Кривизна фазового пространства

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 514. 84
КРИВИЗНА ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
М. Г. Иванов
Московский физико-технический институт (государственный университет),
Россия, 141 700, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, 9.
E-mail: ivanov. mg@mipt. ru
Показывается, что электромагнитное поле в классической и квантовой механике естественным образом описывается через геометрию расширенного фазового пространства, в число координат которого входят время и сопряжённый ему импульс ро = -Е.
Ключевые слова: фазовое пространство, квантовая механика, калибровочная симметрия, кривизна, некоммутативная геометрия.
Введение. Квантовое коммутационное соотношение между координатой и сопряжённым импульсом имеет вид [Q, P] = ih, оно часто переписывается через операторы конечных сдвигов по координате и импульсу [1,2]:
и (и)=е~^, U (u)tp (Q) = tp (Q — и), и (и)ф (Р) = е~^ф (Р), (1)
V{v)=e V (v)tp (Q)=eф (Я), У (ь)ф (Р) = ф (Р + v). (2)
Коммутационное соотношение записывается в виде группового коммутатора
U (u)V (v)U~l (u)V~l (v) = U (u)V (v)U (-u)V{-v) = e^". (3)
Таким образом, последовательность сдвигов в фазовой плоскости (Q, Р) по замкнутому прямоугольному контуру площади uv соответствует умножению волновой функции на фазовый множитель е~. Это означает, что фазовой плоскости можно приписать постоянную кривизну в расслоении над группой U (1) аналогично кривизне, задаваемой в калибровочной U (1) теории тензором электромагнитного поля.
Можно связать между собой две хорошо разработанные области математической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочных полей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединяются в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространства над группой U (1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом пространстве [4].
Для частицы во внешнем электромагнитном поле характеристики поля уже не должны входить в гамильтониан, вместо этого в духе общей теории относительности (ОТО) заряженная частица свободно движется в искривлённом фазовом пространстве.
Хотя исходная идея связана с квантовыми коммутационными соотношениями, подобная переформулировка возможна как для классической, так и для квантовой механики.
Михаил Геннадьевич Иванов (к.ф. -м.н., доц.), доцент, каф. теоретической физики.
1. Коммутаторы и скобки Пуассона. Пусть Хк — координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторов и классических скобок Пуассона имеем
[Хк, ХЬ] = 1ЫКЬ, {Хк, Хь} = Зкь.
В нашей интерпретации — тензор кривизны фазового пространства (над группой и{ 1)).
В канонических координатах
Х^ =д Хр1=Ру, = -,]р^ = 5}, ^ =, 1Р^ = 0.
Переход от обобщённых импульсов Р к кинематическим импульсам р позволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких («новых канонических») координат х имеем
х^=дг = Яг, хр& gt- = р3 = Р3 — е~А^), {хк, хь}=1кь, (4)
рЪ = = /"V = 0) = е-{(кА3 — дзА±). (5)
Симплектическая форма со задаётся матрицей, обратной к матрице I, т. е.
икь1ьм = 5%.
qiPj ^pjqiJJqiqi 'PiPj (®)
В случае статических (не зависящих от времени) полей переход к «новым каноническим» координатам — это всего лишь замена координат в фазовом
тК Т & lt-->- т КТ
пространстве, 1 — это прежним тензор и в новых координатах, гамиль-
тониан — прежняя скалярная функции на фазовом пространстве, скобка Пуассона также остаётся прежней. Это автоматически доказывает (в силу произвольности выбора координат при тензорной записи скобки Пуассона), что и динамика системы остаётся прежней.
Поскольку между старыми и новыми координатами есть взаимно однозначное соответствие, мы будем нумеровать их одинаковыми индексами.
Утверждение 1. Движение классической или квантовой заряженной частицы во внешнем статическом магнитном поле Н может быть описано гамильтонианом свободной частицы
н = А
2 т
если на фазовом пространстве задана симплектическая форма вида (6), включающая в себя магнитное поле ^ = -е^кН^. Скобки Пуассона (классические или квантовые) задаются неканоническими соотношениями (5). Это описание соответствует гамильтониану
(Р — -А)2
Н = ±------с-^~
2 т
с векторным потенциалом, А (где Н = rot А), не зависящим от времени, в неканонических координатах х (4).
Похожий подход в рамках некоммутативной геометрии развивался Бел-лиссардом [3].
Чтобы в рамках данного подхода описать переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время х° = = t и соответствующий времени обобщённый импульс ро = -Е как дополнительные координаты.
2. Лагранжев формализм в расширенном конфигурационном пространстве. Пусть задан некий лагранжиан L (t, q, q), который явно зависит от времени. Мы можем переписать неавтономную систему как автономную, записав время t как функцию от некоторого монотонного параметра т:
'-%(*)] = J L (t, q, q) dt = J L (t, q, q'-/t'-) t'- dr, q
j (ЛіІ?
dt' ^ dr'-
Мы получаем новый (расширенный) функционал действия Sp[t®, q® с новым (расширенным) лагранжианом Ьр, который для любой траектории совпадает с исходным действием 5 [(?(?)], но зависит от другого набора функций:
Sp[t (T), q®]= J Lp (t, t'-, q, q'-)dT, Lp (t, t'-, q, q'-) = L (t, q, q'-/t'-) t'-.
Легко проверить, что уравнения Эйлера для старого и расширенного лагранжианов эквивалентны, причём
_ dLp _ dL _ dLp дЬ ^ _
Pi ~ dqi! ~ дф ' Ро ~ dt'- ~ дф q ~
Уравнения Лагранжа для расширенного лагранжиана для координат q® и времени t® с точностью до множителя t'- совпадают с уравнениями Лагранжа и уравнением баланса энергии для исходного лагранжиана
SSP _ ¦ 5S _ ,/fdL dpj 5SP _,/f9L dE
5ql (T) bql (t) dql dt J1 5t® V dt dt)'-
«Энергия» для расширенного лагранжиана тождественно равна нулю:
? = p0t'- + Piqг! — Lp = t'-(p0 + E) = 0.
Расширенное действие описывает ту же физическую систему, что и исходное, но поскольку выбор параметризации времени t® произволен (любая гладкая монотонная функция), уравнения Лагранжа оказываются зависимыми (уравнение баланса энергии выражается через остальные уравнения).
3. Гамильтонов формализм в расширенном фазовом пространстве. Для расширенного фазового пространства перейдём к гамильтоновому формализму. Соответствующее преобразование Лежандра оказывается неоднозначным. «Энергию» для расширенного лагранжиана надо выразить через координаты и импульсы (включая t и ро):
8 = t'-po + ql, pi — Lp = t'-(p0 +Pi& lt-? — L) =t'- (po + H (t, p, q)),
t'- не может быть определено из уравнений Лагранжа. Положим
t'- = f (t, po, q, p),
где / ф 0 — произвольная гладкая функция. Получается «гамильтониан»
H (t, p0, q, p) = f (t, po, q, p) ¦ (po + H (t, q, p)). (7)
Соответствующие уравнения Гамильтона («расширенные уравнения Гамильтона») имеют вид
dt дП, , & lt-9/, dPo 9П ОН df
dT = dn=f Wo й7 = -Ж = -/^-а (р" + я)'-
d^_m_fdE_ dj_ djH_ т_. он д]_
dr dpi f dpi Фг ^ dr dqi f dqi dq^P° ^
«На энергетической поверхности», т. e. если задать начальные условия, для которых ро = -Н, расширенные уравнения Гамильтона дают уравнение хода времени ^ = /, уравнение баланса энергии и уравнения Гамильтона для исходных координат и импульсов с новым временем т. При этом воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы.
Если / = const ф 0, то для любых начальных условий воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы, при этом
|(р о + Я) = 0,
т. е. начальное значение ро может быть произвольным и энергия Е = -ро оказывается определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Можно сказать, что в этом случае интеграл движения ро + H (t, q, p) — нулевой уровень энергии, который может быть выставлен произвольно.
Утверждение 2. Движение классической заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле Fij может быть описано «гамильтонианом» (7) свободной частицы
и = /(№ + ш) —
если на расширенном фазовом пространстве (включающем время и энергию) задана симплектическая форма (6), включающая электромагнитное поле F^. Описание соответствует «гамильтониану»
е, , (Р — & quot-А)2
с потенциалом А^ = (Ао, А) в неканонических координатах х (4) на расширенном фазовом пространстве.
4. Квантовая механика с расширенным гамильтонианом. В квантовом случае импульс в «координатном по времени» представлении ро = При
/ = 1 имеем
П=р0 + Н, (8)
что даёт обычное уравнение Шрёдингера:
'-Нф = 0 ^-ih^+H^(t) = 0. (9)
При ином выборе функции / ф const мы можем также воспроизвести уравнение Клейна-Фока-Гордона:
К = f ¦ (Ро + Н), f=p0-H, Н = л/m2^TpV,
% = pi — Н2 = pi — р2с2 — т2с4, % = c2h2(^A -& quot-22) — гп2с4.
Вернёмся, однако, к случаю / = 1 как простейшему и, вероятно, наиболее фундаментальному.
В энергетическом (импульсном ПО времени) представлении Ро = -Е, и мы получаем стандартное стационарное уравнение Шрёдингера
(~Е + Й) ф (Е) = 0
с нормировкой на вероятность данной энергии (ф (Е)ф (Е)) = ре и нестандартной интерпретацией: ф (Ь) и ф (Е) связаны между собой преобразованием Фурье.
Несмотря на то, что в расширенный классический гамильтониан время входит на общих основаниях с другими координатами, в квантовой механике между ними возникает различие за счёт определения пространства волновых функций, которые не являются квадратично интегрируемыми по времени.
Уравнение (9) имеет вид уравнения на собственную функцию оператора TL с собственным числом 0. Мы можем написать аналогичное уравнение для произвольного собственного числа Eq € R:
НФе0 = Ео {~^dt + =
Уравнения (10) описывает ту же самую динамику, что и уравнение (9), но с нулевым уровнем энергии, сдвинутым на Eq. Решения этих уравнений отличаются на фазовый множитель
Фе o (t) =
Ненормируемость волновых функций Фе0 при интегрировании по всем координатам, включая время, связана с тем, что функции относятся к непрерывному спектру. В стандартной формулировке квантовой механики, где время рассматривается не как координата, а как параметр, естественное пространство волновых функций — гильбертово пространство L2(Mra), при включении времени в число координат волновая функция должна принадлежать оснащённому расширенному гильбертовому пространству Ф- D L2(Mra+1) D Ф.
Утверждение 3. Движение квантовой заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле Fij может быть описано волновой функцией из оснащённого расширенного гильбертова пространства Ф- D Ьг (М4) D Ф,
которая является собственной функцией непрерывного спектра «гамильтониана» (8) свободной частицы
& quot- л. Р2 П=т + 2^
для произвольного собственного числа. Квантовые скобки Пуассона задаются неканоническими соотношениями (5), включающими электромагнитное поле Рц. Это описание соответствует стандартному временному уравнению Шрёдингера с гамильтонианом
е (Р — -А)2 И = -А0 + 1 с —, с 2 т
с потенциалом А^ = (Ао, А) (где ^ = с^А, — -д3Аг) в неканонических координатах на расширенном фазовом пространстве х (4) и с волновой функцией •0(?, г) которая рассматривается не как функция? -& gt- ?2(К3), а как элемент пространства Ф- I) ?2(К4) I) Ф.
5. Пространство волновых функций. Однако пока волновые функции — по-прежнему функции на конфигурационном пространстве, хотя и расширенном. Чтобы получить функции, зависящие как от координат (включая ?), так и от импульсов (включая ро = -Е), воспользуемся представлением волновых функций как элементов оснащённого пространства Фока.
Далее будем считать, что координаты и импульсы обезразмерены.
Когерентное состояние 1рг (где г = ЧОу|р° € С™, qo, Po € Мга) получается из основного состояния п-мерного изотропного гармонического осциллятора
1 ~2
о (ч) =
с помощью сдвига по координате на qo и импульсу на ро, т. е. с помощью некоторой комбинации операторов (1) и (2) для разных координат и импульсов. В зависимости от того, вдоль какой траектории в фазовом пространстве осуществляется сдвиг, когерентные состояния с одинаковым г могут отличаться друг от друга на фазовый множитель, что связано с некоммутативностью сдвигов по координате и импульсу (3).
Набор когерентных СОСТОЯНИЙ {фг}г?Сп не является базисом (поскольку переопределён), но образует ортоподобную систему:
[ Фт)(Фт. с1гс1г* = 7Тп ¦ 1. (11)
Любой ВОЛНОВОЙ функции ф (с[) МЫ можем сопоставить функцию Ф^о, Ро) =
= Ф (г):
Ф (г) = (фг*ф).
В силу (11) функция Ф обладает многими свойствами настоящей волновой функции, например,
|Ф|2 в классическом пределе переходит в совместное распределение вероятности на фазовом пространстве.
Поскольку когерентные состояния определены с точностью до фазового множителя, функция Ф^, р) определена с точностью до умножения на ег& quot-(ч'р), т. е. с точностью до локального калибровочного предобразования группы II (1).
Если все когерентные состояния были получены ИЗ фо сдвигом вдоль прямой в фазовом пространстве (это условие фиксирует калибровку), то
Ф (г) = е"^ /(г), (12)
где /(г) — функция из пространства Фока.
Пространство Фока [2, 5] (в указанных книгах пространство Фока описывается, но термин «пространство Фока» не используется) — пространство аналитических функций /(г) комплексных переменных г = (г,…, гп), на котором определено скалярное произведение
В пространство Фока Т& gt- включаются только те функции, для которых скалярный квадрат (/, /) конечен.
На пространстве Фока
9 Л I Л ~дхь % к Л ~о?7 ~
«' = 8? & lt- = ® = Рк = ^Г'- (13)
что позволяет построить представление других операторов, выражающихся через координаты и импульсы.
Мы можем определить расширенное пространство Фока, добавив ещё одну комплексную переменную Хо-
Пространство Фока является гильбертовым пространством, и мы можем определить оснащённое пространство Фока Рг I) Т& gt- И& gt- Р, выделив в Т& gt- линейное всюду плотное подпространство Р.
Таким образом, в качестве аналога волновых функций на фазовом пространстве мы можем взять (12):
Ф {я, р)=еГ3^~Ч = (Чо, Чъ---Лп), Р = (Ро, Р1,---, Рп), (14)
где функция /: Сга+1 -& gt- С принадлежит оснащённому расширенному пространству Фока. Соответствующее представление гамильтониана может быть построено с помощью представления (13) операторов координаты и импульса, полагая г =
Утверждение 4. Собственная функция из оснащённого расширенного гильбертова пространства Ф- I) Ьг (М4) I) Ф (см. Утверждение 3) для «гамильтониана»
Н = Ро--Ао+ (Р ~ ^А)2 с 2 т
может быть представлена как элемент / оснащённого расширенного пространства Фока Р'- I) V I) Р, на котором «гамильтониан» (8) действует согласно правилу (13). Комплексной аналитической функции / можно сопоставить функцию на расширенном фазовом пространстве (14):
Локальные калибровочные преобразования с группой U (1) для функции на расширенном фазовом пространстве имеют вид Ф (q, p) -& gt- Ф (q, p) • eta (q'p
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11 -01 -828-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Н. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. New York: Dover, 1931. 444 pp.- русск. пер.: Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика. М.: Наука., 1986. 496 с.
2. Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Текдии по квантовой механике для студентов-мате-матиков. М., Ижевск: РХД, 2001. 256 с.- англ. пер.: L. D. Faddeev, О. A. Yakubovskii, Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students / Student Mathematical Library. Vol. 47. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. xii+234 pp.
3. J. Bellissard, «Noncommutative Geometry of Aperiodic Solids» / In: Geometric and Topological Methods for Quantum, Field Theory (Villa de Leyva, 2001). River Edge, NJ: World Sci. Publishing, 2003. Pp. 86−156.
4. J. M. Isidro, M. A. de Gosson, «A gauge theory of quantum mechanics» // Mod. Phys. Lett. A., 2007. Vol. 22, no. 3. Pp. 191−200.
5. М. Г. Иванов, Как понимать квантовую механику. М., Ижевск: РХД, 2012. 516 с. [М. G. Ivanov, How to understand quantum mechanics. Moscow, Izhevsk: ROD, 2012. 516 pp. ]
Поступила в редакцию 17/ХИ/2012- в окончательном варианте — 15/11/2013.
MSC: 51P05, 81Q70
PHASE SPACE CURVATURE
M. G. Ivanov
Moscow Institute of Physics and Technology (State University),
9, Inststitutskii per., Dolgoprudnyi, Moskovskaya obi., 141 700, Russia.
E-mail: ivanov. mg@mipt. ru
Electromagnetic field in classical and quantum mechanics is naturally represented by geometry of extended phase space, with extra coordinates of time and canonically conjugate momentum po = -E.
Key words: phase space, quantum mechanics, gauge symmetry, curvature, noncommutative geometry.
Original article submitted 17/XII/2012- revision submitted 15/11/2013.
Mikhail G. Ivanov (Ph.D. (Phys. & amp- Math.)), Associate Professor, Dept, of Theoretical Physics.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой