Критерий интегральности пути на банаховом многообразии гладких кривых

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 515. 164. 13
КРИТЕРИЙ ИНТЕГРАЛЬНОСТИ ПУТИ НА БАНАХОВОМ МНОГООБРАЗИИ ГЛАДКИХ КРИВЫХ В. Н. Черненко
Система Пфаффа на гладком конечномерном многообразии порождает некоторое распределение на бесконечномерном банаховом многообразии кривых этого гладкого многообразия. В данной работе найден критерий интегралъности пути на банаховом многообразии для этого распределения.
The Pfaffian system on the smooth finitedimensional manifold generate a certain distribution on the Banach infinite dimensional manifould of curves of this smooth manifould. In this paper are finded a criterion of integrality of the path on the Banach manifould for this distribution.
Ключевые слова: система Пфаффа, многообразие кривых.
Пусть М — гладкое паракомпактное п — мерное С
— многообразие без края, 5& gt-4. Напомним, что системой Пфаффа ранга г на многообразии М называется
г-мерное С -подрасслоение, а кокасательного расслоения Т*М. Локальным сечением системы, а на открытом подмножестве и с М называется дифференциальная 1-форма ю є Г (а|и) класса С. Для всякой точки р є М существует открытая окрестность и с М и г локальных сечений Ю/, /=1,2,…, г, системы, а на
и, такие, что Ю/ (д) образуют базис векторного пространства, а = а П Т*М для любого д є и. Систему форм Ю/ будем в этом случае называть локальным
базисом системы Пфаффа, а на множестве и. Если для локального базиса Ю/ системы, а выполняется
равенство и=М, то этот базис называется глобальным, а сама система, а в этом случае называется вполне параллелизуемой.
Обозначим через 0(М)=С ([а, в]М) — множество С -кривых на М. Кривая с є О (М) называется интегральной кривой системы а, если С (?) є (Аппа)(с (/)) для любого їє [а, в]. Другими словами, кривая с является интегральной кривой системы а, если
(С (ї))=0 для любого локального сечения ю на подмножестве и сМ и любой точки ї є [а, в], такой, что с (ї) є и.
Для произвольного отображения Е. [а, Д|х [0,е]М и чисел їє [а, вІ, тє [0,е] обозначим через Ет. [а, в]^Ми
Е*. [0,е]^М кривые, определенные соответственно формулами Ет (ї) = Е (ї, т) и Е1 (т)= Е (ї, т).
Определение 1. Вариацией кривой с є О (М) называется С-отображение Е. [а, в]х[0,е]^М, е& gt- 0, такое, что Е) = с. Вариацию Е будем называть С1'1-вариацией, если для любого т є [0,е] векторное поле Хт. [а, Р]^ТМ вдоль Ет, определённое формулой
Хт (ї) = Е1 (т), принадлежит классу С [1].
Каждую вариацию Е кривой с можно рассматривать как путь Е*. [0,е]^0(М), определённый формулой Е*(т)= Ет. При этом Е*(0)=с. Множество О (М)
является банаховым С -многообразием [2]. Если вариация Е является С, — вариацией, то путь Е* явля-
ется С -путём [1]. В дальнейшем любая вариация Е предполагается С ' - вариацией.
Определение 2. Вариация Е интегральной кривой с системы Пфаффа, а называется интегральной вариацией, если для любого т е [0,е] кривая Ет является интегральной кривой системы а.
Определение 3. Пусть Е — вариация кривой с е О (М) и X: [а, р^ТМ — векторное поле вдоль с. Будем говорить, что Е является вариацией в направлении поля X, если Xо = X.
Предложение 1 [3]. Пусть с е О (М) — интегральная кривая системы Пфаффа, а и X: [а, Р]^ТМ -векторное С1-поле вдоль с. Интегральная вариация кривой с в направлении поля X существует тогда и только тогда, когда поле Xудовлетворяет условию:
^(®|с (X))-^т)с (с, X) = 0 (1)
для любого локального сечения т системы, а на о т-крытом подмножестве и с М и любой точки tе [а, в], такой, что с (Г) е и.
Доказательство. Пусть Е: [а, Р]*[0,е]^М- интегральная вариация кривой с в направлении поля X. Пусть т — локальное сечение системы, а на открытом подмножестве и с Ми t е [а, в таково, что с (0 е и. Выберем в окрестности и '-с и точки с (/) локальную карту многообразия М и обозначим через Е}, су, XI, /=1,2,…, п, координатные функции соответственно вариации Е, кривой с и поля X в этой карте. Тогда по определению вариации Е кривой с в направлении подЕ
ля X имеем: Еу (^0) = су ($), -- (^0) = XI ^). (2)
дт
Обозначим т= ХП=1°Ч (хт)^х1. Тогда из инте-
гральности вариации Е следует тождество:
п дЕ
X т (Ет, т)) -ГГ (^ т) = 0.
i=1
dt
Дифференцируя его по т при т=0 и учитывая (2), получаем:
n дву- п
2 -ГГ- (cm (t))Xk (t)ci (t) + 2 mi (cm (t))X (t) = G. i. k=1 дхк i=1
Отсюда:
ё
(ю |с (ї) (X (?))) — (ёю) |с (ї) (с (ї), X (ї)) = дю.
= ((ст (ї)) с’к (І) X)) +
і, к=1 дхк
п п дю
+ Ю (с" +))X,'-+)) -((с" -)) — «)X, (І) —
і=1 і, к=1 дХк
— ^ (с» -)) X, с (-)) = 0.
і, к=1 дхк
п
Лемма. Пусть в Я задана вполне параллелизуе-мая система Пфаффав ранга г, определённая глобальным базисом: п — г
V/ (хт) = X V/і(хт)ёх1 — ёхп-г+ /, /=1,2,---, г. (3)
і=1
п Л
Пусть с. [а, Ь]^-К — интегральная С -кривая
п 1
системы в, X. [а, Ь]^-ТЯ — векторное С -поле вдоль с, ф. [0,е]^К — С -кривая в Я, У. [0,е]^ТЯ — векторное С -поле вдоль ф. Предположим, что выполнены условия: с (а) = ф (0), с'-(а) = У (0),
X (а) = ф' (0), X'- (а) = У'- (0) — (4)
V/ |ф (у) = 0 /=1,2,., г- (5)
ё (V/ |с (X)) — (^/)|с (с, X) = 0, /=1,2,., г. (6)
Тогда существует интегральная вариация Е.
п
[а, Ь]х [0,е]^К кривой с в направлении поля X, такая, что:
(О/ (ї, т, /д (ї, т)) — -д- (ї, т)) ё = 0,
(7)
Еа = Ф, -- (а) = У (т), те [0,е].
Л
Доказательство леммы. Обозначим через су, Фу, XI, Уг- - координатные функции соответственно отображений с, ф, X, У- Г=1,2,…, п. Определим ото-
~ п
бражение Е: [а, Ь]х [0,е]^Я при помощи координатных функций Еу, полагая:
дЕ дЕ
— (а, т) = У (т), — (/, 0) = X (ї). дї дт
(8)
(9)
Будем искать интегральную вариацию Е кривой с, определённую координатными функциями:
ІЕі (ї, т) = Е[ (ї, т), і = 1,2,…, п — г
Еп-г+/(Кт) = Еп-г+/(t, т) + Ї](t, т), / = 1,2,… ,^ где функции //¦ (ї, т) пока неизвестны. Для их определения подставим в систему V/ (хт) = 0 функции хт = Ет (ї, т), т = 1,2,…, п, беря дифференциалы только по ї. В результате получим выражения вида:
или, сокращая на Ж:
д//
--(t, т) = О- (X, т,/"(t, т)) (, д=1,2,…, г. (10)
дt ¦* 4
Легко проверяется, что из равенств (5), (6), (8)
вытекают тождества:
О/ (а, т, 0) = 0, О/ (Х, 0,0) = 0,
д О, —
дт
(ї, 0,0) = 0, / = 1,2,…, г.
(11)
Е)), т) = с,.))) + Фі)т) + т (X)))) — X,. (а)) +
+(ї - а)(У (т) — У) (0)) — т (ї - а) X/(а) — с, (а).
Непосредственно проверяется, что из условий (4) вытекают равенства:
Е (а, т) = ф (т), Е (ї, 0) = с (ї),
Будем теперь считать, что функции /- = /- (X, т)
являются решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (10), зависящей от параметра т, при начальных условиях:
/- (а, т) = 0. (12)
Заметим, что при т = 0, в силу (11), набор из г нулевых функций является решением системы (10), удовлетворяющим условию (12), и, в силу единственности решения [4], имеем тождество:
/((Х, 0) = 0. (13)
Решение (13) определено на компактном интервале [а, Ь], поэтому, уменьшая, если это необходимо, число е, можно считать, что все решения /- (X, т)
определены на интервале [а, Ь] для любого значения параметра т е [0,е]. Более того, при малом е все эти решения С -близки на [а, Ь] к нулевому решению
/((х, 0).
Подставляя в (10) значение Х=а и используя (11) и (12), убеждаемся, что:
д
-/ (а, т) = 0. (14)
д X
Далее замечаем, что, в силу (10), функции д/ / дт являются решением системы обыкновенных
дифференциальных уравнений:
д дО.
-- (X ^) = -- (^х)) +
дх дт
дО1
+Х ст ' г)) ьт т? т,
т=1 д (т
(, Ч=1,2,…, г. (15)
с неизвестными функциями И- (X, т) при начальном
условии И- (а, т) = 0. Набор из г нулевых функций
является решением системы (15) при т = 0 и поэтому, в силу единственности решения, имеем: д/ / дт (Х, 0). (16)
Равенства (8), (9), (12)-(14), (16) показывают, что Е — искомая вариация. Лемма доказана.
Окончание доказательства предложения 1. Пусть векторное С -поле X: [а, Р]^ТМ вдоль интегральной С -кривой с: [а, в)^М системы Пфаффа, а удовлетворяет условию (1) для любого локального сечения т системы, а на открытом подмножестве и с М и любой точки X е [а, в], такой, что с (Х) е и. Покроем компактное множество с (а, р) с М конеч-
ным числом координатных областей и1, и2,…, ит так, чтобы существовало разбиение, а = а0 & lt- а! & lt- … & lt- ат = в отрезка [а, в], такое, что c ([аq1, ад]) с и9
q=1,2,…, m, и система, а определялась в каждой области ич локальным базисом вида (3). В области и! определим кривую ф: [0,е]* и! с помощью координатных функций ф1 (т) = су (а) + тXi (а), Г = 1,2,…, п, где су и XI — координатные функции соответственно кривой с и поля X.
Далее определим векторное поле У: [0,е]*Ти1 вдоль ф координатными функциями:
Уі (т)
= сі (а) + тXI (а),
і = 1,2,…, п — г-
Уп_г+ ((т) = X V (I (ф (т))(с{ (а) + т XI (а)), (= 1,2,…, г.
I=1
Тогда выполнены условия леммы, которая доставляет нам интегральную вариацию
Е (1): [а0,а1]*[0,е] * и1 кривой с |[а0,а1].
Далее по индукции, предполагая, что мы построили вариацию Еда: [аИ-1,аИ]х[0,е]* иИ, И = 1,2,., т _ 1, кривой с |аИ 1-аи], полагаем
ф (т) = Е (и)(аи, т), У (т) = (дЕ (И) / дГ)(ак, т), и, применяя лемму, получаем интегральную вариацию
Е (И+1): [аи, аи+1]х [0,е] * ии+1 кривой с |[аИ, аИ+1].
Таким образом, мы получаем интегральные вариации Е (q) кривых с[а ], q=1,2,…, m, очевид-
ная склейка которых даёт нам искомую интегральную вариацию кривой с. Предложение 1 доказано.
Касательное пространство Тс Д (М) естественным образом отождествляется со множеством векторных С*-полей вдоль с [2]. Формула (1) линейна относительно X и поэтому, в силу указанного отождествления, определяет в пространстве Тс Д (М) подпространство Бс. Множество Б = исе@м)Бс является под-
расслоением касательного расслоения ТД (М), то есть распределением на ДМ).
Предложение 2. Пусть Е — вариация кривой с е ДМ). Путь Е*: [0,е]*ДМ) является интегральным путём распределения Б тогда и только то-д ¦
гда, когда: -(т _ (Ет)) = 0 (17)
д т
для любого локального сечения т системы, а на о т-крытом подмножестве и с М и любых X е [а, в], те [0,е], таких, что Е (X, т) е и.
Доказательство. Интегральность пути Е* означает, что для любого т е [0,е] касательный вектор Xт
пути Е* в точке т принадлежит Бр^. Это, в свою
очередь, означает, что для любого локального сечения т системы, а на открытом подмножестве и с М и любого Xе [а, в], такого, что Е (X, т) еи, должно удовлетворяться соотношение (1), то есть:
^(тЕ (Xт))_(Ет, Xт) = 0. (18)
Остаётся доказать эквивалентность (17) и (18). Для этого выберем в окрестности точки Е (X, т) локальную карту многообразия М, в которой Е определяется координатными функциями Еу, у=1,2,…, п, и
т = ХП=1°Ч (хт. Тогда (18) в координатах после
очевидных сокращений примет вид:
дю. 8Ек ЙЕ
()('- • *• «Ек ¦ кк д'- •))¦
дт д2 Е
Но точно такой же вид в координатах принимает и соотношение (17). Предложение доказано.
Литература
1. Бурбаки, Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1975.
2. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. — М.: Мир, 1967.
3. Черненко, В. Н. Критерий существования интегральной вариации для интегральной кривой системы Пфаффа / В. Н. Черненко // Вестник КемГУ.
— Кемерово, 2005. — № 4 (24). — С. 189 — 191.
4. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. — М.: Наука, 1974.
Рецензент — Н. К. Смоленцев, ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».
п-г

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой