К решению задач о течении Пуазейля и температурном крипе в плоском канале при произвольном значении числа Кнудсена

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Томі 1970
№ 5
УДК 533.6. 011. 8: 532. 54/55
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ И ТЕМПЕРАТУРНОМ КРИПЕ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ЧИСЛА КНУДСЕНА
Н. К. Макашев
Для модельного кинетического уравнения получено численное решение задачи о течении разреженного газа в плоском канале, вызванном градиентом температуры стенок, а также о суперпозиции этого течения с течением Пуазейля. Проводится сравнение с приближенным аналитическим решением этих задач [2].
В работах [1] и [2] было получено приближенное аналитическое решение задач о течении Пуазейля и течении, вызванном температурным градиентом (крипом) для модельного уравнения Больцмана. В настоящей заметке для проверки точности решений получено численное решение этих задач. К сожалению, не было возможности воспользоваться результатами Черчиньяни [3] о течении Пуазейля, так как он не приводит профилей скорости.
1. Не повторяя выкладок, которые даны в [1] и [2], сразу выпишем интегральные уравнения для макроскопической скорости в течении Пуазейля:
½
Чр (х) = J |м5) —

Ьй

(1. 1)
и для температурного крипа
½
Щ М = I" [ит («)
ай

а& lt-і г
•/-іИ* - 5 1) ^ | Ух (а| X- Я I) «/в. (1

½
• 2)
Здесь
а = Ап0
2/г Тс
й з- Кп-1 — величина, обратная числу Кнудсена, А —
_ 1 & lt-1р. р Лг ' координата
константа, входящая в модельное уравнение Больцмана (см. [1]) — Ъ
а — сі - размер канала, х — координата поперек канала, г
Т йг
вдоль канала, р — давление- Т — температура-
¦и*) =
¦5 -(& lt-- + 4
1'-«' '-
& lt-11, Jn (х)
^п+1 (х) '- СІХ
(1. 3)
Интеграл J_. 1 (х) имеет логарифмическую особенность при значении аргумента, равном нулю. Это позволило в работах [1] и [2] получить приближенное решение задачи, используя замену «(») на и (х) под знаком интеграла в (1. 1) и (1. 2).
2. В настоящей работе уравнения (1. 1) и (1. 2) были проинтегрированы численно с разной степенью точности. Результаты расчетов представлены на фигурах. На фиг. 1 по оси ординат отложена величина
½
ЧР, 1 иР' г ах

и приведены кривые:
/-решение Черчиньяни задачи о течении Пуазейля [3]-
Я-приближенное решение [1]-
III, IV, V — численное решение уравнения (1. 1) с соответственно возрастающей точностью-
VI-решение уравнений Навье -Стокса с условиями скольжения на стенках, взятыми согласно [1]-
VII-решение задачи о температурном крипе из уравнений Навье -Стокса
с условиями скольжения-
Следует отметить хорошую точность приближенного решения IX в широком диапазоне значений числа Кнудсена. Приближенное решение задачи Пуазейля дает удовлетворительная точность при Кп& gt-1. Из приведенных результатов следует, что решение Черчиньяни задачи о течении Пуазейля можно принять за точное.
На фиг. 2 представлены профили скорости для течения Пуазейля и для температурного крипа (снизу).
На фиг. 3 приведена величина К = & gt- полученная из суперпозиции реше-
ний о течении Пуазейля и температурного крипа при отсутствии расхода через сечение: /-точное решение, //-приближенное решение [2].
На фиг. 4 представлены профили скорости при отсутствии расхода через сечение.
Решение задачи из уравнений Навье — Стокса с условием скольжения дает профиль, качественно схожий с профилем для, а = 6, т. е. для достаточно малых значений числа Кнудсена, но отличный от профилей для, а = 1,9 и 0,4. На этот факт указывалось в [2].
8-Ученые записки № 5
99
Расчеты, как было сказано выше, велись с разной точностью- при, а = 0,4 и, а — 1,9 было почти полное совпадение профилей. При а=6 точность счета сильно влияла на результат. Сплошная линия соответствует максимальной точности счета, штрих-пунктирная — наименьшей.
-0J0 -0,05
О OS OJOu
Фиг. 4
ЛИТЕРАТУРА
1. К о г, а н М. Н. Динамика разреженного газа. М., «Наука& quot-, 1967.
2. Коган М. Н., Макашев Н. К. О течении газа в плоском канале, вызванном продольным градиентом температуры при произвольном числе Кнудсена.. Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 2, 1970.
3. Cercignani С. Rarefied gas dynamics. Third. Simp.- Acad. Press, 1963.
Рукопись поступила 17jll 1970 г.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой