. М. Курязова.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, эллиптико- гиперболический тип, двусвязная область, существование и единственность решения, принцип экстремума, интегральные уравнения
© Абдуллаев O.X., 2014
MSC 35M10
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A LOADED EQUATION ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE IN A DOUBLY CONNECTED DOMAIN O. Kh. Abdullaev
National University of Uzbekistan by Mirzo Ulugbeka, 100 174, Uzbekistan,
Tashkent c., VUZ gorodok st.
E-mail: obidjon. mth@gmail. com
We study the existence and uniqueness of the solution of one boundary value problem for the loaded elliptic-hyperbolic equation of the second order with two lines of change of type in double-connected domain. Similar results have been received by D.M. Kuryhazov, when investigated domain is one-connected.
Key words: the loaded equation, elliptic — hyperbolic type, double-connected domain, existence and uniqueness of solution, an extremume principle, the integrated equations
© Abdullaev O. Kh., 2014
Введение
В последние годы в связи с интенсивным исследованием задач оптимального управления, долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод, почвенной влаги возникла необходимость в изучении нового класса дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. Отметим что, интересные результаты, посвященные краевым задачам для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, эллиптического и смешанного типов второго порядка, была получена в работах А. М. Нахушева [1], В. А. Елеева [2], В. М. Казиева [3]-[4], И. Н. Ланина [5] Б. И. Исломова и Д. М. Курьязова [6], Д. М. Курьязова [7], М. И. Рамазанова [8] и К. У. Хубиева [9].
Насколько нам известно, краевые задачи для нагруженного уравнения эллиптико-гиперболического типа в двусвязной области не были исследованы.
В данной работе доказывается существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения с двумя линиями изменения типа в двусвязной области.
Постановка задачи
(1)
0
с1: х2 + у2 = 1, х & gt- 0, у & gt- 0- с2: х2 + у2 = д2- х & gt- 0, у & gt- 0-
с?: х2 + у2 = 1, х & lt- 0, у & lt- 0- с?: х2 + у2 = д2, х & lt- 0, у & lt- 0, (0 & lt- д & lt- 1) и характеристиками:
А/А?: х — у = (-1)7+1- В/В?: х — у = (-1)7−1 ¦ д- (0 & lt- д & lt- 1), (/ = 1,2)
уравнения (1).
Введем обозначения:
Е/ (М-17-), Е? (& lt-=/-«-<-=/»), с (& lt--1)/-'-<--1/), (/ = 1,2) —
П0 = П П (х & gt- 0) П (у & gt- 0), П0 = П П (х & lt- 0) П (у & lt- 0) —
А1 = П П (х + у & gt- д) П (у & lt- 0), А1 = П П (х + у & lt- -д) П (х & gt- 0) —
А2 = П П (х + у & gt- д) П (х & lt- 0), А2 = П П (х + у & lt- -д) П (у & gt- 0) —
Л1 = П П (0 & lt- х + у & lt- д) П (у & lt- 0), ^ = П П (-д & lt- х + у & lt- 0) П (х & gt- 0) —
?2 = П П (0 & lt- х + у & lt- д) П (у & gt- 0), ?2 = П П (-д & lt- х + у & lt- 0) П (х & lt- 0) —
П1 = П0 и П0, ?0 = П0 и А1 и А2, ?0 = П0 и А1 и А2,
?3 = ?1 и?1, ?4 = ?2 и?2,
Рассмотрим уравнение
uxx
+ sgn (xy)uyy +
1 — sgn (xy) 2
. 1 + sgnx (x + y). 1 + sgny (x + y), '-
A1---------- ----w (x, 0) — A2--------------- ---------w (0, y)
2
2
в конечной двусвязной области П, ограниченной линиями:
Т2+j = і t:
j-1 i 2
q +(-1)j-1
/j ={t: (-1) j 12 & lt-t & lt-q (2 — j)}- /j ={t: q (j -1) & lt-t & lt-(-1) j 1|}-
& lt- t & lt- 2 — Д — /4+j = {t: 0 & lt- (-1)j-1t & lt- 1}, (j = 1,2),
где, = & lt- х & quot-Р"- 7 = 1,
у при / = 2.
П0, А/, 0/, ?/ - геометрические фигуры, симметричны, соответственно, фигурам П0, А?, с/?,, (/ = 1,2) относительно прямой х + у = 0.
В области П исследуется следующая задача.
Задача I. Найти функцию м (х, у) со следующими свойствами:
1) м (х, у) е С (П),
2) м (х, у) является регулярным решением уравнения (1) в области П (ху =
0)(х+у = 0)(х+у = ±д), кроме того, му е С (А1В1 иА2В2), их е С (А2В2 иАВ), причем мх (0,г), му (г, 0) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при г ^ ±д, а при г ^ ±1 ограничены-
3) на линиях изменения типа выполняются условия склеивания
му (х,-0) = му (х, +0), (х, 0) е А1В1, му (х,-0) = му (х, +0), (х, 0) е А2В2, (2)
их (-°у) = их (+0,y), (0,у) е A2B2, их (-0у) = их (+0,y), (0,у) е А1В1. (3)
4) м (х, у) удовлетворяет краевым условиям
и (ху) с= фу (x, у) — (x, у) е с/, (4)
u (x, y)
а * = Vj (x, y) — (x, y) є а]
u (x y) aj? j = V (t) — t є T2+j,
u (x y) b-c- = gj (t) — t є tj,
u (x, y)
B-Cj g-(t) — t є h,
где ф/(х, у), ф?(х, у), у/(г), ?/(г), ??(г), (/ = 1,2) — заданные функции, причем:
?/ (2) = ?? (2), ф1(1,0) = Ф2(g, 0) = Ыд^ Ф2(0,д) = Ыд^
V- (-1,0) = V2(1), V- (0, -q) = g1(0), V*(-q, 0) = g2(0), Vj-(x, y) = (xy)rVj (x, y) — Vj (x, y) є C (cj),
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
V- (x, y) = (xy)YV*(x, y) — V*(x, y) є C), 2 & lt- 7 & lt- 3,
(11)
Vj (t) є C (/2+j) n C2 (/2+j), gj (i) є c (/j) nc2 (/j), g-(i) є c (/-) n c2 (/-), (12)
Лемма 1. Любое регулярное решение уравнения (1) при ху = 0, х + у = 0 представимо в виде
{ ч /, 1 — sgn (xy)
u (x, y) = z (x, y) ±--------2-----
1 + sgnx (x + y) Ю (x) + 1 + sgny (x + y) Ю (y)
(1З)
2 2
где г (х, у) — регулярное решение уравнения
и = гхх +я (ху)гуу = 0, (14)
, а функции Ю/(г) = | ^(Х) При / = 2 дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения
ю^(х) + Я1 юЦх) + А^(х, 0) = 0, хе -1- - ^ и-1, (15)
ї-і---1 U [--і|
L 2J l2 J
Ї-1---1 U --1
. 2. .2 —
Ю2(у) + ^2®2(у) + ^2^(0,у) = 0, у е
соответственно.
Доказательство. Пусть функция вида (13), есть решение уравнения (1). Тогда, подставляя (13) в (1), при х & gt- 0, у & lt- 0 и х + у & gt- 0 (х & lt- 0, у & gt- 0 и х + у & lt- 0) имеем
ихх иуу +1 и (х 0) = гхх? уу + Ю1 (х) + -^4 Ю1 (х) + 0) = °
т. е. в силу (15) получим, что функция (13) удовлетворяет уравнению (1).
Теперь докажем обратное, т. е. пусть и (х, у) регулярное решение уравнения (1) при х & gt- 0, у & lt- 0 и х + у & gt- 0 (х & lt- 0, у & gt- 0 и х + у & lt- 0), а функция Ю1(х) некоторое решение обыкновенного дифференциального уравнения
Ю'-(х) + Я1м (х, 0) = 0. (16)
Докажем справедливость соотношения (13). Учитывая, что функция
л
Ю1 (x) = -^J (x — t) u (t, 0) dt
0
есть частное решение уравнения (16), получим, что функция
х
и (х, у) = г (х, у) — ^ У (х — г) и (г, 0) Л
0
является решением уравнения (1) при х & gt- 0, у & lt- 0 и х + у & gt- 0 (х & lt- 0, у & gt- 0и х + у & lt- 0),
х
где г (х, у) решение уравнения гхх — гуу = 0, а функция м (х, у) = - ^ / (х — г) м (г, 0) Л есть
0
частное решение уравнения (1), следовательно, представление (13) верно.
Аналогично доказывается случай х & lt- 0, у & gt- 0 и х + у & gt- 0 (х & gt- 0, у & lt- 0и х + у & lt- 0). Лемма 1 доказана. ?
Учитывая, что функции ах + Ь и с +у являются решениями уравнения (14), произвольные функции Ю (х) и Ю (у) можно подчинить условиям
ю (1) = ю'-(1) = 0. (17)
З6
Решения задачи Коши (15), (16) и (17), соответственно имеют вид:
1
to1(x) = - Vl^i^y z (t, 0) K (x, t) dt
(18)
где
K (x, t) =
shV-A1 (x — t) при Я1 & lt- О sinv^i (x — t) при Я1 & gt- О
Ю2(у) = - /|^2Ї z (0, t) K (y, t) dt
(19)
где
K (У, t) =
shJ-A2 (y — t) при Я2 & lt- О
8 т (у — г) при А2 & gt- 0 '-
В силу (13) и (17), задача I сведется к задаче I* для уравнения (14) с краевыми условиями:
z (x У) а= Pj (x, У), (x, У) є aJ,
z (x У)
а j j
zfoУ) А-Я- =J (t) — Ю/(t), t є /2+j,
jj
z (x y) b,. c- = gj (t) — ®j (t), t є 7J,
z (x y)
B*Cj = g?(t) — ®j (t), t є ^jj,
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
Единственность решения задачи
Единственность решения задачи I следует из единственности решения задачи I *. В силу решения задачи Коши-Гурса для уравнения (14) в области Л1 (Л2), удовлетворяющие условиям (22) и
zy (x, 0) = Vi (x), x є AiBi (zx (0,y) = V2(y), y є A2B2)
получим
і
Tj (t) = J Vj (s)ds + 2yj
t + 1
~2~
-2Ю-
t + І
~2~
j (1),
(25)
где Ті(х) = г (х, 0) = и (х, 0) — о& gt-і(х), (х Є АіВі) и т2(у) = г (0,у) = м (0,у) — (c)2 (у), (у Є А2В2). В силу (18) и (19) из (25) соответственно находим
VJ (t) = -Tj (t) + + VJ J TJ (s)KJ (t, s) ds
t+i
2
(26)
и
1
V
Теорема 1. Если
j, s) = { -s) & quot-р" AJ & lt- 0 (27)
I vAj cosy Aj (^± - s) при Aj & gt- 0,
n 2
Я, — & lt--2 (7 = 1,2) (28)
7 & lt- (1 — д)2
то задача Г* не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть ^(х) = ^2(у) = 0. Тогда, так как ^1(1) = ю (1) = 0, то Т1 (1) = 0. Отсюда следует, что Т1(х) имеет хотя бы одну точку нуля в отрезке [д, 1]. Пусть хг (г = 1, п) нули функции т1 (х), тогда рассмотрим отрезок [х1, х2] С АВ. Так как т1 (х1) = т1 (х2) = 0, то функция т1 (х) & gt- 0 или т1 (х) & lt- 0 для всех х е [х1-х2]. Предположим Т1 (х) & gt- 0 (Т1 (х) & lt- 0), тогда покажем что внутри этого интервала
Т1 (х) не достигает положительного максимума (отрицательного минимума).
Пусть в точке х0 е (х1, х2) функция Т1 (х) достигает свой положительный максимум (отрицательный минимум), тогда в силу (27), (28) с учетом ^(х) = 0 из (26) получим V!(х0) & gt- 0(У1(х0) & lt- 0), а это противоречит известному принципу Зарембо-Жиро [10], согласно которому в точке положительного максимума (отрицательного минимума) должно быть V1(x0) & lt- 0 ^(х0) & gt- 0). Следовательно, т1(х) не достигает
свой положительный максимум (отрицательный минимум) в точке х0 е (х2, х1). Таким образом,
(х) = 0, Ух е [х1, х2]. (29)
Аналогично, выше изложенным методом доказывается, что
Т1 (х) = 0, Ух е [г, г+1] (г = 2, 3, 4,…, п — 1). (30)
Если х1 = д, т. е. т (х1) = т (д) = 0, то из (29) и (30) следует т1(х) = 0, Ух е А1В1, а при х1 = д функция Т1 (х) не может иметь экстремума в интервале (д, х1). Тогда функция т1(х) либо знакопостоянна в [д,^, либо т1 (х) = 0, Ух е [д, х^. В силу (18), (19) с учетом ф2(д-0) = 0 из (13) получим
1
Т1(д) = л/ГЯЦ I Т1(г)К (д, г) Л. (31)
д
Пусть та (х) & gt- 0 (т1(х) & lt- 0), х е [д, х1], тогда учитывая К (д, г) & lt- 0 из (31) имеем т1(д) & lt- 0 (т1(д) & gt- 0). Следовательно, функция т1(х) знакопостоянна в [д, х^. Отсюда, принимая во внимание Т1 (х1) = 0, заключаем, что
(х) = 0, Ух е [д, х1]. (32)
В силу (30) и (32) имеем
(х) = 0, Ух е [д, 1]. (33)
Аналогичным образом доказывается что
Т2(у) = 0, Уу е А2В2.
В силу (33) из (18) и (19) следует, что
(r)1 (х) = Ю2(у) = 0. (34)
В силу (33) и (34) с учетом принципа экстремума для уравнений смешанного типа [11], [12] краевая задача I * с нулевыми данными не имеет отличного от нуля решения, т. е. г (х, у) = 0 в области О. Следовательно, решение задачи I * един

Статистика по статье
  • 33
    читатели
  • 4
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц. сети

Ключевые слова
  • НАГРУЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ,
  • ЭЛЛИПТИКО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ТИП ДВУСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ,
  • СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ,
  • ПРИНЦИП ЭКСТРЕМУМА,
  • ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
  • THE LOADED EQUATION,
  • ELLIPTIC-HYPERBOLIC TYPE,
  • DOUBLE-CONNECTED DOMAIN,
  • EXISTENCE AND UNIQUENESS OF SOLUTION,
  • AN EXTREMUME PRINCIPLE,
  • THE INTEGRATED EQUATIONS

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы & mdash- Абдуллаев Обиджон Хайруллаевич

Мы изучаем существование и единственность решения одной краевой задачи для нагруженного эллиптико-гиперболического уравнения второго порядка с двумя линиями изменения типа в двусвязной области. Когда исследуемая область односвязная, аналогичные результаты были получены в работах Д.М. Курязова

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой