Квантовый слой с двумя электронами: функция Грина

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

КВАНТОВЫЙ СЛОЙ С ДВУМЯ ЭЛЕКТРОНАМИ: ФУНКЦИЯ ГРИНА
Л. В. Гортинская, С. Б. Левин, И.Ю. Попов
Получена асимптотика функции Грина для двухчастичной задачи в системе нанослоев с граничными условиями Неймана. Использован метод свертки.
Вступление
Создание элементной базы квантового компьютера — одна из наиболее бурно развивающихся областей наноэлектроники. В настоящее время предложены несколько вариантов реализации квантовых вычислений, в частности, с использованием ядерного магнитного резонанса, ионных ловушек, сверхпроводящих эффектов, квантовых точек и др. [1]. В последнее время появилась идея использовать для этой цели резонансные эффекты в квантовых слоях и волноводах [2]. При описании электронного транспорта в металлических нанослоях задача сводится к решению уравнению Шредингера для свободного электрона в соответствующих областях, при этом граничные условия зависят от спина электрона и могут меняться при приложении внешнего магнитного поля. [3, 4]. Основой квантовых вычислений являются двухкубитовые операции, следовательно, требуется решить задачу о двух электронах.
В статье изучена функция Грина для случая двух невзаимодействующих частиц в трехмерных бесконечных слоях с граничными условиями Неймана. Для построения функции Грина используется метод свертки, базирующийся на представлении одночас-тичной функции Грина.
Функция Грина
Известна функция Грина для одной частицы:
? (X, X '-,?) = ?-
-008-
Х3ПП ХпПП 1 -008-
н
(1)
^ПП--^ '-/(Х1 — Х)2 +(Х2 — -
, (1)
?. _ 1 ~ 7 — -- 7 --II -*"| -л Т7 «Я '-- I '- • I Г ¦ '- '- / -¦/ г 4 '-
п=о Л (5п0 +1) Л Л 4
Ч У
где X (х1,у, z1)),(х'-, у'-, г'-)). Добавление в систему новой частицы эквивалентно возрастанию размерности пространства до К, что соответствует трехчастичной задаче (роль третьей частицы играют границы области). В этом случае Xу'-,?Д (Х2,У2,^)), X'-^& gt-(('-, у'-, х'-),(х2,у2,х2)). Будем искать функцию Грина как интеграл по контуру Ь вокруг спектра соответствующего оператора (спектр лежит на неотрицательной части вещественной оси):
а (X, X'-, Е) = -П | g1 (, %,?)• ?2 (, Х2, Е (2)
2пгь
Подставим известное выражение для функции Грина одной частицы (1) в (2):
С (X, X'-, Е) = -XI
2п П=0 т=о Л2(5по + 1)(Зто +1)
2, пп 2, пп хпт хпт (г 008-'--008-'--008--008 2
Л
Л
Л
Л
0н0'-) (^П2-?у1(х — Х)2 + (У'- - у'-)2 ] • н0'-) (^П — Е + Ц (х2 — Х2)2 + (- у2)
(3)

Введем новые переменные: Я, = ^(х, — х'-)2 + (у, — у'-)2, Я2 = ^(х2 — х2)2 + (у2 — у2)2 ,
С Е Б г/ = -, а = -. Будем вычислять интеграл
п2 П
I = п21Щ
п

¦ Н (1) 110
j2 2 п т 2 2 — м + п ¦ «2
п а
йп •
(4)
Для вычисления интеграла разобьем его на четыре части и сведем к интегралу по вещественной переменной:
а
I = п21 Щ
ж'-

т ¦ и п- «1
п
21Н (1)


п -п"1
а
Н01) ((п- Вт ¦ «2)
н 01) ((п- в, тЛ) +
21 н 0(1) 0
ад
2 ] Н 0(1)
ж

а2
Н 01) ((п- Впт"2)

Я& quot-
Л
-Ш ¦Т-а2"1
¦ Н,
(1)
((^кт ¦ «2).
После вычисления и замены переменной получим следующий интеграл:
л 2 ад (I 2 Л
4п '- ~2
4П (*
I =--^ 0 (п»)¦ К0
Г + 02 «2
V У

п
где г =. Iп--• Используя формулу № 6. 596.7 из [5], получим:
V а2
I =
8/ п
Г
п» V а
п (+ т2) — (& quot-2 + т2)-?
Л
Подставляя (6) в (3), получим функцию Грина для двух частиц.
О (X, X'-, Е) =
— А
(
=0 т=0
+ т2)-+ т2)-?
Л
п / 2 2
2 2 л, 2 … … , — - 1 «.п + т |-
4п2а 2"а 21 — 11а
V У
Рассмотрим частичные суммы
_ _ N м _ а
О (X, X'-, Е) = & quot-
п=0 т=0
(
п (+ т2)-Е ¦ К Я^п (п2 + т2)-Е
Л
п / 2 2
2 2 Л, 2 … …) — -1 -л/ - .п + т) —
4п2а 2^ап — 1 а
V У
Используя [5], приведем (7) к двойному интегралу:
Е
о ((• х'-,?)=ма Я
адад К2 V dп-ly[_E^[к2RId-2+p2 + / 2
(5)
(6)
(7)
0 0
п2 «2а & quot-2 + р2 + г2
¦ ^ (Р, (г,)гаР, (8)
где
N
», ч V& quot-1 2 ппг1 пт, Ьы (г, г1) = & gt- -ооб-^оэ-1ео8 пг =
п=0 $п0 +1 а а
бш (N + 1) а1 + 81п (N + 1) а2 + б1п (N + 1) а3 + б1п (N + 1) а4
эта
эта.
81па3
эта
п
п
2
а
2
п
2
а
1 г
а
1,2,3,4
-((± Z'-l) ± t v d

Теперь рассмотрим предел частичных сумм при N, M ^ да:
1 да
lim S (N, t, yx) = - V S (a1 + nn) + S (a2 + nn) + ?(a3 + nn) + S (a4 + nn)].
N^да 2 ¦=_J
Подставляя полученные пределы в выражение (8), для функции Грина находим:
G (Х, 2, Е) =
E
2dn
да да 11
ИИ
п=-да т=-да p=0 q=0
K2 ^V-Edn-Qpq)
Q.
p q
где
Qp, q = П (((1 + (-1)Рг 1)2 + (Z2 + (-1) qz '-2)2 + R2)½ •
Асимптотика функции Грина
Теперь рассмотрим асимптотику полученной функции Грина при Я ^ 0, 2 2 — ^ 0. Для получения главного члена положим в (9) п = 0, т = 0. Тогда имеем:
Е
G (X1,2'- XU& gt- Е) =
2п d
к2 [4-ЕJ ((1 + ('-)2 + ((2 + z2)2+R2 ] к2 [4-Е^((+ (1)2 + ((2 — (2)2 + R

((1 + (1)2 + ((2 + (2)2 + R2 ((1 + ('-)2 + ((2 — (2)2 + R2
к2 [4-ЕV ((1 — (1)2 + ((2 + (2)2+R2 ] к2 [4-EJ ((1 — (1)2 + ((2 — (2)2+r2

((1 — ('-)2 + ((2 + (2)2 + R
2
+ ¦
((1 — ('-)2 + ((2 — (2)2 + R
2
Используя асимптотику функции Макдональда, получим главный член асимптотического разложения функции Грина
в (Хи, X 1,2, Е) ?
П
(((1 + ('-1)2 + ((2 + (2)2 + R2) (((1 — ('-1)2 + ((2 + (2)2 + R2)'- 1 1
((^ + Z'-!)2 + (z2 — 4)2 + R2) ((^ - Z'-02 + (z2 — 4)2 + R2) Работа поддержана грантом РФФИ № 05−03−32 576
Литература
1. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002. 352 с.
2. Popov I. Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer. // Physics of Particles and Nuclei. Letters. 2006. V.3. № 2.
3. Bruno P. // Phys. Rev. B 52 (1). 1995. Р. 411−439.
4. Uzdin V.M., Yartseva N.S. // J. Magn. Magn. Mater. 1996. 156. Р. 193−194.
5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Москва, 1963. 1108 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой