Фильтрация цифровых изображений проекционно-сеточным методом

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость новой

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ИНФОРМАТИКЕ |
УДК 004. 932. 4
Р. И. Ш у в, а л о в
ФИЛЬТРАЦИЯ ЦИФРОВЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫМ МЕТОДОМ
Рассмотрена задача пространственной фильтрации цифровых изображений. Разработан алгоритм фильтрации цифровых изображений проекционно-сеточным методом, который применен для пространственной фильтрации космических радиолокационных изображений Земли.
E-mail: Shuvalov.R. BMSTU@mail. ru.
Ключевые слова: цифровые изображения, пространственная фильтрация, про-
екционно-сеточный метод, функции, матрица, сигнал.
Введение. Обработка и анализ изображений используются в самых разных прикладных областях: в медицинской диагностике, астрономических наблюдениях, производственном контроле, дистанционном зондировании Земли и планет, геологии. Изображения формируются путем регистрации сигнала, приходящего от изображаемого объекта. Зарегистрированный сигнал наряду с информационной составляющей практически всегда содержит шумы. Выделение информационной составляющей из зарегистрированного сигнала — это фильтрация.
Постановка задачи. Изображением называется функция двух аргументов f (x, y), определенная в замкнутой ограниченной области ^с!2. Если величины x, y и f принимают лишь конечное число дискретных значений, то изображение называется цифровым. Сформулируем задачу фильтрации для изображения, обобщив на двумерный случай постановку из работы [1]. Пусть Ф — сепарабельное гильбертово пространство функций, определенных на прямоугольнике
Q={(x, y) е № 2: 0 & lt- x & lt- X, 0 & lt- y & lt- Y} снормой||||ф, а H — некоторое
компактное расширение пространства Ф с нормой ||||H. Введем на прямоугольнике ^ равномерную сетку:
{xn = nAx, ym = mAy | n = 0,1,2,…, N -1- m = 0,1,2,…, M -1}.
Пусть отображение Qnw: Ф ^ Enw (Enxm — евклидово пространство размерности N x M) ставит в соответствие каждой функции р е Ф совокупность ее значений, измеренных в узлах введенной сетки. Предположим, что справедлива модель наблюдений:
VnxM = QNхмФ (X, y) + uNxM,
где y/NxM е ENxM — сеточная функция, имеющая смысл зарегистрированного изображения- uNxM е ENxM — сеточная функция, описывающая действие шума, которая предполагается реализацией случайного вектора П с математическим ожиданием, равным нулю, и некоррелированными компонентами, имеющими одинаковую конечную дисперсию:
M [П] = 0- соу (Пп Ят) = П Ф m- D[п] = & lt-~, п = 1,2,…, NM.
Требуется построить функцию е Н по известной сеточной
функции y/NxM е ENxM, наименее уклоняющуюся в метрике пространства H от функции & lt-(x, у) е Ф.
Проекционно-сеточный метод. Для решения поставленной задачи проекционно-сеточным методом выберем некоторую аппроксимирующую последовательность конечно-мерных подпространств {HK Ж=1 с H,
так чтобы каждое конечно-мерное подпространство HK являлось линейной оболочкой некоторой системы K = PQ линейно-независимых базисных функций В каждом подпространстве HK решение за-
дачи фильтрации ищется в виде разложения по функциональному базису [2]:
Условие ортогональности невязки? (х, у) = у/ (х, у) — фк (х, у} системе базисных функцийм (х, у)} дает для неизвестных коэффициентов разложения систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
Р Q (1)
^^ Apqklapq = РЫ, р=1 q=1
XY X Т
^ = Ц К (х, У (х, у, Рк1 =Цу (х, У Ж (х, У 0 0 0 0
Введенная на прямоугольнике О равномерная сетка разбивает его
на совокупность прямоугольных конечных элементов О:
.г ./ пт
N-1M-1
n=и U Q™ •
n=1 m=1
Положим P = N — 1, Q = M — 1 и выберем базис кусочно-линейных функций:
hpq (x, у) = hp (xЖ (y) p = 1•2•••••p- q = 1•2•••••Q-
N-1M-1
Положим
Pkl ^^Z^ZVnmK (Xn)hl (Ут)
n=0 m=0
и найдем элементы матрицы СЛАУ (1)
yp+1 Xq+1
Apqkl = J hp (У)hk (У)dy J hq (X)hl (x)dx
Ур-1
учитывая, что
Ay /
J —
J АУ
V
Ay
dy ==АУ • J
Ay ,
v -w
dy = АУ, 3
для 1 & lt- i & lt- P, 1 & lt- j & lt- Q, получаем
A = A = A = A
iji-1 j-1 ^iji+1 j+1iji-1 j+1 ^iji+1 j-1
4Ax Ay
Ax Ay 36 !
A
ijij
9
а также
A = A = A = A
j i-1 jiji j-1 i+1 j iji j+1
AxAy
Ax Ay
A1111 = A
PQPQ
A = a = A = A
1112 1121 PQP Q-1 PQ P-1 Q
Ax Ay
A = a = A
1122 1Q 2 Q-1 Л
Q-1PQ P-1 Q-1
= A =
P 1 P-1 2
18 '- Ax Ay 36 '-
x
q-1
Матрица СЛАУ (1) состоит из P х P блоков размером Q х Q:
M
ч B2 O O O O O O
в2 А B2 • O O O O
O B2 • • O O O
O O B2 • • O O O
O O O • • B2 O O
O O O • • B, B2 O
O O O O • B2 B1 B2
O O O O O O B2 B0
триц (4 2 0 0 0 0 0 01
2 8 2 • 0 0 0 0
0 2 8 • • 0 0 0
1 0 0 2 • • 0 0 0
36 0 0 0 • • 2 0 0 5
0 0 0 • • 8 2 0
0 0 0 0 • 2 8 2
0 V 0 0 0 0 0 2 4 /
(8 4 0 0 0 0 0 01
16 4 • 0 0 0 0
0 4 16 • • 0 0 0
1 0 0 4 • • 0 0 0
36 0 0 0 • • 4 0 0
0 0 0 • • 16 4 0
0 0 0 0 • 4 16 4
0 V 0 0 0 0 0 4 i J
(2 1 0 0 0 0 0 01
1 4 1 • 0 0 0 0
0 1 4 • • 0 0 0
1 0 0 1 • • 0 0 0
36 0 0 0 • • 1 0 0
0 0 0 • • 4 1 0
0 0 0 0 • 1 4 1
0 V 0 0 0 0 0 1 2 /
0
2
Таким образом, матрица СЛАУ (1) является симметричной, положительно-определенной и имеет ленточную структуру. Практически важной является возможность представления этой матрицы в функциональном виде, не требующем памяти для хранения элементов. Применение для решения СЛАУ (1) метода Холецкого позволяет использовать все указанные особенности ее матрицы. Согласно этому методу, матрица М раскладывается в произведение нижней треугольной Ь и верхней треугольной ЬТ матриц:
М = ЬЬТ.
Матрица Ь наследует от матрицы М ленточную структуру и свойство разреженности, что позволяет экономно хранить ее в памяти ЭВМ. Решение СЛАУ (1) сводится к последовательному решению двух более простых СЛАУ:
Ьу = р, Ьа = у,
где р = (рк } - вектор правой части СЛАУ (1) — а = {ак1} - искомый
вектор коэффициентов. Теоретически, после решения СЛАУ (1) и построения решения р невязка
должна быть ортогональна системе базисных функций [к }, т. е. ре-
рд
шение соответствующей СЛАУ (для вычисления коэффициентов разложения этой невязки по системе базисных функций)
Ма = р
должно быть тривиальным. Но на практике для достижения указанной ортогональности необходимо итерационное уточнение.
Фильтрация радиолокационных изображений Земли. Описанный выше алгоритм проекционно-сеточного метода фильтрации тестировался на космических изображениях Земли, полученных радиолокатором с синтезированной апертурой антенны. Радиолокационная съемка из космоса заключается в облучении поверхности Земли радиоимпульсами и измерении отраженного в направлении радиолокатора сигнала. Радиолокационные изображения (РЛИ) содержат спекл-шум [3], наличие которого приводит к размыванию контуров, потере или ухудшению восприятия мелких деталей рельефа и переходов между яркостными градациями. На рисунке приведены результаты фильтрации РЛИ описанным выше алгоритмом для двух вариантов исходного изображения.
Заключение. Проведенный с цифровыми радиолокационными изображениями вычислительный эксперимент подтвердил работоспособность разработанного алгоритма проекционно-сеточной фильтрации на основе кусочно-линейных базисных функций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ф е д о т о в А. М., С, а д ы к о в Т. Проекционно-сеточный метод решения задачи фильтрации. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1990.
2. Т р о я н В. Н. Решение интерпретационных сейсмических задач методом конечных элементов // Вестник ЛГУ 1983. № 16.
3. Ф р, а н с о н М. Оптика спеклов. М.: Наука, 1980.
Статья поступила в редакцию 27. 10. 2011.
Шувалов Роман Игоревич родился в 1984 г., окончил МГТУ им. Н. Э. Баумана в 2007 г. Аспирант и ассистент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н. Э. Баумана, инженер ОАО «ВПК «НПО машиностроения». Имеет научные работы (17 публикаций) в области математического моделирования в задачах обработки цифровых изображений Земли, получаемых космическими радиолокаторами с синтезированной апертурой антенны.

Показать Свернуть
Заполнить форму текущей работой