Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в многомерной области

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2015. № 23 (220). Выпуск 41 17
УДК 517. 95
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МОДИФИЦИРОВАННОГО УРАВНЕНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА С ДРОБНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ПРОИЗВОДНОЙ В МНОГОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ
BOUNDARY PROBLEM FOR THE MODIFIED EQUATION MOISTURE WITH FRACTIONAL TIME DERIVATIVE IN MULTIDIMENSIONAL DOMAINS
М.А. Керефов1, С.Х. Геккиева2 М.А. Korefov, S.H. Gekkiyeva
Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова, Россия, 360 004, г. Нальчик, ул.
Чернышевского, 173
Kabardino-Balkarian State University, 173 Chernyshevsky St, Nalchik, 3 600 004, Russia 2Институт прикладной математики и автоматизации, Россия, 360 004, г Нальчик, ул. Шортанова, 89 а Institute of Applied Mathematics and Automation, 89 a Shortanova St, Nalchik, 3 600 004, Russia E-mail: kerefov@mail. ru- gekkieva_s@mail. ru
Ключевые слова: модифицированное уравнение влагопереноса, производная дробного порядка, априорная
оценка.
Key words: modified equation of moisture transfer, a derivative of fractional order, a priori estimate.
Аннотация. В данной работе рассматриваются краевые задачи первого и третьего рода для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной в многомерной области. С помощью энергетических неравенств получены априорные оценки для решений рассматриваемых задач.
Resume. In this paper we consider boundary value problems of the first and third order for the modified equation of moisture transfer with a fractional derivative with respect to time in the multidimensional field. With energy inequalities, a priori estimates for solutions to the problems.
Введение
Перенос влаги в почво-грунтах приводит к модифицированному уравнению диффузии
ды д
dt дх
(
ды
д 2ы ^
D (u) — + A
дх dtdx
(1)
которое предполагает сплошность среды. Уравнению (1) при различных краевых условиях посвящены работы [1], [7Н10].
Исходя из того, что почва является примером фрактальной среды, где имеет место зависимость потока q=q (x, t) от структуры (геометрии) фрактала возникает возможность обобщения уравнения (1) с помощью введения дробной по времени производной. Подобное обобщение можно сделать, определяя поток по формуле [6]
J
q (x, t) = ~Daot d (u) — + A
д2ы ^
дх дtдx
(2)
где k, a — положительные величины, a зависит от структуры и хаусдорфовской размерности
фрактала, D? — оператор дробного дифференцирования [5].
Предположим, что функция u (x, t) имеет производную по t порядка а, (0& lt-а<- 1), по x до
" ,. дq ды
второго порядка. Тогда из (2) и уравнения неразрывности — =-, получаем
— = Г& gt-а —
8t дх
, ды
дх
д2ы ^
д
D (u) — + A
дх дtдx
18 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Я Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41
Подействовав на обе части последнего уравнения оператором дробного дифференцирования порядка a, получим обобщенное уравнение влагопереноса с регуляризованной производной [2], [3] в виде:
ГЛ 1- C д
Dot u = ХГ
дх
/ дu. д2и ^ u (x, 0)
D (u) — + A----- + Д /.
'- дх dtdx J г (а)1 a
Априорная оценка для решения первой краевой задачи в многомерной области
В цилиндре Q = G х (0, T], где G = {х = (xl, xk,---xh)0 & lt- xk & lt- lk, k = 1,2,-, p] -
параллелепипед с границей Г рассмотрим задачу
DCu = Lu + f (x, y) X eG, 0 & lt- t & lt- T
и = 0, t & lt- 0
It '
u (x, 0)=u0 (x) x e G
p мерный
(3)
(4)
(5)
где
«a 1 д u (x, T) dT
Dmu =-p-----7-I -7-t-, 0 & lt-a<- 1,
Г (l — a) dt ^ (t — t)
t _ V т т д (. / du. д д2u /
Lu=YLku, Lku=- bk (x, 0- +A-tt-qk (x, t) u,
oxk ^ oxk J дt дx k
bk & gt- ck & gt- 0, A & gt- 0, q & gt- m & gt- 0.
k=1

qk & gt- m:
Единственность решения первой краевой задачи для уравнения (3) реализуем методом априорных оценок. Для чего умножим уравнение (3) скалярно на и:
(DCatu, u)=(Yjibkuxt)x + Auxtxlt-qku)u)+^, u),
k=1 x
(6)
где (u, v) = Juvdx & gt- (u, u)

Правую часть тождества (6), с учетом граничных условий перепишем следующим образом.
Так как
— uxk
lk
J (bkuxtudxk = bkuxt (x1,-, xk-И lk, xk+1,-, xp, t) u (x1v"xk-И lk, xk+1,-, xp, t)
0
(x1,… xk-1,°, xk+1,-xp, t) u (x1,… xk-1,°, xk+1,-xp, t) — Jbkultdxk = - Jbku
то
Z ((bu)x, u)=-IJbuk dx
k=1 k k=1 G
xxu лk
k l A. 3
Au udx, = Au, uV — Au u dxh =----------------------------u2dxh
J xkxkt k xkt I0 J xk xk k rs p,.J xk k ,
r, r, 2 д1 r,
G
k
0
0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2015. № 23 (220). Выпуск 41 19
X (AUxtxt,, u)=- A^Zj
St k=1
u2 dx.
k= a
(qu, u) & gt- m||u||.
Для оценки (f, u) воспользуемся неравенством Коши-Буняковского |(u, v) & lt- ||u||||v|| и s -неравенством Юнга ab & lt- sa2 + -1 b2:
(f, u) & lt-Sf 10+s & quot-E
где s = const & gt- 0.
Подставляя полученные соотношения в (6), получим
№& gt-u)+Zj bkul dxk +A1 -^Zj & lt- dxk+ & lt--II ft + Sut
k=l g
k=l g
l
& lt-¦
110 4s
0 II 110
или в силу b & gt- c & gt- 0 имеем
, тла II II2 A S 11 м² и i|2 l и, i|2 || ||2
(Dntu, u) + cul ±---------------\u\ + m\u\ & lt--\f\ +s\u\
v 0t 5 '- II xll2 fit ^ 0 II 110 ^ P Iln 11 11
0 II 110 ,
(7)
II IP _ f 2 где ||ux|| 0 =j ux
. p.
j =Zj ultdxk.
G k=1 G
Проинтегрируем полученное в результате неравенство от 0 до t и учтем положительность
t
оператора дробного дифференцирования j (D"u, u) dr& gt- 0, доказанную для функции одной
переменной в [4]. Тогда получим
II ||2 A II и2 II и2 l II _ц2 A c\u\ н- \u\ + о, \u\ & lt-- f н-
II xll2, Qt 2& quot- 0 11 2, Qt 4^^ 2, Qt 2
u0 (x)
Ihll2, a = jllu (x, 0IL2 dT, 0=m -s
0
При достаточно малом г, вводя обозначение о = miniA, с, ц |, находим
IklГ +1ИI2 +1 Ml2 & lt-Щ ||f |2 +
II xll0 II xll2, Qt II II2, Qt I Ik II2, Qt
u0 (x)
где M=const& gt-0, зависящая от коэффициентов уравнения и размеров области Q
t0 & gt-
ML = j u (x= t) t dT '-
& quot-2,Qt
Из этой априорной оценки следует единственность решения задачи (3)-(б).
Априорная оценка для решения третьей краевой задачи в многомерной области
В цилиндре QT = G х (0,T], рассмотрим третью краевую задачу:
DaQtu = Lu + f (x, y), x e G, 0 & lt- t & lt- T, (3)
k
0
2
0
2
0
0
20
где
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Я Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41
, t ды д ды
bk (x, t) — + А — - = р-кы — И-k (tI xk = 0
дхк dt дхк
ды д ды
— bk Iх, t) — + А — - = р+кы — М+к ОТ хк = h
дхк дt дхк
ы (х, 0) = 0,
Р-к, Р+к & gt- 0, P-к + P+k & gt- 0, k = 1,2,…, p, bk & gt- ck & gt- 0 & gt- А & gt- 0 & gt- Чк & gt- m & gt-0• Умножим уравнение (з) скалярно на и:
(Dlu, ы) = (?^& gt-кыч)х + AuVtt — Чкы]u) + (f, ы) •
к=1 k
Правую часть тождества (10) перепишем следующим образом:
lk
%ыхк)Х1ыйхк = -) bu I х
0 0
lk
АЫЧЧЫ^к = АЫхк& gt- (xl,•••, xk-l, lk, хк+1,--Рр, t) ы (xl,•••, xk-l, lk, хк+1,--Рр, t) —
0
— Аыч{ (х1 '-хк-1& gt-°, хк+1,…, хр, t) ы (х1,…, Хк-I, 0, хк+,… ?хрХ) AjыхрЫхкd^k
*хкАх1 ,… 'лк-1,0, хк+1 С учетом граничных условий (8), имеем
|(ькыхк)ч udXk + А^ы^к = ькыхк (х1 ,…, хк-1,lk, хк+1 v-х, t) ы (х1 ,-Рхк-1, h, хк+1,… ухр, t)+ 0 0
+Аы* (х1,…, хк -l, lk, х+1,…, хр, t) ы (х1,…, хк -^ lk, хк+1,…, хр, t)
-Аыхк1 (^… хыАхк+1,… хр,^. -Х-Дхк+1,… хр, t) --bk (х1,…, хк-1,0,хк+1 ,…, хр, t) ы (х1 ,…, хк-1,0,хк+1 ,… хр, t) —
lk lk
— JЬкы1 ЫК + АЫхкЫч1 Ахк
Отсюда
Х^к + АЫ*хЫх!'--
G
= р+кы 2 (х1,…, хк-^ lk, хк+1,…, хр, t)& amp-'- + м+кы (х1,… хк-1А хк+1,…, хр, t У^'--
(8)
(9)
(10)
-р-кы 2 (х1,…, хк-l, 1к, хк+1,…, хр, t }х'-+!м-кы (х1,… хк-1Л хк+1,…, хр, t У& amp-'--G'- G
— b, u2 ыdx + Аи ы» dx
J к Чл J хк1 чл
G G
& gt-
dx'- = dK1… dKk_^к+1.р, G = {х = (х1, х2,…, хр): 0 & lt- ха & lt- la, a = 1,2,…, к -1,к +1,…, рj
& gt-
(qu, u) & gt- 4Е
(f, ы) -j- IIf 10± uW 0,
0
0
0
G
G
G
где — = const & gt- 0 •
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Щ Ш Серия Математика. Физика. 2015. № 23 (220). Выпуск 41 21
Подставляя полученные соотношения в (10), получим
(d& gt-, и) & lt- ZI J ^+ЛХ1 ,-2к-i, 0 X+i, t)*'- + J Л-kU (xi ,… xk _!, 0, xk+1 ,… xp, t k'-~
k=i V 0'- 0'-
-P+ku 2 (xi,…, xk-^ h, xk+i,…, xp, t)*'- + J^-ku 2 (x i,…, xk-l, lk, xk+i,…, xp, t т'- -
— JV2, dx- AJUxt, U4″ dx
Л
xkt чд
G
\ II2 i и -и2 || ||2
— m\u\ ±----------/ + -I u ,
ll llo 4S Ik По II llo •
или в силу b & gt- с & gt- 0,
(d0& gt-, u)+1 |i uii o+^uxi2+muii2 & lt- zj j^+ku (xi,…, xk-l, o, xk+i,…, xp, tdx+
k=i V G
+J-ku (xi ,…, xk-i, 0, xk+i ,…, xp, t К'- |+ ^ 11/| I2+HI HI2,
G'-
(11)
G'-
G'-
G
где c = mmCk.
i& lt-k & lt- p
Суммы, стоящие в правой части неравенства (11), оценим следующим образом
Л- ku (xi,…, xk-iA xk+i,…, xp, t)& lt- ^ b u 2 (xi,… rxk-iA xk+i,…, xp, t)& lt-
i
i
& lt- - Л k +
2 -k 2
HИ II + cm2
II xHli2 (о, lk) sH 11-^2 (°Л)
где s = const & gt- 0, cs = const, зависящая от —.
Откуда имеем
J Л-ku (xi ,…, xk-i, 0, xk+i ,…, xp, t) dx'-& lt- J^-kdx'-+ i
u
2 J, ll xk 112 (0,lk)
dx' +
||u||., px'- & lt- -^ J /Л-кdx + - J u2 dx + - J u2dx.
2 J II Hl (Vk) 2/ j'- -k 2 J xk 2
^ G'-lk G ^ G ^ G
Аналогично, оценим
Jл+ku (Xl,… Xk-1, lk, xk+i,… vxp, t) dx'-& lt-^ Jл+2kdx + -J uldx + C-J u 2dx
Сложим (12) и (13) и просуммируем полученное соотношение по к от 1 до p
ZJЛ-ku (Xl,…, Xk-i, 0, xk+i ,…, xp, t) dx'- + Z J ^+ku (xi ,…, xk-i, lk, xk+i ,…, xp, t) dx'- & lt-
k=i G'-
k=i g'-
(12)
(13)
J (^-2k+л)dx±I ux|| 0 + c-p|NI 0.
k=i 2/k G
Подставляя полученное неравенство в тождество (11), с учетом положительности оператора дробного дифференцирования, получим
i 5 и м2 и м2 и м2 i
-------u + v, ul + v, u & lt- -
— - & quot- llol x\0 2ll llo 4- и-/ llo
2 5t
2 tal 2 ЧЫ 2).
k=i 2/k
(14)
2
G
G
G
22
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2015 № 23 (220). Выпуск 41
где
V = с-е, v2 = т~(е+сер)
Проинтегрируем полученное в результате неравенство (14) от о до t
N^- '-I+ь-Ыы + 2V2 INI 2, q, & lt- +t T (k. ll 2, a +lk*l 2q,)
2e k=1 lk
или
N +1 lull2 +1 ut & lt- M (t)
II ll2, Q II 412, Q II 410 v '
(
IQ +1
V 0
bj (P-k (t) + klu (t)) dt
0
Из этой априорной оценки следует единственность решения третьей краевой задачи (3),
(8), (9).
Заключение
В работе исследованы краевые задачи первого и третьего рода для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной Римана-Лиувилля в многомерной области. С помощью энергетических неравенств получены априорные оценки для решений рассматриваемых задач.
Список литературы
1. Керефов М. А. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса с дробной по времени производной: Дис. … канд. физ. -мат. наук. — Нальчик, 2000. -75 с.
2. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 4.
С. 660−670.
3. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 8. С. 1359−1368.
4. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для уравнения signymuxx + ил = 0 // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12, № 1. С. 79−88.
5. Нахушев А. М. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000. — 299 с.
6. Шогенов В. Х., Кумыкова С. К., Шхануков-Лафишев М. Х. Обобщенное уравнение переноса и дробные производные // Доклады АМАН, 1996. Т. 2, № 6. С. 43−45.
7. Шхануков М. Х. Исследование краевых задач для уравнения третьего порядка методом функции Римана // Сообщение А Н ГССР, 1983. С. 241−246.
8. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задачах для уравнения третьего порядка // ДАН СССР, 1982. Т. 265, № 6. С. 1327−1330.
9. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689−699.
10. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ЖПМиМФ, 1967. № 1. С. 247−254.
References
1. Kerefov M.A. Boundary Value Problems for moisture modified equation with fractional derivative with respect to time: Dis. … Cand. Sci. Sciences. — Nalchik, 2000. -75 p.
2. Kochubei A.N. Diffusion fractional // Differ. equation. 1990. V. 26. № 4. Pp 660−670.
3. Kochubei A.N. The Cauchy problem for evolution equations of fractional order // Differ. equation. 1989. Vol. 25. № 8. Pp 1359−1368.
4. Kumykova S.K. On a boundary problem for the equation // Differ. Equation, 1976. V. 12. № 1. Pp 79−88.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2015. № 23 (220). Выпуск 41 23
5. Nahushev A.M. Elements of fractional calculus and their application. — Nalchik Univ KBSC RAS, 2000. — 299 p.
6. Shogenov V.H., Kumykova SK Shhanukov-Lafishev MH Generalized transport equations and fractional // Reports of AMAN, 1996. Vol. 2. № 6. Pp 43−45.
7. Shhanukov M.H. Investigation of boundary problems for an equation of the third order by the Riemann function // Message Academy of the GSPC, 1983. Pp 241−246.
8. Shhanukov M.H. On a method of solving boundary value problems for a third-order equation // Dokl, 1982. Vol. 265, № 6. Pp 1327−1330.
9. Shhanukov M.H. On some boundary value problems for the equations of the third poryadka. occurring in modeling of fluid flow in porous media // Differ. equation, 1982. V. 18. № 4. Pp 689−699.
10. Yangarber V.A. On a mixed problem for the modified equation // ZhPMiMF moisture, 1967. № 1. Pp 247−254.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой