Формирование понятия многогранника в процессе обучения геометрическому материалу студентов технических колледжей

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Народное образование. Педагогика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УДК 377. 1:514
Ю. В. Булычева Астраханский государственный технический университет
ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ МНОГОГРАННИКА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМУ МАТЕРИАЛУ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ КОЛЛЕДЖЕЙ
В отечественной методике обучения формирование понятия выступает как результат аналитико-синтетической деятельности нервной системы учащегося. Путь формирования понятия в основном выглядит так: предметы и связанные с ними ощущения — восприятия — представления -понятие — определение.
Обеспечивая психологические предпосылки усвоения определения понятия, необходимо учитывать, насколько наглядны для учащихся данного возраста признаки, раскрывающие содержание вводимого понятия. Чем абстрактнее понятие, чем сложнее логическая структура его определения, тем острее потребность в первоначальном введении понятия на интуитивном уровне, на конкретных примерах с использованием наглядных образов, в вычленении признаков, которые войдут в определение.
Психологический анализ геометрических представлений приводит к выводу, что они представляют собой формы отражения, которые не могут быть отнесены ни к собственно понятиям, ни к представлениям. Они обладают всеми свойствами понятия: являются абстракциями, отражающими в идеализированной, неизменной форме существенные черты, общие одному и тому же классу предметов. Однако в то же самое время геометрические представления принадлежат и к области конкретных образов, т. к. являются пространственными изображениями, характеризующимися формой и размерами [1].
В школьном курсе стереометрии часто даются такие формулировки определений, которые не позволяют учащемуся распознавать соответствующие объекты. В. А. Далингер [2] считает, что определения должны подчиняться принципу: если в определении опустить определяемое понятие, то по оставшемуся тексту учащиеся должны узнать в общем-то известную им фигуру. Он предлагает определять цилиндрическую поверхность как множество окружностей, обладающих известным свойством. Таким образом, частью пространственной фигуры может быть не только геометрический объект того же измерения, но и двумерная или одномерная фигура. Именно поэтому существует возможность определения простейших пространственных фигур единым методом — как совокупность плоских или пространственных фигур, обладающих определенным свойством.
В геометрии определение, которое характеризует предмет тем способом, каким он может быть построен, называется конструктивным [3, с. 24]. Поиск конструктивного определения фигуры способствует выявлению ее
многосторонних связей с другими плоскими и пространственными фигурами, формированию у учащихся ее детального образа, что в дальнейшем значительно упрощает формулировку ее описательного определения и узнавание этой фигуры в новой или нестандартной ситуации. О необходимости установления многосторонних связей писал М. В. Потоцкий: «…явление может быть осознанно, если оно рассматривается в причинноследственной связи с окружающими явлениями. Чем этих связей устанавливается больше, чем они многостороннее, тем понимание оказывается глубже и полнее» [4, с. 14].
Одним из основных геометрических понятий в стереометрии является понятие «многогранник». Следуя идее взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур, конструктивные определения многогранника и многоугольника мы связываем.
Студенты, имея модели многогранников, эмпирически могут убедиться, что фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или кускам граней, сама оказывается многогранником. Аналогично, фигура, составленная из многоугольников, прилегающих друг к другу по сторонам или их частям, сама является многоугольником. Так можно из простых многогранников и многоугольников составлять сколь угодно сложные. Любой многогранник (многоугольник) строится последовательным прикладыванием тетраэдров (треугольников) — самых простых многогранников (многоугольников) по граням (сторонам).
Для конструктивного определения многоугольника и многогранника можно использовать следующие формулировки, данные А. Д. Александровым [3, с. 25] (табл.).
Определения многоугольника и многогранника
Многоугольник — это фигура, составленная из треугольников так, что:
1) любые два из них либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую вершину, либо -только одну общую сторону-
2) от каждого треугольника к каждому можно перейти по треугольникам, смежным по сторонам.
Многогранник — это фигура, составленная из тетраэдров так, что:
1) каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую вершину, или одно общее ребро, или одну общую грань-
2) от каждого тетраэдра к каждому можно пройти по тетраэдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням.
В связи с введением этих определений для формирования наглядного представления возникает задача отыскать способы разбиения многогранников (многоугольников) на тетраэдры (треугольники). Эту задачу мы называем, так же как и В. А. Гусев [5], задачей триангуляции. Возможные способы разбиения любого многогранника на тетраэдры студенты колледжа отыскивают в процессе выполнения лабораторной работы «Триангуляция многогранников».
В ходе работы студенты делят на части наиболее «привычную» им фигуру — куб. Но при формулировании способов разбиения этой фигуры на тетраэдры учащиеся приходят к выводу, что данные способы являются универсальными и подходят для любых выпуклых многогранников.
Например, если многогранник выпуклый, то его можно разбить на выпуклые пирамиды, соединяя любую его внутреннюю точку со всеми вершинами (рис. 1).
Рис. 1
Количество этих пирамид будет зависеть от того, какую точку мы выберем в качестве исходной — одну из вершин многогранника, точку ребра, точку грани или точку внутренней области многогранника (рис. 1, 2). При этом пирамида с произвольным основанием оказывается фундаментальной фигурой для процесса разбиения любого многогранника. Получив ее, можно говорить и о разбиении на тетраэдры этого многогранника. Остается только разбить на треугольники основание этой пирамиды.
Рис. 2
Студентам также предлагается проверить, работает ли это определение для невыпуклых многогранников. Существуют два варианта решения данной проблемы: 1) триангулировать невыпуклые многоугольники и результаты обобщить на невыпуклые многогранники- 2) обратный путь преимущественно интуитивный: триангулировать пространственную фигуру и определить частный случай для плоской фигуры. В невыпуклом многограннике необходимо сначала провести плоскости вдоль всех его граней- они разобьют многогранник на части, являющиеся выпуклыми многогранниками, т. к. каждая из них оказывается пересечением конечного чис-
ла полупространств, ограниченных проведенными плоскостями (рис. 3). Разбивая теперь грани этих многогранников на треугольники и применяя к каждому из них предыдущее построение, получим разбиение всего исходного многогранника на тетраэдры с требуемыми свойствами.
Таким образом, сформулированные способы являются универсальными для любых многогранников. Данное определение многогранника лучше запоминается, т. к. оно сочетается с наглядным представлением студентов о данной фигуре, сформированным в процессе ее переконструирования. У них появляется понимание того, что многоугольники и многогранники представляют собой большие классы объектов, а не ограничиваются, скажем, призмами и пирамидами.
Формулировка определения «внутренне» убедительна для студентов, т. к. выявляется факт зависимости геометрического изображения от понятия, от правила построения, поскольку фигура является не чем иным, как множеством фигур (плоских или пространственных) с одинаковыми свойствами. Это определение и лабораторная работа демонстрируют учащимся логику построения самой геометрии: от сложной структуры к простой — треугольнику и тетраэдру.
Важным является четкое понимание студентами факта принадлежности фигуры к классу многоугольников или многогранников. Для этого необходимо стимулировать их к поиску примеров фигур, состоящих из треугольников (тетраэдров) и не являющихся многоугольниками (многогранниками). Алгоритм выполнения данного задания учащимися предполагает поиск фигур, в процессе построения которых нарушается хотя бы одно из условий определения.
Описанное конструктивное определение многогранника можно давать на любом этапе изучения геометрического материала в колледже. Преподаватель, ориентируясь на уровень группы, должен сам определить порядок следования определения и эксперимента по разбиению многогранников на тетраэдры в процессе формирования понятия многогранника.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Ананьев Б. Г. Особенности восприятия пространства у детей / Б. Г. Ананьев, Е. Ф. Рыбалко. — М.: Просвещение, 1964. — 120 с.
2. Далингер В. А. Методика обучения учащихся стереометрии посредством решения задач. — Омск, 2001. — 136 с.
3. Александров А. Д. Что такое многогранник? // Математика в школе. — 1981. -№ 2. — С. 24−27.
4. Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. — М.: Просвещение, 1975. — 146 с.
5. Гусев В. А. Геометрия 6: Экспериментальный учебник. Ч. 2. — М.: Авангард, 1997. — 148 с.
Получено 22. 05. 06
MASTERING OF THE DEFINITION OF POLYHEDRON IN THE PROCESS OF STUDYING GEOMETRY SCIENCE IN TECHNICAL COLLEGES
Yu. V. Bulycheva
The main thing in studying the definition of the concept is visualization of the attributes revealing the content of the given concept. One of the ways of introduction of the concept of a polyhedron during studying a geometrical material in technical colleges is a joint consideration of a polygon and a polyhedron. These figures are characterized by a general way of construction underlying their constructive definitions. The definition of a polyhedron (polygon) as a set of tetrahedrons (triangles) with identical properties is more evident for students as it reveals the fact of strict dependence of the geometrical image of a figure on a rule of its construction. Students can be practically convinced not only of an opportunity of splitting of a polyhedron on tetrahedrons, but also in existence of alternative variants of splitting.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой