К расчету эффективных упругопластических свойств многокомпонентных хаотически армированных композитов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 621. 892
Ю.В. Хохрякова
К РАСЧЕТУ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ
Найдены эффективные определяющие соотношения упругопластического деформирования многокомпонентных хаотически армированных композиционных материалов.
Целью настоящей работы является обобщения результатов работ [1,2]. Пусть рассматриваемый композиционный материал образован п различными компонентами, соединенными между собой с идеальной адгезией, первый из которых играет роль матрицы — Ут — остальные —
п
Уу — роль отдельных хаотически разориентированных включений, причем Уу = ХУ, где У* -
*=1
хаотически распределенные в матрице эллипсоидальные включения с главными полуосями }.
Исходные локальные уравнения упругопластического деформирования запишем в виде
Яу = 2Л ту (л/ еЫеЫ К'- ' 0 рр = 3Кт-У е рр, (1)
пп
где /Iу = Х I*, К у = Х К*. Здесь т т- у (л/ еыеы) — нелинейные модули пластичности сдвига-
*
*=1
Кт у — объемные модули- ^ = о^ -1 окк, е^ = е^ - 3 екк — девиаторные части тензоров напряжений и деформаций- о^, е^ - тензоры напряжений и малых упругопластических деформаций.
Структуру композита будем описывать индикаторными функциями Ст (г), Су (г), С* (г) (* = 1, п), равными единице в объемах Ут, Уу, У*, и нулю — вне этих объемов соответственно. Здесь г = (х1,х2,х3) — радиус-вектор координат.
Положение разориентированных в пространстве эллипсоидальных включений будем описывать характеристическими функциями С. ча (г), а = 1,*а, равными единице в объемах У*а эллипсоидальных включений направления, а конфигурации *.
Тогда
п *а *а
С у (г) = X С*(г), С*(г) = X С*, а (г), V* = ХУ^.
*=1 а=1 а=1
Линеаризуем исходные уравнения (1), пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах объемов матрицы и объемов эллипсоидальных включений конфигураций *, положив
Лт у * = ^(еы)т. у-,(еа)т.у.*. Здесь угловыми скобками обозначены средние значения по соответствующим объемам.
Тогда
(п Л (п Л
(г)= 2 Лт + Х1 ]С * (г) еу (г). 0рр (г)=3 Кт + ХК 1с * (г) ерр (г). (2)
V * = 0 V *=2 0
Здесь [и * ] = 1 * - Лт, [К* ] = К* - Кт.
Преобразуем систему уравнений, состоящую из уравнений (2), уравнений равновесия
о у (г) = 0 и формул Коши 2е у (г) = ы. (г) + (г), связывающих компоненты тензора дефор-
маций с компонентами вектора скоростей перемещений, в систему уравнений в скоростях перемещений
(1 ^
I тУ +
*=1
т](г) = -2Х [и* ]С*(г)е](г) — X[я ]С*(г)ерр (г), я* = К* -^. (3)
?=1 *=1 3
С помощью тензора Грина эта система уравнений заменяется системой интегральных
уравнений
(г — г,)ти (г,)& lt-*,. (4)
?, (Г) = |Сгк, (г — Г1 Кі (Г)^Г1 •
V
Осредним соотношение (2) по полному объему:
{& lt-?,) = 21 Д?,)+а, яД? «)+2Х [», ]с^ ?,}, + ^ X Iа. ]с. (?
V.
рр
(5)
. =1
. =1
Здесь с* = У. Из (5) видно, что для нахождения эффективных соотношений необходимо вычислить средние деформации (е^. Для этого определим моменты
(С*, ае ]) = | С 1кЛ] (г1 ^С*, а (г) тй (г + Г)) йгх. (6)
У
Воспользуемся тем, что функции С $ а (г) описывают только эллипсоидальные включения одного направления и будем считать, что корреляционные функции имеют вид
(., а) кі
к 7+ 7+[ ]2
Это допущение является обобщением гипотезы сильной изотропии на случай эллипсоидальной анизотропии в одном направлении. Тогда интегралы (6) вычисляются точно и их значения выражаются формулами
X Єіі)

(Ткі). а СУ (Т кі).
(7)
Здесь Х. к?) =) — ^]-т-Б- Бф?) — компоненты тензора Эшелби, записанные в лабора-
1 + У т
торной системе координат эллипсоидальных включений направления, а.
Подставляя выражение (7) в известное соотношение [3], получим
=е (. ,") р (., а)
^?і ]шг тгкі
Ч=1
ІСЧ? кі
(. а)
7'-кі ° кі
(8)
& gt-() = 1 [о! 1 7() + а [я ]7() ] Г)() = г + Р () Г& quot-1
і'-кі ~ 0 I. 1/^ ^, кІ кі і. 1, рр і уІ і, кі І. і]кі, кі і •
21 т
Умножим (8) на с*а и, суммируя по всем направлениям, а, запишем уравнения для деформаций, осредненных по Уу:
укі кі / •
(9)
Здесь
а, кі = С& quot-1
-1
п1, к1+Х к
(.) Цтг
V к (.) к) = V С)
тгкі ' і'-кі і, кі
а=1
Подставляя (9) в (5), получим макроскопический закон упругопластического деформирования рассматриваемого композиционного материала:
(с і^і = Еі, кі (Л т, Л 1,…, Л и ^? н), (10)
где Е*кі = 2тт1 і'-кі + Ята, акі + С, 2т/ 1ук1 + [Я/ ]8у8к1 а, к1 — эффективный тензор модулей пластичности. Поскольку в соотношение (10) входят величины Лту., то для расчета деформационных характеристик композита при конкретных способах нагружения его необходимо решать совместно с уравнениями (9). При этом следует задавать вид функций ?1 (Лт.у.), который оп-
2
2
Ч
С
ределяется на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов.
Важным частным случаем общих соотношений (10) является модель композита, в котором эллипсоидальные включения ориентированы равновероятно. В этом случае
cs, i = cs, 2 =… = C. При этом тензоры четвертого ранга К (J = Уcs, aQijki) будут изо-
а=1
тропными и их общее представление будет иметь вид:
Кj C (aJm + bsSyou), ^ = 15 [з^ - Qp) qq ]ps = 15 [Qppq — 2Qp) qq ].
Подставляя эти соотношения в тензорное уравнение (9) и выделяя объемную и девиаторную части, находим деформации, осредненные по объемам включений:
П
У csas
j. =-U-(ji ie-p), = -U- ^p^li j = -≠^~n----------------------------------------(j —
Cm + У Csas Cm + У Csis CfCm + Cf У C. as
s = 1 s=1 s=1
П
У cgs
?pp)f П {?pp) i gs = as 3Ps. (11)
f П FF /iis '-& quot-'-s
CfCm + Cf У Csis s=1
Тогда соотношения (10) принимают вид
(*у) = 21 1 (л т, л 1,…, Л и ^ еу.), (орр) = ЗК * (л т, Л 1 ,…, Л п)(?рр) —
Г 1 У1 г 1 У ^
т * = т т+г /. 14---------------------, к * = Кт+[кг 1-^----------------------. (12)
Ст + У са* Ст +? С^
1=1 1=1
Из (11) и правила смесей следует, что
п
У СМ. л
к а1 4? 1 1 к 1
Л1 =--------------------------------------------------------------------------------П-е, Л/ =-п-е, Л т =-п-е. (13)
Ст + У С1М1 С/Ст + С/? С#, Ст +У СМ1
1 = 1 1 = 1 1 =1
Для решения этой системы необходимо задать вид функций ?1 (Лт /), выбираемый на основе экспериментальных данных в соответствии с деформационными свойствами материалов компонентов. Решать систему (13) следует численными методами, вычисляя на каждом этапе итераций инварианты, а 1, Ь1, полученные при обращении тензора I.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Упругопластические свойства трехкомпонентного хаотически армированного композиционного материала // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. одиннадцатой межвуз. конф. Ч.1. Самара: СамГТУ, 2001. С. 166−171.
2. Глущенков В. С., Сараев Л. А., Хохрякова Ю. В. Малые упругопластические деформации композиционнго материала, хаотически армированного эллипсоидальными включениями // Вестн. СамГУ. 2001. № 2(20). С. 121 125.
3. Сараев Л. А. Моделирование макроскопических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: СамГУ, 2000. 182с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой