Промежуточный случай регулярности в задаче дифференцирования кратных интегралов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 517. 51
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ СЛУЧАЙ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Д. В. Фуфаев
Студент механико-математического факультета, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, fufaevdv@rambler. ru
В работе обобщаются теоремы Лебега и Иессена-Марцинкевича-Зигмунда о дифференцировании неопределенных интегралов в на случай промежуточной регулярности системы множеств. Рассматриваются приложения полученных результатов к разложению в ряд Фурье-Хаара и орторекурсивному разложению по системе брусов.
Ключевые слова: ряды Фурье, орторекурсивные разложения, интеграл Лебега, система Хаара.
ВВЕДЕНИЕ
Фундаментальная теорема Лебега гласит, что соотношение
lim ---- I f (y) dy = f (x)
выполняется для почти всех x е RN, если f — локально интегрируемая, по Лебегу, функция, где B (x, r) — шар радиуса r с центром в точке x, а | ¦ | - мера Лебега, причем вместо шаров можно брать систему множеств более общего вида, удовлетворяющих условию регулярности. Позже Иессен, Марцинкевич и Зигмунд получили схожий результат уже для произвольных систем множеств, но при этом потребовалось наложить дополнительные условия на функцию f. Таким образом, охваченными оказались случай произвольных систем множеств и случай регулярных систем. Имеет смысл рассмотреть промежуточный случай регулярности системы множеств с целью получить промежуточные результаты.
Определение 1. Пусть f е L^RN). Ее неопределенным интегралом назовем функцию множества:
F (I) := J f (x)dx,
где I — измеримое множество, а интеграл понимается в смысле Лебега по мере Лебега.
Под брусом, А будем понимать множество (а1-b1) х (а2-b2) х ••• х (aN-bN) (где -га & lt- аг & lt- Ьг & lt- +га), в которое, быть может, добавлены некоторые точки границы или содержащие всю свою границу. В дальнейшем в качестве множеств I будем рассматривать только брусы.
ГN
Их диаметром будем называть число diam, А = J (bk — ак)2. Пусть Е = {Ак}keN — последователь-
у k=1
ность (или система) брусов. Будем рассматривать системы брусов, обладающие свойством Витали, т. е. для любого x е RN и любого е & gt- 0 существует брус, А е Е такой, что x е А, diam, А & lt- е.
Скажем, что система Е регулярная, если существует такое число L & gt- 0, называемое параметром регулярности системы, что для любого бруса, А = (а1-b1) х ••• х (aN-bN), А е Е, справедливо неравенство:
max{b1 — а1,…, bN — aN} min{b1 — а1,…, bN — aN} ^ L & lt-
Например, в качестве системы брусов можно взять все брусы, вершины которых имеют рациональные координаты, а в качестве регулярной системы — те из этих брусов, для которых выполнено условие регулярности для некоторого числа L.
Определение 2. Интеграл функции f е L1(RN) называется дифференцируемым по системе брусов Е в точке x, если существует следующий предел:
DoF (x) := lim -- / f (y) dy & lt- га,
~ V '- diamA^G |А| JA V'-'-
где предел берется по всем, А э x, А е Е. Число DsF (x) называется производной интеграла F по системе Е в точке x. Будем говорить, что интеграл функции слабо дифференцируем (в точке x), если он дифференцируем по любой регулярной системе брусов и сильно дифференцируем, если он дифференцируем по произвольной системе. Очевидно, сильная дифференцируемоть влечет слабую. Также введем:
DsF (x) := lim f f (y) dy, DsF (x) := lim f f (y) dy,
|А| VД & quot- diamA^U |А| VД
xfcAfcs xGAGs
тогда дифференцируемость будет означать равенство верхнего и нижнего пределов.
Давно известны следующие теоремы (см. [1, гл. IV, § 6, теорема 3] и [1, гл. IV, § 13]): Теорема 1. Пусть функция f е L1(RN). Тогда DsF (x) = f (x) для почти всех точек x е RN, где Е — любая регулярная система брусов.
Теорема 2. Пусть функции f, f lnN-1(|f| +1) е L1(RN). Тогда DsF (x) = f (x) для почти всех точек x е RN, где Е — любая система брусов.
Определение 3. Пусть f е L1 (RN), Е = {А} - регулярная система брусов в RN. Тогда регулярной функцией Харди — Литтлвуда функции f назовем следующую функцию fв:
f?(x) := sup I |f (x)| dx-
НэДЭх |А| JД
Замечание. Не трудно проверить, что введенная функция Харди — Литтлвуда эквивалентна кубической функции Харди — Литтлвуда (см. [2, с. 14]) в том смысле, что каждая оценивается через другую с постоянной, зависящей лишь от размерности и параметра регулярности L.
Определим функцию распределения для функции fe: A (a) = ^{x е RN: |fe (x)| & gt- а}. Для нее выполнено следующее равенство:
сю
J |fe (x)| dx = -J adA (a). (1)
X: f? (x)& gt-e e
Лемма 1 [2, с. 15−17]. Пусть f е L1 (RN). Тогда для любого, а & gt- 0
А (а) * & quot-а У |f (x)| dx,
x:| f (x) | & gt-a/2
где C — константа, зависящая только от размерности N.
Заметим, что введенные выше определения и теоремы можно сформулировать и в случае, когда функция f определена на одном брусе, например, на [0,1]N, и система Е полностью лежит внутри него. Введем обозначение I := [0,1].
2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 3 (многомерное неравенство Харди — Литтлвуда). Пусть f, f ln (f + 1) е L1 (1N), f ^ 0, и задано s & gt- 0. Тогда справедливо неравенство
[ fe (x) dx * а/ f (x)ln (f (x) + 1) dx + в/ f (x) dx + s,
JiN JiN JiN
где, А и В суть константы, зависящие от s, но не от f.
Доказательство. Разобьем функцию на ее большую и малую части и используем равенство (1):
с с
/fe (x)dx = / f& quot-(x)dx'- + / f,(x)dx'-*s-/adA (a) *s+/A (a)da+A (s)s-
IN x: f? (x)& lt-e x: f? (x)& gt-e e e
В последнем неравенстве проинтегрировали по частям и использовали тот факт, что, А ^ 0. Оценим слагаемые, используя лемму 1:
A (s)s * & quot-Ss J f (x) dx * C||f ||Li,
x: f (x)& gt-e/2
с сю 2f (х)
J А (-) ?а ^ С ^ - ^ /(х) ?х ?а = С ^ J /-2 ?-?х =
е е х: /(х)>-а/2 х: |/(х)|>-е/2 е
= С У /(х)(1п (2/(х)) — 1пе) ?х ^ СII/ 1п (/ + 1)||Ь1 + (1п2 + 11пе|)||/||Ь1-
х: |/(х) | & gt-е/2
итак, получили нужное неравенство с, А = С и В = С (1 + 1п2 + 11пе|). ?
Наложим промежуточные условия на систему брусов, чтобы получить промежуточные условия на функцию. Пусть представлено в виде произведения Б сомножителей: = Мм +
(где Мг — натуральные числа), и пусть 5 = (А^= (А^ х А^ х ••• х А^?, где
А г I г, 1, г, ь / г, 2 гг, 2 & lt- г, м, — 7 г, м, — & gt-->- г л г 1
к = (-к -) х (-к -ок) х ••• х (-к г-ок'- г), причем все системы 5 г = (Ак- регулярны
(при этом система 5 не обязана быть регулярной). Назовем такую систему Б-р егулярной.
Можно ввести эквивалентное определение: пусть Р^ - ортогональный проектор на подпространство Мм в пространстве. Тогда система 5 Б-р егулярна, если регулярна каждая из систем Р^ (5). Через Р1 будем обозначать оператор — Р^, т. е. проектор на ортогональное дополнение к Мм.
Теорема 4. Пусть функции /, / 1п°-1 (|/1 + 1) е Ь1 (М^). Тогда БнР (х) = /(х) для почти всех точек х е где 5 — любая Б-р егулярная система брусов.
Доказательство. Докажем по индукции. Случай Б = 1 — результат теоремы 1. Пусть Б & gt- 1. Предположим, что для всех к & lt- Б утверждение доказано, докажем для к = Б.
Очевидно, достаточно рассмотреть функцию / на брусе, причем можно предположить, что эта функция не отрицательна.
Обозначим через х набор первых М1 координат, через у — последних N — М1, тогда функцию / можно обозначать как /(х, у).
Положим (х, у) = [/(х, у)]п — срезки функции / (см., например, [3, определение 5. 16]). Далее, Нп = / -. Построим функции Н^ по первым М1 координатам, а именно пусть брусы из 5 имеют вид А1 х А2, где размерность А1 равна М1, тогда
НП (х, у) = вир -л^ Мм, у) ?м. Р1(Е)ЭД1 Эх |А1^Д1
Возьмем произвольное е & gt- 0. По теореме 3 справедливо неравенство
/ / АП (х, у) «ЪЧу & lt- А / / Н"(х, у)1п (Н"(х-, у) + 1) ?х^
У/N-М1 У/М1 У/N — М1 J/М1
+В I I Нп (х, у) ?х^у + 1 е2,
N — М1 7 / М1 2
из которого, в частности, следует, что Нв (х, у) е Ь1(/^).
Интегралы в правой части неравенства стремятся к нулю, поэтому существует такое число К, что (для краткости Н = Нк, у =) -м1 //м1 Нв (х, у) ?х^у & lt- е2. Пусть Е — множество таких точек (хо, уо) е, что
1) //^М1 Нв (х0, ?)1пв-2(Нв (х0, ?) + 1) & lt- го (интегрирование здесь идет по последним координатам),
2) неопределенный интеграл В (А) = ^ Нв (х0, ?) где, А — брус из системы Р-^(5), имеет в точке у0 производную Нв (х0,у0) по системе брусов Р-^(5).
Ниже мы докажем, что ^^у Нв (х, у) 1пв-2(Нв (х, у) + 1) ?х^у & lt- го (заметим, что в случае Б = 2 это утверждение сразу следует из многомерного неравенства Харди — Литтлвуда, поэтому доказательство будет проводится для Б & gt- 2). Тогда множество Е будет иметь меру 1, так как по теореме Фубини условие 1) будет выполняться для п. в. х0 е /М1, а условие 2) выполняется для п. в. у0 е -м1, как только выполнено условие 1), по предположению индукции.
Вспомним следующее неравенство Йенсена для кратного интеграла, которое следует из неравенства для функции одной переменной (см., например, [4, гл. X, § 5, теорема 6]): для выпуклой функции ф и интегрируемой на брусе В функции / справедливо неравенство
ф (!в / (х) ^ ^ |В| ?в Ф (|В I/(х)) ?х,
заметим, что функция ф (х) = х 1пп (х + 1) — выпукла для х ^ 0 и п е N.
По определению функции Харди — Литтлвуда для любого е & gt- 0 существует брус В (ж, у) С IМ1 (зависящий, вообще говоря, от (ж, у)) такой, что
/ Нв (ж, у)1п°-2 (ж, у) + 1) ?ж ?у & lt-
Л™
& lt- I тттт-гг Мп, уЫп + е | 1пв-2 | ---- Ып, у) ?п + е + 0? ж ?у =
= [ ([ КУ] +, е^ 1п^-2 (/ ^ +, е? п + Л? ж ?у & lt-
л Iм о В (х,
у) 1 В (ж, у)1 / V В (х, у) |В (ж, у)| /
л п о-2/ п Мп, у) + е применим неравенство Иенсена для ф (ж) = ж 1п (ж + 1) и /(п) = -----, очевидно, интегриру-
|в (ж, у)|
емой:
& lt- [ _1_ [ |В (жу)| ^(п, у)+ е 1п°-2 (|В (ж у)|, у)+ е + Л? п^у =
& lt-Л* |В (ж, у)^в (х, у) |В (ж, у)1 |В (ж, у)| 1п 1|В (ж, у)1 |В (ж, у)| +1) ^^
Г г, г х х, П-2
'-IN |В (ж, у)^В (х, у)
(Л. (п, у) + е) 1п (^(п, у) + е + 1) ?п ?ж ?у & lt-
& lt- / Р (ж, у) + е)1п°-2(й (ж, у) + е + 1)]в ?ж?у.
Л™
В силу произвольности е & gt- 0 и по неравенству Харди — Литтлвуда для некоторого 7 & gt- 0 имеем
/в (ж, у)1п°-2(йв (ж, у) + 1)^у & lt- [^(ж, у)1пв-2(^(ж, у) + 1)]в?ж^у & lt- Л™ 71 о
& lt- А ^(ж, у) 1пв-2(^(ж, у) + 1) 1п[^(ж, у) 1п°-2(й (ж, у) + 1) + 1] ?ж ?у+ +В / ^(ж, у)1п°-2 (Л,(ж, у) + 1) ?ж ?у + 7.
Л™
Второй интеграл, очевидно, сходится. Оценим первый интеграл:
/ ^(ж, у)1п°-2(^(ж, у) + 1)1п[^(ж, у)1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ?ж ?у & lt-
Л™
& lt- / ^(ж, у)1п°-2(^(ж, у) + 1)1п[^(ж, у)1пв-2(^(ж, у) + 1) + й (ж, у) + 1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ?ж ?у =
Л к
= ^(ж, у)1п°-2(^(ж, у) + 1)1п[(^(ж, у) + 1)(1пв-2(^(ж, у) + 1) + 1)] ?ж ?у =
Л™
= ^(ж, у) 1п°-1 (Л. (ж, у) + 1) ?ж ?у + / ^(ж, у)1п°-2(^(ж, у) + 1) 1п[1пВ-2(^(ж, у) + 1) + 1] ?ж ?у.
Лк
Первый из этих интегралов сходится по условию теоремы. Оценим второй интеграл:
/ й (ж, у) 1пв-2(^(ж, у) + 1) 1п[1п°-2(^(ж, у) + 1) + 1] ?ж ?у & lt-
л™
& lt- / ^(ж, у)1пв-2(^(ж, у) + 1)1п[(1п (й (ж, у) + 1) + 1)°-2] ?ж?у =
л™
= (Я — 2) / ^(ж, у)1пв-2(^(ж, у) + 1)1п[1п (^(ж, у) + 1) + 1] ?ж?у & lt-
л™
& lt- (Я — 2) / й (ж, у) 1п°-2 (^(ж, у) + 1) 1п (й (ж, у) + 1) ?ж ?у =
л™
= (Я — 2) / ^(ж, у)1пв-1(^(ж, у) + 1) ?ж ?у,
Л о
а этот интеграл сходится. Таким образом, показали, что
/ he (x, y) lnD-2(he (x, y) + 1) dxdy& lt- ra. JiN
Следовательно, мера множества E равна 1.
Обозначим через H, F, G неопределенные интегралы функций h, f, g соответственно. Пусть (x0, y0) — точка множества E и, А = Ai х А2 — произвольный брус из системы 5, содержащий эту точку. Имеем:
H (А) 1 I 1 I 1С
ТАГ = |А2|,/д31А1Г1h (u v) du * |A2| 1 h& quot-(xo'-v)
Полагая diamA ^ 0, получаем DgH (x0,y0) ^ he (x0,y0). Таким образом, так как (x0,y0) — произвольная точка множества меры 1, то получаем 0 ^ DsH (x0,y0) ^ s всюду, кроме, быть может, множества меры меньшей, чем s (например, по неравенству Чебышева). С другой стороны, так как функция g ограничена, ее неопределенный интеграл дифференцируем почти всюду. Поэтому
0 ^ DF (x0, У0) — DHF (x0, У0) ^ s (2)
всюду, кроме, быть может, множества меры меньшей, чем s. В силу произвольности s, неравенство (2) обращается в равенство почти всюду, что и требовалось доказать. ?
3. ПРИМЕНЕНИЯ
Данный результат может использоваться, например, при изучении сходимости почти всюду разложений интегрируемых функций по системам, для которых есть смысл вводить свойство регулярности, подобное изложенному выше. Рассмотрим два примера, в которых этот результат используется непосредственно: разложение в кратный ряд Фурье по системе Хаара и орторекурсивное разложение по системе характеристических функций брусов.
Рассмотрим разложение в ряд Фурье по (ортонормированной) системе функций Хаара, а именно по системе функций
Xn (x) := Xni (x1)Xn2 (x2) ¦ ¦ ¦ XnN (xN),
где n = (n1, n2,…, nN) G ZN, x = (xi5 x2,…, xN) G RN, а Xk (x) — k-я функция Хаара на отрезке [0,1], k = 0,1,… (см. [5]). Будем рассматривать разложение по подпоследовательностям индексов, являющихся степенями двойки, то есть n = (n1, n2 ,…, nN) = (2mi, 2m2,…, 2mN). Тогда частичные суммы разложения будут иметь следующий вид:
i12-mi i22-m 2 iN2-mN
Sn (x) = 2-mi 2-m2 … 2-mN / / & quot- / f (у) ^ (3)
(i1 -1)2-mi (i2−1)2-m2 (iN-i)2-mN
при (ik — 1)2mk & lt- xk & lt- ik2mk, ik G N, k = 1, 2,…, N.
Это выражение можно интерпретировать как отношение интеграла по брусу с длинами ребер 2-mk, содержащему точку x, к мере этого бруса. В этом случае условие регулярности брусов, по которым идет интегрирование, можно переформулировать как условие ограниченного возрастания системы индексов mk. А именно рассмотрим возрастающий мультииндекс n = (n1, n2,…, nN) (возрастание означает, что min ni ^ ra). Назовем его возрастающим ограничено, если sup — ^ L & lt- ra,
и возрастающим D-ограничено, если все мультииндексы Pj (n) возрастают ограничено (как индексы размерности Mj)(действие оператора проекции на ZN является ограничением его действия на RN). Тогда D-ограниченное суммирование ряда Фурье — Хаара будет означать D-регулярность системы брусов, по которым идет интегрирование в (3). Таким образом, доказали следующее утверждение:
Теорема 5. Пусть функции f, f lnD-1(|f | + 1) g L (1n). Тогда частичные суммы ряда Фурье-Хаара D-ограничено суммируются к f почти всюду.
Напомним определение орторекурсивного разложения. Пусть H — пространство со скалярным определением над полем R или C, {ek} - конечная или счетная система ненулевых элементов H, и f G H.
2) Sn (x) = 77^ /д f (x)dx иначе. Здесь k = max{k = 1,…, n: Ak Э x}.
Определение 4. Рекурсивными коэффициентами Фурье элемента f по системе {ek} называются числа fk, задаваемые следующим образом:
1) fi = (f, ei)||ei||-2-
n
2) если определены fk при k = 1,…, n, то определим n-й остаток ряда как rn (f) = f — ^ fk,
k=1
и следующий коэффициент /n+i = (r"(f), e"+i)||en+i||-2.
Ряд fkek называется рекурсивным рядом Фурье элемента f е H по системе {ek}. k=1
Систему брусов Е будем называть удовлетворяющей условию вложенности (или — системой с вложением), если для любых А^, Aj е Е из А^ П Aj = 0 и i & lt- j следует Aj с А^. Рассмотрим орторекурсивное разложение функции f е L (RN) по системе характеристических функций брусов системы Е, т. е. по системе {xk (x)} = {хдк (x)}.
Лемма 2 [6]. Пусть Е — система с вложением. Тогда для любой локально интегрируемой функции частичная сумма рекурсивного ряда Фурье имеет вид
1) Sn (x) = 0, если ни один из А^ с номером i ^ n не содержит точки x- 1
А |
Подробнее об орторекурсивных разложениях по системе характеристических функций брусов изложено в [6].
Теорема 6. Пусть функции f, f lnD-1(|f| + 1) локально интегрируемы на области G с RN, Sn (x) — частичные суммы орторекурсивного разложения по системе характеристических функций брусов D-регулярной системы с вложением Е = {An}nGN. Тогда Sn (x) сходятся к f для почти всех x е G.
Доказательство. Учитывая явный вид частичной суммы разложения, сходимость ее в точке x е Rn равносильна дифференцируемости неопределенного интеграла функции f в этой точке по системе Е. По теореме 2 он дифференцируем для почти всех x е RN, поэтому разложение сходится к f почти всюду. ?
Автор выражает благодарность профессору Т. П. Лукашенко за постановку задачи и консультации.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14−01−417) и гранта Президента Р Ф для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-1096. 2014. 1).
Библиографический список
1. Сакс С. Теория интеграла. М.: Факториал Пресс, 5. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.
2004. 496 с. М.: АФЦ, 1999. 560 с.
2. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 342 с. 6. Белоусов К. В., Лукашенко Т. П. О некоторых
3. Лукашенко Т. П., Скворцов В. А., Солодов А. П. свойствах орторекурсивных разложений функций мно-
°б°бщенные итегралы. М.: Книжный д°м «. ЛЖГО- ГИх переменных по системе характеристических функ-КОМ», 2010. 280 с.
, jj и п т 1 «» ций брусов // Совр. проблемы математики и механики.
4. Натансон И. П. 1еория функций вещественной пе- ff
ременной. СПб.: Лань, 2008. 560 с. 2011. Т. 6, № 1. С. 52−60.
The Intermediate Case of Regularity in the Problem of Differentiation of Multiple Integrals
D. V. Fufaev
Moscow State University, Department of Mechanics and Mathematics, Leninskie Gori, GSP-1, Moscow, 119 991, Russia, fufaevdv@rambler. ru
The paper deals with generalization of Lebesgue and Jessen-Marcinkiewicz-Zygmund theorems of the differentiation of multiple integrals for the intermediate case of regularity of the system of sets. The application of the result to the Fourier-Haar series and to orthorecursive expansions with respect to system of indicators of multi-dimensional intervals is considered.
Keywords: Fourier series, orthorecursive expansions, Lebesgue integral, Haar system.
This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14−01−417) and by the Grant of the President of the Russian Federation for state support of leading scientific schools (project no. H^-1096. 2014. 1).
References
1. Saks S. Teoriia integrala [Theory of the integral]. Moscow, Faktorial Press, 2004, 496 p. (in Russian).
2. Stein I. Singuliarnye integraly i differentsial'-nye svoistva funktsii [Singular integrals and differential properties of functions]. Moscow, Mir, 1973, 342 p. (in Russian).
3. Lukashenko T. P., Skvortsov V. A., Solodov A. P. Obobshchennye integraly [Generalized integrals]. Moscow, Knizhnyi dom «LIBROKOM», 2010, 280 p. (in Russian).
4. Natanson I. P. Teoriia funktsii veshchestvennoi pere-mennoi [Theory of functions of a real variable]. S. -Peter-burg, Lan'-, 2008. 560 p. (in Russian).
5. Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal series.
Y^K 517. 538
Translations of Math. Monographs, vol. 75, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 1989. (Rus. ed.: Kashin B. S., Saakian A. A. Ortogonal'-nye riady. Moscow, AFC, 1999, 560 p.).
6. Belousov K. V., Lukashenko T. P. O nekotorykh svoistvakh ortorekursivnykh razlozhenii funktsii mnogikh peremennykh po sisteme kharakteristicheskikh funktsii brusov [On some properties autorecording expansions of functions of many variables by system characteristic functions beams]. Sovremennye problemy matematiki i mekhaniki [Modern problems of mathematics and mechanics], 2011, vol. 6, no. 1, pp. 52−60 (in Russian).
НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ РЯДЫ ПО СИСТЕМЕ {sin x sin kx}
И ИХ АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА
И. И. Шарапудинов
Доктор физико-математических наук, заведующий отделом математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, sharapud@mail. ru
В настоящей статье вводятся двумерные специальные ряды по системе {sin x sin kx}. Показано, что эти ряды выгодно отличаются от двумерных косинус-рядов Фурье тем, что их частичные суммы вблизи границы квадрата [0, п]2 обладают значительно лучшими аппроксимативными свойствами, чем суммы Фурье. Приводится оценка скорости сходимости частичных сумм специального ряда к функциям f (x, y) из пространства четных 2п-периодических по каждой переменной непрерывных функций.
Ключевые слова: специальные ряды по системе {sin x sin kx}, двумерные ряды, покусочная аппроксимация.
ВВЕДЕНИЕ
Представление функций в виде рядов по тем или иным ортонормированным системам с целью последующего их приближения частичными суммами выбранного ортогонального ряда является, пожалуй, одним из самых часто применяемых подходов в теории приближений и ее приложениях. Наряду с задачами математической физики, для решения которых указанный подход является традиционным, появились и продолжают появляться все новые важные задачи, для решения которых также все чаще применяются методы, основанные на представлении функций (сигналов) в виде рядов по подходящим ортонормированным системам (см., например, [1−9]). При этом часто возникает такая ситуация, когда функция (сигнал, временной ряд, изображение и т. д.) / = /(?) задана на достаточно длинном промежутке [0, Т] и нам требуется разбить этот промежуток на части -, ] (^ = 0,1,…, т), рассмотреть отдельные фрагменты функции, определенные на этих частичных отрезках, представить их в виде рядов по выбранной ортонормированной системе и аппроксимировать каждый такой фрагмент частичными суммами соответствующего ряда. Такая ситуация является типичной для задач, связанных с решением нелинейных дифференциальных уравнений численно-аналитическими методами [4,6], обработкой временных рядов и изображений и других [5−7], в которых возникает необходимость разбить заданный ряд данных на части, аппроксимировать каждую часть и заменить приближенно

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой