Прямой метод и алгоритм построения сплайнов третьего порядка в задачах управления работой приводов движения

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Литература
1. Бодров A.C. Автореферат диссертации «Технология ремонтного окрашивания сельскохозяйственных машин порошковыми красками» на соискание учёной степени кандидата технических наук, Москва 2007.
Прямой метод и алгоритм построения сплайнов третьего порядка в задачах управления работой приводов движения
д.т.н. проф. Гданский Н. И., доц. к.т.н. Карпов A.B., асп. Бугаенко A.A.
Университет машиностроения, РГСУ 8(905) 7 658 738, al-kp@mail. ru
Аннотация. При использовании предсказания в управлении вращательным движением возникает необходимость построения дважды гладкой траектории, проходящей через ранее измеренные ее узловые точки. В качестве кусочно-полиномиальной кривой, обеспечивающей требуемую гладкость, рассмотрены интерполяционные кубические сплайны, которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в узлах с гладкостью степени 2. При наложении дополнительных краевых условий данные сплайны минимизируют ее суммарную кривизну.
Ключевые слова: интерполяционные сплайны, задачи управления, алгоритмы прогнозирования, кинематические характеристики, сплайны Эрмита.
Введение
Основным путем повышения эффективности оборудования является автоматизация основных и вспомогательных производственных операций. Выполнение последних, как правило, сопровождается недетерминированным изменением внешней нагрузки на приводах. В работе [1] на наборе эталонных кривых произведен сравнительный анализ эффективности методов интерполирования траектории перемещения в задаче управления приводами с прогнозированием внешней нагрузки. Результаты показали, что наилучшим методом интерполирования в задачах управления приводом движения является интерполирование сплайнами Фергюссона. Рациональным шагом является проведение дополнительного исследования на предмет возможности модификации метода с целью снижения вычислительных затрат и увеличения точности.
В цифровых системах управления вращательным движением при моделировании внешней нагрузки M = M (t, ф (t)), действующей на рабочий вал привода вращательного движения, в виде набора постоянных коэффициентов Mk, имеющих смысл усредненных значений частных производных по времени t и углу поворота вала ф, мгновенную величину M (t, Ф (t)) в общем случае можно представить в виде скалярного произведения M (t, ф^)) = (Mk, фk (t)), в котором вектор фk (t) называемый вектором кинематических характеристик, соответствующим модели Mk, зависит только от t и производных ф по t, имеющих порядок от первого до k — порядка модели Mk.
При таком способе представления внешней нагрузки для расчета управляющего воздействия в данной системе используется работа A, которую должен совершать двигатель на заданном периоде импульсного управления T. Необходимая величина работы на отрезке изменения времени [ti, ti+1] как функция времени будет рассчитываться по формуле:
ti+i _
At (t) = (Мk ^ (t))p'-(t)dt. (1)
ti
Как следует из общего вида формул, получаемых после раскрытия интеграла (1), в них
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
входят только производные ф по 7, порядков от 1 до к. В частности, в случае использования модели нагрузки второго порядка М2 максимальный порядок производных ф по t в формуле (1) равен 2. Поскольку сама зависимость ф (7) в (1) явно не входит, то это свойство решаемой задачи можно использовать для упрощения вспомогательной задачи интерполирования траектории перемещения вала по заданным ее узловым точкам.
Допустим, задан упорядоченный массив узлов Р/ = (7г, фг) (/ = 0, …, п), лежащих на траектории перемещения. Для построения кусочно-полиномиальной кривой второй степени гладкости, проходящей через заданные узлы, наилучшим решением являются интерполяционные кубические сплайны [2, 3], которые на промежутках между узлами представляют собой кубические параболы, непрерывно соединяющиеся в точках 71, …, 7п-1 (называемых внутренними) с гладкостью степени 2. Также они обладают следующим важным свойством. Если наложить на сплайн в начальном и конечном узле краевые условия ф& quot-(70) = ф& quot-(7п) = 0, то он будет минимизировать функционал
J (ф (7)) = | ф& quot-(7)|2 & amp-,
который в случае перемещения равен минимуму работы, совершаемой инерционными нагрузками, создаваемыми перемещаемым звеном.
Рассмотрим глобальную переменную 7. В математической форме полная совокупность геометрических условий относительно 7, накладываемых на кубические параболы {Б/ (7), /=1,2,…, п}, имеет вид:
а) ф (7) = (7) при 7/-1 & lt- 7 & lt- / =1, 2, …, п. — условие кусочности ф (7) —
б) Б / (7г-1) = Р/-1- Б / (7г) = Р, / = 1, 2, …, п — условия прохождения сплайна Б / (7) через заданные узлы ломаной Р/-1 и Р-
в) Б'- (7/) = Б1+1 '-(7г.), / = 1, …, п-1 — гладкость порядка 1 во внутренних узлах-
г) Б& quot-(7.) = Б+1'-'-(7/), /=1, …, п-1 — гладкость порядка 2 во внутренних узлах-
д) Б1& quot-(70) = Бп& quot-(7п) = 0 — краевые условия в начальном и конечном узлах. (2)
Общепринятым методом построения кубических интерполяционных сплайнов является использование локальных сплайнов Эрмита. Данные сплайны строят по двукратным узлам 7, в которых помимо значений Б/ (7.) заданы также величины первых производных Б/(7). Поскольку в исходной задаче значения первых производных Б/(7г) не задаются, их рассматривают в качестве неизвестных величин задачи, для решения которой составляют линейную систему уравнений. Матрица ее трёхдиагональна, что позволяет решать систему при помощи специальной упрощенной модификации метода Гаусса — метода прогонки [1, 2]. Основными стадиями метода прогонки являются:
1) расчет коэффициентов матрицы,
2) прямая прогонка,
3) обратная прогонка.
Расчет трудоемкости реализации алгоритма прогонки (таблица 1) показывает, что при максимальном сокращении расчетных формул вычислительные затраты при построении п сплайнов относительно невелики и составляют (после суммирования пп.1 — 3 таблицы 1): сложений 9п-3, умножений 8п-3, делений 4п-2.
Существенной особенностью данного метода является то, что:
1) независимой переменной каждого сплайна Б / является нормированная на отрезке [7г-1- 7,] локальная переменная х, = (7 — 7/-1)/Н, где И/ =(7/ - 7г-1),
2) результирующие сплайны Б/ имеют вид полиномов Эрмита.
При каждом расчете значений сплайна Б/ переход 1) от глобальной переменной 7 к локальной х, при однократном расчете длин отрезков требуется выполнение одного вычитания
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
и одного деления.
Таблица 1
Расчет минимального числа расчетных операций при построении п сплайнов
Стадии Сложения и вычитания Умножения Деления
1. Расчет коэффициентов матрицы 5п-2 4п-2 (п-1)
2. Прямая прогонка 3п-1 3п-1 3п-2
3. Обратная прогонка п п 1
4а. Переход к каноническому виду по т, 5п 5п 0
46. Переход к каноническому виду по t 19п 28п 2п
ИТОГО при переходе к каноническому 14п-3 13п-3 4п-2
виду по и,
ИТОГО при переходе к каноническому 28п-3 36п-3 6п-2
виду по X
Однако затраты при расчете полинома Эрмита 2) по сравнению с использованием схемы Горнера для кубического полинома (3 сложения и 3 умножения) слишком высоки, и при большом числе расчетов значений сплайна Б. необходимо перейти от полинома Эрмита к каноническом виду по локальной переменной т. Данный переход при максимальном сокращении расчетных формул при построении п сплайнов требует относительно невысоких вычислительных затрат (п. 4а таблицы 1): сложений 5п, умножений 5п.
Таким образом, для построения п сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от локальных переменных т., необходимо затратить (сумма пп.1 — 4а таблицы 1): сложений 14п-3, умножений 13п-3, делений 4п-2.
Существенной особенностью интерполирования при решении рассмотренной выше задачи управления является то, что в формулы интегралов работ (1) входят только старшие коэффициенты {С1, С2, С3} канонических кубических полиномов, зависящих от глобальной переменной t. Свободный коэффициент Со не входит. Переход от сплайнов в форме полиномов Эрмита, зависящих от локальных переменных т., к каноническим полиномам по глобальной переменной t, требует значительных вычислительных затрат (п. 4б таблицы 1). В сумме для построения п сплайнов в форме канонических полиномов, зависящих от глобальной переменной t, необходимо затратить (сумма пп.1 — 3 и 46 таблицы 1): сложений 28п-3, умножений 36п-3, делений 6п-2.
Постановка задачи
Для существенного снижения вычислительных затрат предложен прямой метод построения кубических интерполирующих сплайнов, в котором сплайны рассматриваются сразу в канонической форме по глобальной переменной t без использования полиномов Эрмита, а также не рассчитываются свободные коэффициенты сплайнов Со. Такое интерполирование в отличие от традиционного назовем частичным.
Введем для упрощения расчетов новую относительную глобальную переменную т = t —
Постановка задачи. На плоскости тОф задан набор из (п +1) точки вида Р. = (ф., т.), '- = 0 ,…, п. Рассмотрим на отрезках [р. _1-Р. ] кубические сплайны:
Б. (т) = Со'- + С/ т + С2 т2/2 + С3 т3/3,'- = 1, п. (3)
Необходимо найти коэффициенты {С/, С2'-, С3'-} всех сплайнов {Б. (т)} ('- = 1, …, п) из условия гладкости степени 2 во внутренних узлах при заданных краевых условиях:
й& quot-(0) = 0- Бп& quot-(Тп) = 0. (4)
Поскольку свободные коэффициенты С0'- сплайнов {Б. (т)} не требуется определять, рассматриваем вместо Б. (т) их первые производные, которые являются квадратными параболами вида:
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
/Дт) = (Б (т)У = С1г + С2 т + Сэг т2. (5)
Таким образом, частичное решение задачи интерполирования (без определения свободных коэффициентов) сплайнов Б, (т), зависящих от глобальной переменной т, сведено к полному расчету коэффициентов {С/, С2'-, Сз'-,, = 1, …, п} соответствующих им квадратных парабол {/'-(т)} (5).
Прямой метод частичного решения задачи интерполирования
Для решения задачи полного расчета коэффициентов {С/, С2'-, Сз'-, '- = 1, …, п} квадратных парабол {/'-(т)}, зависящих от глобальной переменной т, предложено использовать упрощённый (по сравнению с прогонкой, основанной на использовании полиномов Эрмита) метод, основная идея которого заключается в непосредственном расчете искомых коэффициентов без использования промежуточных представлений. Поэтому метод назван прямым.
Для определённости параболу /х (т) будем называть начальной, параболы /2(т) — /п-1(т) — внутренними, /п (т) — конечной. Как и в методе прогонки, в предлагаемом методе для расчета искомых коэффициентов используем прямой и обратный ход.
Прямой ход
Основная идея прямого хода заключается в том, что старший коэффициент текущей параболы /'-(т) ('- = 1, …, п-1) линейно выражается через старший квадратный коэффициент С3'-+1 следующей за ней параболы /'-+1(т), а свободный С1'- и линейный С2'- коэффициенты параболы В'-(т) выражаются С3'-:
Сз'- = Аз'- Сз'-+1 + Вз'--
С'- = А1 Сз'- + В1-
С2'- = А2 '- Сз'- + В2 '-. (6)
Отдельно рассмотрим начальную параболу /х (т), внутренние параболы /2(т) — /п-1(т) и конечную /п (т).
1. /х (т). Из условия? У'-(0) = 0 следует: (/х (0))'- = С21+Сз1−0 = 0. Отсюда получаем: С21 = 0. При этом для коэффициента
С21: А21 = В21 = 0. (7)
Из условий прохождения сплайна ^(т) через точки Р0 = (ф0, т0 = 0) и Р1 = (ф1, т1) следу-
Б1 (ю= 0) = С01 = Ф0- (ц) = С01+ С11 Т1 + С21 Т12/2 + Сз1 Т13/3 = Ф1.
Вычтем из второго соотношения первое с учетом С21 = 0:
С1Ч1 + Сз1 Т1з/з = Аф1, где Дф1 = ф1 — ф0.
Из этого равенства выразим линейную зависимость С11 (Сз1):
С11 = Дф1 /ц — Сз1 Т12/з = А11 Сз1 + В11- А11 = -ц2 /з- В11 = ДФ1 /ц. (8)
Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С11 и С21 начальной параболы через старший Сз1 следующие:
А11 = -ц2 /з В11 = ДФ1/Т1
А21 = 0 В21 = 0. (9)
Выражение (6) для старшего коэффициента Сз1 у начальной параболы определяется при анализе параболы /2(т).
2. Рассмотрим внутренние параболы /'-(т), г = 2, ., п -1.
К началу их анализа для предыдущей параболы /'--1(т) известны линейные зависимости:
С1'--1 = А1'--1 Сз'--1 + В1'--1-
С2'--1 = А2'--1 Сз'--1 + В2'--1. (10)
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология Подставим формулы парабол В'--1 (т) и / (т) в условия гладкости второй степени в узле
т = Т'-_1 для сплайнов 8−1 (т) и 8 (т) (^'-(тм) = 8/(^-1) — ^& quot-(т^) = ^'-(т^)):
С1'--1 + С2'--1 Т'-_1 + Сз'--1 Т'-_12 = С1'- + С2 Т'--1 + Сз'- Т'-_12-
С/-1 Ъ '-- 1 __'- I '-
2 + 2СзМ = С2 + 2Сз
Умножая обе части второго соотношения на (-Тм), складываем его с первым. При этом
получим систему уравнений более простого вида:
1−1/^ '--1 2 _ 1/^1 2
С1 — Сз Т'--1 = С1 — Сз Т'--1 —
С2'--1 + 2Сз'--1 Т'--1 = С2 + 2Сз'- Т'--1.
Подставим в уравнения полученной системы зависимости (10): (А1'--1 — Т'--12)Сз'--1 + В1'--1 = С1'- - Сз'- Т'--12- (А2'--1 +2Т'--1) Сз'--1 + В2& quot-1 = С2'- + 2Сз'- Т'--1. (11)
Из условий Si (Т'--1) = ф'--1- Si (т-) = ф- получим уравнение:
С1'- + С2'-(Т'--1 + Т'-) /2 + Сз'-(Т'--12 + Т'--1Т'- + т2) /з = Дф'- / Дтъ (12)
где Дф '- = Дф '- - ф '--1, Дт '- = %'- - т'--1.
Складывая (12) с первым уравнением (11) и вторым, умноженным на (т+ т'-) /2, получим соотношение, содержащее только коэффициенты Сз'--1 и Сз'-:
(А1'--1 — т'--12)Сз'--1 + В1'--1 + (А2'--1 + 2т'--1) Сз'--1(т '--1 + т'-) /2 + В2'--1(х-1 + т) / 2 + Сз'-(т '--12 + тыт'- + т 2) /з = Дф '- / Дт '- - Сз'- т '--12 + 2Сз '-х '--1 (т '--1 + т '-) / 2.
Преобразуя его, выразим Сз'--1 через Сз'-: Сз'--1 [А1'--1 + А2 '--1(т '--1 + т '-) /2 + т '--1Х ] = Сз'-[-(т '--12 + т мт '- + т 2) /з + т мт '-] + Дф '- / Дт '--1 — В1'--1 —2 '--1(т '--1 + т '-)/2-
Сз'--1 = Аз'--1 Сз'- +Вз'--1- где Т ('-)кв =т'-2- Аз'--1 = - Дт0кв / (зЯ) — Вз'--1 = (Дф '- / Дт '- - В1Л — Я2М т/К-
т '-ср = (т '--1 + т '-) /2 — Р = А1'--1 + А2'--1т '-ср + тт, (1з)
После подстановки (1з) в уравнения системы (11) выражаем из них искомые зависимости С1'-(Сз'-) и С2'-(Сз'-):
С1'- = (А1'--1 — т '--12)Сз'--1 + В1& quot-1 +Сз'- х'--12 = (А1'--1 — т'--12)(Аз'--1 Сз'--1 + Вз'--1) + В1−1 +Сз'- х 1Л2 = А1 Сз + В1 ,
где Р = А1'--1 — Т ('--1)КВ- А1'- = Аз'--1 Р + т^- В/ = Вз'--1 Р + Я^-1-
С2'- = (А2'--1 +2т '--1) Сз'--1+ В2& quot-1 — 2Сз'- т '--1 = (А2'--1 +2т '--1) (Аз'--1 Сз'--1 + Вз'--1)+ В2−1 — 2Сз'- т '--1 =А2'- Сз'- + В2- где
Т ('--1)У2 =2т'--1- О'- = А2'--1 + Т ('--1)У2- А2 '- = Аз'--1 О'- - Т ('--1)У2- В2 = Вз'-- О'- +. (14)
Расчетные формулы для выражения младших коэффициентов С и С2'- и старшего коэффициента Сз'--1 параболы В'--1 через старший коэффициент Сз'- параболы / следующие: Х ('--1)кв=Х ('--1) 2- Т ('-)КВ =т?2- т? ер = (т?-1 + т?) /2 — Дф '- = Дф '- - ф?-1, Дт '- = т '- - т?-1-
-К = А1'--1 + А2'--1т '-0р + т '--1Т '-¦- Р = А1'--1 — Т ('--1)КВ- Х ('--1)У2 =2т '--1- О1 = А2'--1 + Т (м^-
Аз'--1 = - Дт (1)кв / (зЛ) — Вз'--1 = (Дф '- / Дт '- - В1'--1 —2 '--1 т ^р) /К- (15)
А1 = Аз'-'-1 Р + Тс-1)КВ- В1 = Вз'--1 Р'- + В1& quot-1-
А2 = Аз'--1 О'- - тс-1)У2- В2 = Вз'--1 О'- +2 '--1.
з. Конечная парабола Вп (т).
К началу ее анализа для предыдущей параболы Вп-1(т) известны зависимости:
СГ-1 = АГ-1Сзп-1 + В1п-1- (16)
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология
/ ¦ п-1 _ (п-1 ^ п-1 ! Г) п-1
С 2 = А 2 С3 +2.
Из условий гладкости второй степени в предпоследнем узле т = т п-1 для сплайнов Бп-1(т) и Б"(т) (Б и-1'-(ти -1) = Б"'-(т" -1) — Б и-1& quot-(ти -1) = Б"& quot-(х" -1)) получим:
П п-1 _1_ П п-1 _ _1_ П п-1 _ 2 _ ^ п,-, п, ^ п 2.
С1 + С2 Т п-1 + С3 Т п -1 = С1 + С2 Т п -1 + С3 Т п-1-
С2п-1 + 2С3 п-1 п-1 = С2п + 2С3п п -1.
Аналогично умножаем обе части второго соотношения на (-тп-1), складываем его с первым и получаем систему более простого вида:
п-1 п-1 2 _ п п 2
С1 — С3 Т п -1 = С1 — С3 Т п-1 —
С2п-1 + 2С3п-1
п -1 = С2п + 2С3п п -1.
Подставим в уравнения системы зависимости (16):
(А1п-1 — тп -12)С3п-1 + V-1 = С1п — С& quot- тп-12-
(А2п-1 + 2тп -1)С3п-1 + В2п-1 = С2п + 2С3п Т п -1.
(17)
Аналогично из условий ^(Тп-О Ф п -1- Бп (Тп) фп получим уравнение: С1п + С2п (Тп -1 + т п)/ 2 + С3п (Тп -12 + т п -1 т п + т п 2)/ 3 = Аф п / Дт п, (18)
где Дф п = Дфп — ф п -1, Дт п = 1 п — 1 п -1.
Дополнительно для данной параболы из второго краевого условия (4) получим еще одно уравнение:
С2п + 2С3п Тп = 0. (19)
Четыре уравнения системы (17) — (19) содержат 4 неизвестных коэффициента: С
3
С1п- С2п- С3п. Найдем их величины. Выразим из (17) С2п (С3п):
С2п = А3п С3п + В3п,
где
А3п = 2тп- В3п = 0. (20)
Полученное выражение подставим во второе выражение (17) и найдем зависимость С3п
-1 (С3п):
(А2 п -1 + 2тп -1)С3п -1 + В2 п -1 = - 2С3 п Хп + 2С3 п хп -1-
п -1 п -1 п п -1
С3 = А 3 С3 + В3 ,
где
А3п -1 = - 2Дтп / (А2 п-1 + 2тп -1) — В3 п -1 = -2 п -1 / (А2 п-1 + 2 т п -1). (21)
Подставляя данную зависимость в первое уравнение (17), найдем из него выражение для С1п (С3п):
(А1п -1 — т п -12)[-(2ДТ п С3 п + В2 п -1)/(А2 п -1 + 2тп -1)] + В1п -1 = С1п — С3 п х п -12- С1п = А1п С3п + В1 п, где
А1 п = [-2Дтп (А1 п -1 — Тп-12)/(А2 п -1 + 2 т п -1) + т п -12]-
(22)
В1п =В2 п -1 (А1п -1 — Тп -12)/(А2 п -1 + 2тп -1)+В1п -1.
Подставляя зависимости (20) и (22) в уравнение (18), найдем из него выражение для коэффициента С3п:
Серия 4. Химическое машиностроение и инженерная экология +2х" -1) + Вхп -1 — 2Сз п х"(х" -1 + Хп)1 2 + Сз & quot-(т" -12 + т" -1 т" + х" 2)/ 3 = Аф" / Ат" —
(23)
Сз п =[АФп/Атп-52 п -1(АГ -1 — Тп -12)/(А2 п -1 + 2тп-1)-5Г -1]/[-2Дт «(Ах -1-т п лШг п -1+ +2тп -1)-2Атп (2тп -1+тп)/3].
Таким образом, для конечной параболы Оп (х) величина старшего коэффициента С3п определяется не зависимостью вида (6), а формулой (23).
Для сокращения числа расчетных операций предложен следующий алгоритм расчета коэффициентов конечной параболы {С1п- С2п- С3 п}и значения старшего коэффициента С3п-1 параболы Бп -1(т):
С3 п =[Афп/Атп-52 п -1 Е п -В& quot--1]/[Р п (Е п+(0 п+Тп)/3]- где Т (п-1)КВ=Тп -12- О п=2хп-1- Нп=1/(А2 п-1+О п) — Е п=(А1п -1-т (п-1)КВ)Н п- Р п =-2Дт п-
С1п = [р пЕ п + т (п -1)КВ] С3 п + В2 п -1Е п +В1п -1- (24)
С2 = (- 2тп) А3п С3п-
С п -1_р п н п С п В п -1НН п
Обратный ход.
Заключается в последовательном расчете коэффициентов оставшихся квадратных парабол Э'-(х), '- = п-1,.,., 1. Выполняется в последовательности, обратной прямому ходу.
Для каждой параболы О'-(х) (?=п-1,…, 1) по уже рассчитанному значению старшего коэффициента С3г+1 параболы Э1+1(х) по формулам (6) вначале рассчитывается старший коэффициент С3'-, а по нему — младшие С1'- и С2'-.
Расчетный алгоритм и оценка его трудоемкости
Начальные данные: координаты точек р = (ф-, xi), ('-'- = 0, …, п), Хо = 0.
Необходимо определить: массивы коэффициенты {С/, С2'-, С3'-} набора сплайнов {Б (т)} ('-'- = 1, …, п), обеспечивающих гладкость второй степени во внутренних узлах при краевых условиях: Бо'-(0) = 0- Б -Г (0 = 0.
Начальные действия. Вводим вспомогательные массивы{А3'-}, {53'-}, {А^}, {В11}, {А2'-'-}, {52/}, в которых номера элементов изменяются от 1 до п -1. Поскольку в расчетах коэффициентов соседних парабол повторяются вычисления квадратов значений времени х, то перед началом вычислений предварительно рассчитываем их:
Т ('-)кв =т2- 1, …, п. (25)
Шаг 1. Прямой ход. Расчет вспомогательных коэффициентов А11, В11, А21, В2 для начальной
параболы ^(т). Из (9) следует: А11 = -Т (1)КВ / 3- В1 = (ф1 — Ф0)/ц- А21 = ^ = 0. (26)
Шаг 2. Прямой ход. Цикл по внутренним параболам ('- = 1, …, п -1). Расчет вспомогательных коэффициентов А1'-, В1'-, А2'-, В2'- для внутренней параболы О'-(х), а также коэффициентов А3'--1, В3'-'-1 для параболы 0'-'-1(х) выполняем по формулам (15): Т'-Ср = (Т'--1 + X'-) /2 — Дф'- = Дф'- - ф'-_1, АХ'- = X'- - т^- К = А1'--1 + А2лХ'-Ср + т^Х'---
Р = А1'-1 — Т ('-_1)КВ- Х ('-_1)у2 =2Т'-_1- О'- = А2'-1 + Т ('-_1)У2- А3'--1 = - ДТ ('-)КВ / (3Я) — В3& quot-1 = (Дф'- / Ах, — В1& quot-1 — В2& quot-1 Т'-Ср) /К- (27)
А1'- = А3'--1 Р + Т ('-_1)КВ- В1'- = В3'--1 Р + ВЛ- А2'- = А3'--1 О'- - Т ('-_1)У2- В2 = В3'--1 О'- + В2'--1.
Шаг 3. Прямой ход. Расчет коэффициентов С3п, С1п, С2п, С3 п-1 выполняем по формулам

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой