К расчету на устойчивость физически нелинейных пластин в упругой среде

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Механика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 539. 3:534. 1
С. П. Иванов, Е. С. Иванова, О. Г. Иванов, Ю. В. Лоскутов, С. В. Шлычков
К РАСЧЕТУ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЛАСТИН В УПРУГОЙ СРЕДЕ
В статье предлагается методика расчета плит, выполняемых из нелинейно-упругих материалов, на устойчивость при наличии упругой среды. Выводятся дифференциальные уравнения устойчивости. Упругая среда учитывается в виде однослойного основания. Для конечной реализации поставленной задачи используется численный метод. В качестве примера рассмотрена устойчивость квадратной плиты.
Введение
В условиях упругой среды эксплуатируются дорожные плиты, различные шпунтовые ограждения. Как плиты, находящиеся в упругой среде, можно считать и ребристые плиты, т.к. влияние ребер на напряженно-деформированное состояние плиты можно учитывать в виде упругого основания по винклеровской модели. В настоящее время находят широкое применение пластинки и оболочки в различных областях — строительство, машиностроение, авиастроение, кораблестроение, приборостроение и т. д. Если подходить строго к диаграмме деформирования материалов, то практически все они обладают физической нелинейностью в той или иной степени. А такие материалы, как бетон, различные сплавы, пластмассы, композиты имеют достаточно сильную физическую нелинейность. В данной работе рассматривается упругая среда как однослойное основание. Нами отдано предпочтение этой модели из следующих соображений. Известно, что винклеровская модель применима в основном для несвязанных сред. В связанных средах можно использовать эту модель только при малых толщинах деформируемого слоя. В. З. Власов считает [1], что модель однослойного основания способна более равномерно «распределять» нагрузку.
1. Дифференциальные уравнения устойчивости
В связи с трудностями, возникающими при решении нелинейных задач, вводятся различные гипотезы и допущения. В основе данной теории расчета лежит гипотеза о нелинейно-упругом теле с одинаковой диаграммой работы материала на растяжение и сжатие [2]. Принимаем, что направляющие тензоров напряжений и деформаций совпадают.
Для таких материалов, как бетон, различные сплавы, композиты, зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций в{, как показывают экспериментальные данные, можно принять в виде кубического полинома
о I=Ее1- Е1 е3, (1)
где Е — начальный модуль упругости- Е1 — постоянная, учитывающая степень физической нелинейности материала (принимаются из опытных данных).
Уравнением (1) хорошо описываются кривые деформирования бетона, композитов, сплавов, некоторых видов сталей. Так, в зависимости от марки бетона и возраста [3, 4] указанные величины можно принять в следующих пределах: Е = 2 • 104−4,5 • 105 МПа, Е1 = 1,5 • 1010−6,5 • 1010 МПа. Для композита мар-
4 4
ки ЭДФ -5−6 [5] в зависимости от укладки основы — Е = 1,9 • 10 -2,7 • 10 МПа,
7 7 5
Е1 = 1,4 • 10 -2,6 • 10'- МПа, а стали марки 20Н5А [6] - Е = 2 • 105 МПа,
Е1 = 2 • 1010 МПа.
Учитываем гипотезы Кирхгоффа-Лява и гипотезы теории расчета пластин В. З. Власова [1]. Запишем известные соотношения между деформациями и перемещениями:
?х = - гХх-? х = - гХх — ?х* =-2гХх*, (2)
где
д 2 к д 2 к д 2 к
ах2' д*2' дхдх'-
Перемещения точки к в нормальном г направлении (рис. 1) представим в виде разложений по В. З. Власову [1]:
к (х, *) = (х) /к (*), (к = 1,2,3,…, п). (3)
к
Рис. 1 Общая расчетная схема плиты на упругом основании с действующими нагрузками
Обобщенные перемещенияк (х) являются искомыми функциями, зависящими от переменной х в продольном направлении, а координатные функции /к (*) выбираются по виду деформированного состояния пластины в поперечном направлении в зависимости от действующей нагрузки.
Выражения интенсивности деформаций ег- и объемной деформации 0 с учетом гипотез Кирхгофа-Лява и сжимаемости материала (аг = 0, ?хг = 0, ?хг = 0) можно записать следующим образом:
^/2 1 2 2 2 з 2
2(1 + У)^(ех -Є*) + (Є* -Єг) + (Єг -Єх) + 2 Єх* -
1 — 2у
0 = ---------(ех + е,),
1 -V
а деформации
= -
1 -V
(Є х +Є.).
(4)
(5)
(6)
Учитывая соотношение (6), получим формулу для квадрата интенсивности деформаций:
где V1 = з
(1 + v) Х
-+1
(1 + V)2
— V2 з
V1(є2 + є2) + V2Є хє х + 4 є 2
(7)
2v
(1 -V)2
-1
— V — коэффициент Пуассона.
Принимая, что
Ь0 v1(x.i + Хх) + V2ХXХх + ХХХ '
получим
(8)
еТ =------------- г Ь0.
^ 1 (1 + v)2
Запишем выражение удельной энергии [2]
(9)
'-I
|(1 + V) ¦аійеі ,
(10)
где К = Е/[3(1 — 2v)] - модуль объемного сжатия.
Подставляя в (10) соотношения (1)-(9), получим
Ф =
Е (1 2 ^ [-г (Хх + Хх)]2 + т±(г %)------------------------------ЕЦ г 2Ьо)2. (11)
2 1 + V™ '- ••^з
2и 2
6(1 -V)
2(1 + V)
Работа, отнесенная к единице площади поверхности плиты, равна
8/2
А = | Фёг. (12)
-8/2
Раскрывая (12), получим
. Е (1 — 2 V) 8З Е8З, 1,2
А =---------------2& quot-^ + пп + ^ Ь0 ~~л ДЬ ()'
72(1 -V)2 12(1 + V) 4
1 ~ ~, ,. ЛЗ., Л2.
(1З)
где Д =-Е]8 — Е^ = Е± /(1 + V) — ^ = (хх + Х*) — 8 — постоянная толщина плиты.
еі =
V
еі =
Записываем полную энергию системы (рис. 1):
а Ь
п =
Л
00
А+& lt-?Ук/к +1 Мх X № /к)2
й*йх.
(14)
Определим минимум функционала (14), используя уравнения Эйлера-Лагранжа [7]:
а2 дF й дF
+
дF
йх2 дЖк& quot- йх дИ? д№к
= 0,
(15)
где F — подынтегральная функция (14), штрихи означают обычные производные от функций по переменной х.
Полагаем, что прогибы пластины совпадают с осадкой упругой среды.
Развернув уравнения (15) и присоединив работу реактивных давлений 2осн
упругой среды [1] в нормальном направлении г
2осн = 2? р^ - X 4& gt-к, (16)
к к
получим дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба физически нелинейной пластины в упругой среде:
п Г (N Л
X а1к№™ + -^ак- 2Ь1к- Р0к + (к + 4)
— 2 г = Фк, нел, (17)
(г = 1, 2, 3, …, п).
Выражение Мх соответствует полной величине сжимающей нагрузки, Ь -ширина пластины.
Коэффициенты уравнения имеют вид
Ь Ь Ь
агк = |/к/гй*- сгк = {/кЛйУ- Ьгк = {/к/й- ^[/к/г/+ /к/г]0-
0 0 0
Р0к =
Е0 Я
[,/к/.)]0-
*0 = *гк ='-
|к/й + Я (16 Vo) |!
н (1 ^0)Й {0
Н16(1 -V,)) Ь Е83
+ ^----^-[(/к/)]0- й = -
(18)

12(1 -V2)
Упругая среда учитывается через Н — толщину деформируемого слоя- Е0, vo — соответственно модуль деформации и коэффициент Пуассона. Постоянные Е, V — соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала плиты- 8, Ь — соответственно толщина и ширина плиты. Если в урав-
0
нении (17) принять поперечную нагрузку равной нулю (@{ = 0), то получим уравнение устойчивости плиты. В формулах (18) выражения только в квадратных скобках означают разность значений произведений координатных функций и их производных на краях плиты- выражения в двойных скобках означают сумму значений произведений координатных функций по краям плиты, а в случае закрепления краев плиты в направлении оси х вышеуказанные выражения обращаются в нуль.
Правая часть уравнения (17) учитывает физическую нелинейность материала плиты и имеет следующий вид:
В (19) индексы после запятой указывают на дифференцирование по данным переменным, а функции, находящиеся под интегралами, записываются следующим образом:
Рассмотрим наиболее часто используемые граничные условия для пластин:
1. В направлении оси 5 края защемлены, тогда прогибы и углы поворота на краях (х = 0, х = а) равны нулю:
2. В случае шарнирного опирания краев прогибы и изгибающие моменты Мх будут равны нулю:
Первое условие в (22) выражает отсутствие прогибов- второе — равенство нулю работы изгибающего момента в шарнирном закреплении.
3. При свободных краях для записи граничных условий воспользуемся «естественными» условиями:
где F — подынтегральная функция (14).
Первое условие будет аналогично второму условию (22). Раскрывая уравнение (23), второе условие получим в виде
/& quot-#1, хх/ґй5 + /#2 /ґ, 55й5 |#3, х/їй5.
(19)
5
5
5
N1 = Ді^іх х + о^ 2Х 5) — N2 = Ді^іх 5 + о^ 2х х) —
#3 = Д1^хХ5 ,
(20)
где Ді = 9 ?2§ 2/10, Ег = (Еі/ Е)[(1- v)(1 + v)2].
2. Постановка граничных условий
Щ (х) = 0- Wk (х) = 0.
(21)
х
дF = дF й дF
___* °- Т"& quot-Т & quot- Т"& quot-«
(23)
о
2у V
(Ь1к -----------а Ик
1 + V
1 -V
(24)
-У1X а"кЧкГ (х) + |м1,хЛ *[ = О,
к 5
где О — модуль сдвига материала пластины.
4. Анализ результатов расчета
В качестве примера рассмотрен продольно-поперечный изгиб квадратной плиты со сторонами, а и толщиной 8 = а/20 с шарнирно опертыми краями при действии на нее продольно-поперечной равномерно распределенной нагрузки (рис. 2).
Рис. 2 Расчетная схема плиты на упругом основании (вид в направлении оси 5)
В расчетах приняты следующие характеристики: величина отношения толщины Н упругой среды к размеру, а плиты — Н/а = 2,5- отношение модуля
деформации Ео упругой среды к модулю упругости Е материала плиты —
-3 5
Ео/Е = 10 — отношение Е^Е = 10 учитывает физическую нелинейность материала плиты (можно принять бетон) — коэффициенты Пуассона материала плиты V = 0,2, упругой среды vo = 0,3.
Для решения данной задачи достаточно первого приближения (3):
М& lt-х, 5) = Чх (х)Л (5). (25)
Известно из [1], что уже первое приближение дает точный результат для прогибов, а погрешность при определении изгибающих моментов составляет около 2%.
Для рассматриваемой задачи уравнение (17) с учетом (25) принимает следующий вид:
апЩ™ +
— а11 — 2Ь11 — р01 |Чх + (с11 + 5°1)Ч1 — 21 = Ф1, нел, (26)
где Р — полная величина сжимающей нагрузки при Их = Р.
Выберем функцию /1(5) как линию прогибов балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. В безразмерном виде функцию запишем следующим образом:
/
/1(5) =-а
2 3 ^
1 — 2 4+4'-
2 3
ч, а а у
к
ч
Нелинейную задачу решаем численным методом при помощи ПЭВМ. Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводим методом Рунге-Кутта. Для поиска недостающих граничных условий краевой задачи используем итерационный метод типа Ньютона.
Для решения задачи устойчивости в качестве ведущего параметра принята продольная нагрузка Р. На каждом приращении нагрузки АР решается краевая задача. Момент расхождения итерационного процесса принимаем за критическое состояние системы. Таким образом можно с требуемой точностью определить величину критической нагрузки.
(W / S)106
Рис. 3 Зависимости прогиба срединной поверхности пластины от продольной нагрузки: 2, 4 — по линейной теории соответственно без учета и с учетом упругой среды- 1, 3 — по нелинейной теории без учета и с учетом упругой среды
На рисунке 3 представлены графики зависимости прогиба срединной
поверхности пластины от продольной нагрузки Q. При отсутствии упругой
среды и решении задачи в нелинейной постановке величина критической на-2 -3
грузки Q = P/GS = 2,71 ¦ 10 (см. кривую 1), а при учете упругой среды в
-3
линейной постановке Q = 3,07 ¦ 10 (см. кривую 4). Кривая 2 представлена
-3
при расчете по линейной теории без упругой среды Q = 2,85 ¦ 10. При наличии физической нелинейности и упругой среды величина критической на-
-3
грузки уменьшается Q = 2,95 ¦ 10 (см. кривую 3). Кривые 2 и 4 получены
из расчета в тригонометрических рядах по линейной теории соответственно без и с учетом упругой среды. Разница результатов, полученных численным методом и в рядах, составляет не более 2%.
Заключение
По результатам вычислений можно сделать следующие выводы:
1. Напряженно-деформированное состояние плиты значительно зависит от соотношения модуля деформации Ео упругой среды к модулю упругости Е материала пластины и высоты Н сжимаемого слоя упругой среды.
2. При учете физической нелинейности и упругой среды критическая нагрузка оказывается близкой к критической нагрузке, полученной по линейной теории без учета упругой среды.
3. Разработанная методика и алгоритм позволяют рассчитывать на продольно-поперечный изгиб, устойчивость пластины, взаимодействующие с упругой средой и при наличии нелинейной диаграммы деформирования материала плиты.
Список литературы
1. Власов, В. З. Тонкостенные пространственные системы / В. З. Власов. — М.: Госстройиздат, 1958. — 502 с.
2. Лукаш, П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А. Лукаш. — М.: Стройиздат, 1978. — 204 с.
3. Карпенко, Н. И. Общие модели механики железобетона / Н. И. Карпенко. -М.: Стройиздат, 1996. — 416 с.
4. Залигер, Р. Железобетон, его расчет и проектирование / Р. Залигер. — 4-е изд. -М. — Л., 1929. — 281 с.
5. Тарнопольский, Ю. М. О механизме передачи усилий при деформации ориентированных стеклопластиков / Ю. М. Тарнопольский, Т. Я. Кинцыа // Механика полимеров. — 1965. — № 1. — С. 28−36.
6. Писаренко, Г. С. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов: справочник / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. — Киев: Наук. думка, 1971. — 325 с.
7. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. А. Смирнов. — М. — Л.: ГИТЛ, 1957. — 627 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой