Краевые задачи для одного сингулярного дифференциального уравнения с оператором Бесселя

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 946
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО СИНГУЛЯРНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ БЕССЕЛЯ
Денисова М. Ю., Киндер М. И.
ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», Казань, e-mail: public. mail@ksu. ru
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. В статье в n-мерном евклидовом пространстве строятся фундаментальные решения дифференциального уравнения 2т-го порядка с сингулярным оператором Бесселя, действующим по последней переменной. Для получения фундаментального решения данного уравнения с особенностью в произвольной точке применяется оператор обобщенного сдвига. Такие фундаментальные решения применяются к исследованию краевых задач с условиями типа четности на характеристической части границы. Выводятся формулы Грина. С помощью формул Грина доказывается единственность поставленных задач. Строятся потенциалы и даны формулы скачков для этих потенциалов, для сведения краевой задачи к системе интегральных уравнений.
Ключевые слова: сингулярный оператор, дифференциальное уравнение, полигармоническое уравнение
BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF THE DIFFERENTIAL EQUATION WITH THE SINGULYARNY BESSEL'-S OPERATOR
Denisova M.Y., Kinder M.I.
Kazan (Volga region) Federal University, Kazan, e-mail: public. mail@ksu. ru
The degenerating elliptic equations represent one of important sections of the modern theory of the differential equations with private derivatives. In article in n-dimensional Euclidean space fundamental solutions of the differential equation 2 m about with Bessel'-s acting on the last variable the singulyarny operator are under construction. The operator of the generalized shift is applied to obtaining the fundamental solution of this equation with feature in any point. Such fundamental decisions are applied to research of boundary value problems with conditions such as parity on a characteristic part of border. Green'-s first and second formulas are deduced. With the help of Green'-s formula we prove the uniqueness of problems. Potentials are constructed and formulas are given for jumps of these potentials, for data of a regional problem to system of the integrated equations.
Keywords: singulyarny operator, differential equation, polyharmonic equation
Вырождающиеся эллиптические уравнения представляют собой один из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в газовой динамике, теории малых изгибаний поверхностей вращения, без-моментной теории оболочек и др.
Пусть Ё* - полупространство xn & gt- 0 евклидова пространства En точек x = x …, xn). Пусть G- конечная область в Еп, симметричная относительно плоскости xn = 0 и ограниченная поверхностью Г.
Обозначим через часть G, расположенную в Е*. Граница области G+ разбивается
Г (0) и Г+, расположенные соответственно на плоскости xn = 0 и в полупространстве x & gt- 0. Поверхность Г+ является поверхностью класса ЛтБ, когда Г е Лm [3]. Через
обозначим область Е* /& quot-иГ"-1"-, Ге -ее граница, расположенная на плоскости
xn = 0.
Рассмотрим внутреннюю (внешнюю) краевую задачу: найти четное по xn решение уравнения
Д& gt- = 0 (1)
в области О* (р*), (2m — 1) раз непрерывно
дифференцируемое в С+ и удовлетворяющее граничным условиям
°виТ+=Я& gt- I = 0, т-1,
и в случае внешней задачи удовлетворяющее на бесконечности условиям, обеспечивающим ее единственность.
если l = 2p и И1 В =-Дд" если l = 2p + 1,
дп^
п — внешняя нормаль к границе Г+ в точке
я-1 Д2
В. * + * э
Эх
Эх.
оператор Бесселя, k — любое положительное число, m & gt- 2. Уравнение вида (1) назовем В-полигармоническим уравнением.
Известно [2], что фундаментальные решения уравнения (1) с особенностью в начале координат имеют вид
Су^]пг, 2 т & gt-у,
1 с (2) г7™^
где г=у=п+^
Значения С^ и С® выберем таким об-
т т г
разом, чтобы
(2)
и
(3)
К
для любой четной по хп бесконечно дифференцируемой и финитной в Еп функции 9(х).
Можно проверить, цт удовлетворяет условиям (2) и (3) при следующих значениях
С™ и С®:
С (2)=-
(-1)& quot-Т
у-2т
22т~1к 2 Г
-1 а+о
V 2 У
Г (т)
С помощью непосредственного подсчета получаем, что
Ат-1 «В Ят =

(2-^я 2 г
-1 '-к+ 12'-
т & quot-
41) _.
V 2 У
у-2
Н)2
т л-1 /
2 Г

Для получения фундаментального ре-V шения с особенностью в произвольной точке применим к функции цт (х) оператор
обобщенного сдвига Т^ [4]:
л
= т}чт{х) = Скчт -, 4Х1 + % -2хЛп С08ф^вш*-1 фЛр,
о
где С,. = -
Лг
Г и
V2.
К
Так как операторы Т^ и Дв коммутируют, то в силу формальной самосопря-
тЪ, ,_ч Пусть и и ю четные по х функции клас-
женности оператора Т- из формулы (3) _, ,^2т-1,Т-Тч т^™ ««^
следует, что
са иС^ЧСг). Тогда имеют ме-
сто тождества
т V 1
Д& gt-Д>--Д>-Д>-= 2 (Д^мД^ю-Д^юД^м),
Г т 2
Д2со
V У
7=0
-шд-ш=Х
7=0
/и. /и. /и., т., -+7 --7 --7−1 -+7+1
А| юД| ю-Д| ооД| ю
V
(4)
(5)
у
при четном т, и
т-1
т-1 т+1 2
Дв2 сод/ со -соЛ& quot-со= X
м
(т-1. т+1. т-1. т+1. Л -+7--7 --7 -+]
Ав2 соД/ со-А/ соЛ/ со
V
у
(6)
когда т — нечетное число. _
Нам понадобятся, для четных по хп функций и, СОе С (2ш)(С+)иС (2'-& quot-_1)(С+), первая формула Грина
| соДвоох*г?е+ | ^
в* в* г'-=1
лЭсол2
Эх. V ! У
«Ни.
Г дпЬ
(7)
и вторая формула Грина
J (uAB (0−0)ABu^xkdx = J
G+
Г+
Э (0 ди
U---GO--
ОИр on^

xkdT.
(8)
Интегрируя обе части тождеств (4), (5), (6) по области G+ и пользуясь формулой (8) получим обобщенные формулы Грина
'- Г т ^
1
g+
А2 со
V У
-соА™оо
т-1
для всех четных m и
/ т-1 т+1
I
G+
А/ соАд2 со — (c)А& quot-«*)

m-1
7=1 Г+
(9) (10)
когда m — нечетное число, а также имеет место формула I (д& gt-д>- -А& gt-Атви)хкп (Ы =
G+
m-s-1 _
-sj
у=0 pt
Ад+Ум-- А& quot-"-71(0-AsB+ju


(у = 0, ш-1) (11)
где = Ад, если l = 2p и И1В=-А?, если
дп^
l = 2p + 1, п — внешняя нормаль к границе Г+ в точке
Теорема. Задача (1), (2) в классе С2т (в+)иС2т-в+) не может иметь более одного решения.
Доказательство. Пусть ю (т) — разность двух предполагаемых решений. Тогда эта функция в области С1 удовлетворяет уравнению (1), на границе Г+ однородным краевым условиям
Х) дСо| =0, 1 = 0, т-1 (12)
Очевидно, что
ю (х)е С2т{вГ)^)С2т-х{СГ).
Пусть m — четное число. В силу формулы (9) и условий (12) следует, что
А2со = 0 в G+

т
7 = 0,1,… ,--!.
(13)
(14)
С помощью первой формулы Грина (7) можно установить, что задача (13), (14) имеет только нулевое решение, то есть ю = 0.
Пусть теперь m — нечетное число. С учетом (10) и начальных условий (12), будем иметь
/ т-1 т+1 ^
I
g+
А 2 (оАв2 со

V /
Таким образом, получили две задачи
т-1
А2 оо = 0 В G+
А& gt-|г =0, 7 = 0,1…
т+1
A^to = 0 в G+, А& gt-1=0, 7 = 0,1,…
т — 1
-1,
т-1
Т* '- '- '- '- '- 2
которые аналогичны задаче (13), (14) следовательно ю = 0. Теорема доказана.
Как было показано в работе [1], имеют место следующие интегральные представления для решения уравнения (1):
m-j
m-j
АШ = 2Ja{xX)Dy+2sM^knd%T-^ Г D^q^^df. (15)
. 1=1 OTlp.
S=1 r+
и
Отсюда при ] = 0 имеем, что

5=1 Г+
5=1 р+
Введем в рассмотрение потенциалы
Г1& quot-
Формулу (15) с помощью этих потенциалов можно записать в виде
т-} т-]
КФ) =т (х, Хъ1) +2х, Хъ2),
в том числе при ] = 0
5=1
5=1
т т
(16)
(17)
(18)
5=1
5=1
где Хе = (-1УО^+2& quot- для всех
у'- = 0, т-1,? = 0,2 т. С помощью перенумерации потенциалы в формуле (18) расположим в порядке возрастания индексов их плотностей. В результате мы имеем

_к (2)(*, Х25−2), 1 =-2, 15(1)(*, ЗС25−1)& gt- / = 25−1,
(19)
где I = 0,2 т- 1. Тогда формулы (17) и (18) примут вид
2т-2у-1
Кд (х)= X ^(х, х?) — (20)
1=о
2т-1
д (х) (Х& gt-ХЛ
1=о
Выпишем формулы скачка потенциалов
Щ*, Х1)
КЛ2& gt-Хо)=-Хо (г)+Щг>-Хо) —
дщ
Эй,

дпР
дпР
ЦРи& amp-ии) =

при этом г е Г+, индекс i — означает предел (21) из е — предел из Ст*, волна — прямое значение. Отсюда и из формулы (2) следует
НГхДЮ+ОД^хД? = з,
0, 5 & gt- I.
(-1 УхЛг) + ВЖ (2,хЛ? =
0, я & gt- ?.
Заключение вается единственность поставленных за-
^ дач. Строятся потенциалы и даны формулы
В работе исследуются краевые зада-
скачков для этих потенциалов, необходи-
чи для В-полигармонического уравнения
мые для сведения краевой задачи к системе 2т-порядка в п-мерном случае. Доказы- ^ «
интегральных уравнений.
Список литературы
1. Денисова М. Ю. Интегральное представление решения В-полигармонического уравнения // Современные проблемы науки и образования. — 2012. — № 6- URL: www. science-education. ru/106−7417 (дата обращения: 27. 09. 2013)
2. Киприянов И. А., Кононенко В. И. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений//Дифференц. уравнения. -1967. -Т.3.№ 1. -С. 114−129.
3. Панич О. И. О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка // Матем. сб. — 1960. — Т. 50, № 3. -С. 335−368.
4. Раджабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями. -Ч.3. — Душанбе, 1982. — 171 с.
5. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory // Trans. Am. Math. Soc. — 1948. — № 63. — P. 342−354.
References
1. Denisova M.Y. Modern problems of science and education, 2012, no 6, available at: www. science-education. ru/106−7417.
2. Kipriyanov I.A., Kononenko V.I. Differential equa-tions, 1967, vol. 3, no 1, pp. 114−129.
3. Panich O.I. Matematicheskii Sbornik, 1960, vol. 50, no 3, pp. 335−368.
4. Radzhabov N. Integralnoe predstavleniya i granichnye zadachi dlya nekotorykh differentsialnykh uravneniy s singul-
yarnoy liniey ili singulyarnymi poverkhnostyami [Integrated representation and regional problem the differential equations with the singulyarny line or the singulyarny surfase]. Dushanbe, 1982, 171 p.
5. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalired potential theory. Trans. Am. Math. Soc., 1948, no. 63, pp. 342−354.
Рецензенты:
Мухлисов Ф. Г., д.ф. -м.н., профессор, кафедра высшей математики и математического моделирования, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань-
Сушков С. В., д.ф. -м.н., профессор, зав. кафедрой теории относительности и гравитации, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань-
Кульбачинский В. А., д.ф. -м.н., профессор, кафедра физики низких температур и сверхпроводимости, физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва-
Бичурин М. И., д.ф. -м.н., профессор, заведующий кафедрой ПТРА, Новгородский государственный университет, г. Нижний Новгород.
Работа поступила в редакцию 30. 12. 2013.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой