Критерий устойчивости ортопланарных тригональных точек либрации в пространстве бинарной системы, стабилизированной во внешнем ортогональном магнитном поле

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 530 + 531
П. В. Воронин P. V. Voronin
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОРТОПЛАНАРНЫХ ТРИГОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ПРОСТРАНСТВЕ БИНАРНОЙ СИСТЕМЫ, СТАБИЛИЗИРОВАННОЙ ВО ВНЕШНЕМ ОРТОГОНАЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
CRITERION OF STABILITY OF ORTOPLANARY TRIANGULAR EQUILIBRIUM POINTS IN SPACE OF BINARY SYSTEM, STABILIZED IN AN EXTERNAL ORTHOGONAL MAGNETIC FIELD
Волгоградский государственный технический университет Volgograd State Technical University
E-mail: voronin. petya2015@yandex. ru
В работе рассматриваются точки либрации малой частицы, располагающиеся в плоскости, перпендикулярной плоскости орбит частиц, образующих бинарную систему, стабилизированную во внешнем ортогональном магнитном поле, и проходящей через центры масс этих частиц — ортопланарные тригональные точки либрации (ОТТЛ). Устанавливается критерий устойчивости ОТТЛ.
Ключевые слова: магнитное поле, бинарная система, точки либрации.
In work the equilibrium points of a small particle, which is settling down in a plane, perpendicular plane of orbits of particles, forming binary system, stabilized in an external orthogonal magnetic field, and taking place through the centres of weights of these particles — ortoplanary triangular equilibrium points (OTEP), are considered. The criterion of stability OTEP is established.
Keywords: magnetic field, binary system, equilibrium points.
Введение
Рассмотрим малую частицу массы М с зарядом Q, находящуюся в пространстве бинарной системы, стабилизированной во внешнем ортогональном магнитном поле [1]. Свяжем с бинарной системой синодическую [1] систему координат, в которой вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля может быть представлен в виде B = {0,0, Бг}. Будем считать, что бинарная система образована частицей массы Мі с зарядом Ql и частицей, масса
и заряд которой равны соответственно
M2
метр q =
M^i + 2
Q2
а ее зарядовый пара-
n = Q1 + Q2 b 1 nY-------------------Bz —.
Mi +42 n
(i)
Здесь заряды, массы, индукция магнитного поля, а также угловая скорость вращения бинарной системы ю выражены в одной и той же системе единиц, а ю^ - безразмерна.
Проекция на ось Z вектора циклотронной частоты малой частицы
где
Q =
QM
(Qi + Q2)/(Mi + M2)
(2)
(3)
и Q2. Для определенности положим М2 & gt- Мі. Угловую скорость вращения бинарной системы ю примем равной 1, а за единицу измерения координат и расстояний примем расстояние й между частицами, образующими бинарную систему. При этом массовый параметр бинарной М2
суть приведенный удельный заряд малой частицы.
Эффективные коэффициенты электромагнитной редукции масс первой и второй частиц, образующих бинарную систему, соответственно равны [2]
q Qy и А*2 =- Qy, i-Ц Ц
[^+qnJ (i -^)+nx (i -q)]
где y =
Q + 62
Проекция на ось Z вектора обобщенной циклотронной частоты бинарной системы:
q (i — q)(i + n)
(4)
(5)
Как показано в [2], система динамических уравнений, описывающих движение малой частицы в синодической системе координат, имеет вид:
а г
а2 у
а t2 а2 2
+ (2 + = g (х, у, 2) — (6)
а t2
= р (х, у, 2),
где
X — X!
/(х, у, 2) = (1 + ю*х)х-А,*! (1 -ц) 3
х — х2 А*2Ц 3 2 г2 -- (7)
g (х, у, 2) = (1 + Ю *х- - А*1 (1 — _ ^Ц'- у. 3 — г2 (8)
р (х, у, 2) = -А*1 (Ц-3 А*2ц~Г, Г1 г2 (9)
где, в свою очередь,
Ц + ЧЮх л- - Л. х (1 -Ц) + (1 — ч) юх — (10)
х1 1 , — 1 + 2 1+®х —
Г1 =& gt- /(х — х1)2 + у2 + 22 —
г2 =у /(х — х2)2 + у2 + 22. (11)
натами (х, 0, 2-. Выясним, в каком случае движение малой частицы в окрестности данной ОТТЛ будет устойчивым.
Критерий устойчивости движения в окрестности ортопланарной тригональной точки либрации
В точке либрации (х, 0, 2- по определению имеем:
/ (х, 0, 2 — = р (х, 0, 2- = g (х, 0, 2 — = 0. (12)
Сообщим малой частице, находящейся в точке либрации, малые смещения вдоль координатных осей: х'-, у'-, 2'-. При этом координаты малой частицы станут равными
х = х + х'--
& lt-у = у'-- (13)
2 = 2 + 2'-.
В таком случае, согласно (6), имеем:
а2 х'-
а г
2
(2 + ю*х)-7'-= /(х + х'-, у'-, 2 + 2'-) —
2
~_у- + (2 + ®*х)-х- = g (х + х'-, у'-, 2 + 2'-- (14)
а ^ х, а t
а2 2'-
а t2
= р (х + х'-, у'-, 2 + 2'--.
Допустим, что малая частица может стационарно базироваться в ортопланарной три-гональной точке либрации (ОТТЛ) [2] с коорди-
Осуществляя разложение правых частей уравнений (14) в ряды Тейлора в точке либрации, ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, напишем:
а2 х'-
а t2
а2 2'-
а t2
а2 у '-и х'-
& quot-д/ х'- + д/ у'- + & quot-д/
дх (х, 0, 2) ду (х, 0, 2) д2 (х, 0, 2)
дg х'- + дg у'- + дg
дх (х, 0, 2) ду (х, 0, 2) д2 (х, 0, 2)
2-
а t2
др х'- + др у'- + др
дх (х, 0, 2) ду (х, 0, 2) д2 (х, 0, 2)
(15)
Найдем частные производные функций (7)-(9) в ОТТЛ с координатами (х, 0, 2 —.
дх
(х, 0, 2)
¦ (1 + Ю*х- А*1 (Ц- з А*2Ц з
г2
+3А*1 (1 -ц-(х 5×1 — + 3А*2ц (х 52 -. (16)
Г1
г2
Поскольку, согласно (12), р (х, 0, 2- = 0, то, как следует из (9), имеет место уравнение
А*1 (-Ц)-3 + А*2Ц^Т = 0. (17)
Г1 г2
В [2] показано, что расстояния ОТТЛ от первой и второй частиц, образующих бинарную систему, соответственно определяются выражениями
Г1 = 3 -А
* 1
1-Ц
(1 + ю*х) х
*2
Ц
(1 + ю*х)х '
(18)
(19)
первой и второй частиц соответственно равны
1 + ю* 3
¦ ¦ (20)
А*1 =---- хг13 —
1-Ц
1 + ю*х 3
А*2 =--------- хГ2.
Ц
(21)
Из (18) и (19) следует, что эффективные ко- Подставляя (20) и (21) в (16), учитывая (17),
эффициенты электромагнитной редукции масс приходим к следующему выражению:
дх
(х, 0, 2)
¦ (1 + ю*х — - 3 (1 + ю*х — ------------2& quot-1- + 3(1 х ю*х — -----т2-
= (1 + ю*х — + 3 (1 + ю*х) -2 1×22 (2х — х1 — х2 —
: (1 + ю*х)
1 + 3-
2 2 Г1 г2
г2
1______1
~2 2
чг1 Г2 у
(1 + ю*х)
1 + 3-
х2
'- (2х — 2×1 -1)
2 2 Г1 г2
(22)
д2
В таком случае, для частных производных имеем выражения:
2
(х, 0, 2)
, ч (х — х1 — 2 (х — х2 —
= 3А*1 (1 — ц---------5Я- + 3А*2^------^
= 3
(1 + ю*х)
х2
г2
х — х2 х — х1
г2 Г1
3 (1 + ю*х)
х2-
-(х — х2)(х — х1)
2 2 Г1 г2
: 3(1 + ю*х ^
х2-
-(х — х1 + 1-х — х1)
2 2 Г1 г2
ду
= (1+ю*х) — а*1 (1 — ц)-3 — а*2ц-3 = (1+ю*х) —
(х, 0,2) Г1
др
дх
(х, 0, 2)
Г1
г2
д2
(23)
(24)
(25)
(х, 0, г)
др
2 2 2
= -А*1 (- Ц^_Г — А*2^_3 + 3А*1 (- Ц) 5& quot- + 3А*2ц_Г =
(х, 0,2) Г1 г2 Г1 г2
-3 (1 + ю*х)-2& quot- + 3(1 + ю*х)-2& quot- = 3 (1 + ю*х) -2 Г1 г2
1 1
(1 + ю*х)-'-дх
(26)
(х, 0, 2)
= д^_ = % др
ду (х, 0, 2) дх (х, 0, 2) д2 (х, 0, 2) ду
= 0.
(х, 0, 2)
Введем обозначения:
У дх
(х, 0, 2)
(27)
(28)
(х, 0, 2)
В таком случае (15) перепишется в виде:
а2 х'-
(2 + ю*х)-^ = у х'- + 52'--
а Г2 '- & quot-Л/а t
2
а-у- + (2 + ю*х)^-хх- = (1 + ю*х)у'-- (29)
2 у V
— + (2 + ю*х —
а^ х аt, 2 '-
-^ = 5х'- + [(1 + ю*х)-у_
Система (29) суть система зацепляющихся дифференциальных уравнений. Будем искать ее решение в виде
х'- = А ехр (с і) — у'-= В ехр (с і) —
2 '- = С ехр (с і). (30)
Подставляя эти выражения в (29), приходим к системе характеристических уравнений
(с 2- у) А —2 +) сВ -5 С = 0-
(2 + ю*х)с, А + [с2-(1 + ю*х) В = 0- (31)
5 А
-[(1 + ю*х) —
у-с
С = 0.
Система (31) имеет нетривиальное решение в том случае, если справедливо секулярное уравнение
& lt-іе1 А = 0,
((_2
где
А =
(с2-у) -(2 + ю*х)с
(1 + ю*х)]
(2 + ю*х)с
5
с2 —
-5
0
[(1 + ю*х)_
у-с
(32)
(33)
т. е. справедливо уравнение
с
(2-у) -(2 + & lt-а*х)<-
2 + & lt-в*х)с с2-(1 + ю*х) 5 0
-5
0
[(1 + ю*х)_
у-с
= 0.
(34)
Раскрывая определитель, приходим к выражению
А =
с2 —
(1 + ю*х)2 +[(1 + & lt-в*х)-у-с2 |(с2-у) с2-(1 + ю*х) + (2 + & lt-в*х)
2 с21
Г
Вводя в рассмотрение величину
перепишем (35) в виде
и = с -1,
(35)
(36)
А = (и + ю*х)2 + (ю*х — и-у) (и +1 -у) (и-& lt-в*х) + (+ ю*х) (1 + и)
— 2
+((- и — у) (и +1 -у)(и-ю*х) + (2 + ю*х) (1 + и)
= 5 и + 5 ю*х + (*х — и — у) [и +(1 -у + ю*х) и + (1 — у) ю*х + (2 + ю*х)& quot- и + (2 + ®*х)& quot-
2 2 3 (2
= 5 и + 5 ю^-и -(1 -у + ю*х) и -(1 -у)®*хи --(2 + ю*х) и2 — (2 + ю*х) и + (х-у)и2 +(1 -у + ю*х)(ю*х-у)и +
+(1 — у) со*х — у^ю*х+(2 + ю^х) (ю*х -у)и +2 + ю*х) ^ю^х — у) = -и -^и +^2и +3, (37)
где
«1
2
= 5 + 4ю*х +ю^х-
(2 + ю^х) +1
2 = 52-(1 -у)ю*х-(2 + ю*х) +(1 -у + ю*х)(К)*х-у) + (2 + ю*х) (ю*х -у) =
= 5 — ю*х + ую*х — 4 — 4ю*7 — ю^х + ю*х — ую*у + ю^^ - у + у — ую*7 + 4ю*7 +
(38)
*х *х *х
*х ~*х ^х1
+4ю2х + ю*х -4у-4ую*х -ую2х = (52 +у2 -5у-4) + ю*х (-1 + у-4 + 1 -у-у + 4−4у) +
+ю2х (-1 + 1 + 4- у) + ю3х =(52 +у2 -5у-4)-5ую*х +(4-у)ю2х + ю3х- (39)
2
Н3 = 52ю*х +(1 -у)(ю*х -у)ю*х +^2 + ю*х) (ю*х -у) =
= 5 ю*х + (ю*х — у -ую*х + у) ю*х+(4 + 4ю*х + ю*х)(ю*х — у) =
= 5 ю*х +ю*х — ую^х — ую*х +у ю^х + 4ю*х + 4ю*х + ю*х — 4у- 4ую*х — ую*х =
-4у + ю*х (52 -у + у2 +4 — 4у) + ю2х (1 -у + 4 — у) +
= -4у + (5 + у -5у + 4) ю*х +(5−2у)ю*х +
ю
х
(40)
Подставляя (38)-(40) в (37), приходим к выражению
3
-2 -ю3
*х х
и —
А = - и — (5 + 4ю*х+Юфх|и — (4 + 5у — 5 -у) + 5ую*х+(у-4-
— 4у + (5у-4−52-у2)ю*х+(2у-5-
При этом секулярное уравнение может быть записано в виде:
3, /г, , «2 2 *2 2, , / л2 «3
.2 3
«х х
(41)
'-4)ю*х -ю*х
(5 + 4ю*х + ю*х) + (4 + 5у-5 -у) + 5ую*х+(у-4)
4у + (5у — 4 — 52 — у2) ю*х + (2у — 5)
-5і 2 — 3
5) ю*х ю*х
= 0. (42)
Согласно теории устойчивости движения малой частицы будет соответствовать случай, Ляпунова, малая частица будет обладать устой- когда все три корня и уравнения (42) будут
чивым движением, если
с = а + Л,
где, а & lt- 0
Поскольку, согласно (34),
с = ±& gt-/и +1,
то, очевидно, случаю устойчивого движения ма-
действительными величинами, меньшими -1. Выводы
Подводя итог вышеизложенному, можем констатировать, что критерий устойчивости (43) ОТТЛ с координатами (х, 0, г) может быть представлен в виде [2]:
д (1 — д)& lt- 0-
юхє
(-& lt-ю--1)
и
— тах
(1-е. е'- 1 — д д
— - тт
1-е. е'-'- 1 — д’ч

+ (5 + 4со^х+ю^х^и + (4 + 5у — 5 -у) + ^)*х + (у-4) 4у + (у — 4 — 52 — у2) х + (2у — 5)
2 3
— 4) ю*х -ю*х
+
и & lt- -1
' - 5 |ю2х -ю*х
у =
(і + ю*х)
1 3 Х22 (2х — 2Хі -1)
5 = 3 (і + ю*х) Е + дюх
Х2-
-(х — Хі + 1)(х — Хі)
Г& quot-2 —
Г1 г2
Х=
1 + ю.
1 =& gt-/(Х — Хі) л/(Х — Хі +1
22 + 2 —
ю*х = юх^.
22 + 2 —
Этот критерий при «выключенном» внешнем магнитном поле, когда Юх = 0, переходит
в установленный ранее критерий устойчивости ОТТЛ [3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воронин, П. В. Стационарные состояния бинарной системы электрически заряженных частиц во внешнем ортогональном магнитном поле / П. В. Воронин // Известия ВолгГТУ: межвуз. сб. науч. ст. № 3(51) / ВолгГТУ. — Вол-
гоград, 2009. — (Серия «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь» — вып. 3). — С. 19−23.
2. Воронин, П. В. Точки либрации в пространстве бинарной системы, стабилизированной во внешнем ортогональном магнитном поле / П. В. Воронин // Известия Волг-ГТУ: межвуз. сб. науч. ст. № 3(63) / ВолгГТУ. — Волгоград, 2010. — (Серия «Электроника, измерительная техника, радиотехника и связь» — вып. 4). — С. 17−23.
3. Воронин, П. В. Трехмерная ограниченная задача трех тел в условиях кулоновского и радиационного электромагнитного взаимодействия: автореф. дис. … канд. физ. -мат. наук / П. В. Воронин. — Волгоград, 2007. — 19 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой