Формула регуляризованного следа для возмущений из класса Шатена-фон Неймана дискретных операторов

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ISSN 2074−1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 109−115.
УДК 517. 94
ФОРМУЛА РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ИЗ КЛАССА ШАТЕНА-ФОН НЕЙМАНА ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
X.X. МУРТАЗИН, З.Ю. ФАЗУЛЛИН
Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского
Аннотация. В работе исследуется формула регуляризованного следа возмущений из класса Шатена-фон Неймана (vp, p g N) дискретных самосопряженных операторов. Доказано равенство нулю регуляризованного следа с вычетом (p — 1) поправок теории возмущений, в случае отсутствия расширяющихся лакун в спектре невозмущенного оператора.
Ключевые слова: теория возмущений, регуляризованный след, дискретный оператор, спектр, резольвента.
Mathematics Subject Classification: 47B10, 47B15, 47A55
1. Введение
Пусть L0 полуограниченный снизу самосопряженный дискретный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве H, V = V* - ограниченный оператор в H. Через Ak и pk, k = 1, 2,… обозначим собственные числа операторов L0 и L = L0 + V, пронумерованные в порядке роста с учетом их кратности, через fk — ортонормированный базис в H из собственных функций оператора L0, соответствующих собственным числам Ak — N (A) = 1 — функцию распределения спектра оператора L0- ор, p G N — класс компакт-
Ak& lt-A
ных операторов Шатена-фон Неймана.
Из результатов работы М. Г. Крейна [1], в частности для дискретных операторов, вытекает, если V = V* G о 1, т. е. оператор V — ядерный, то верны соотношения
те те
Y fa — Ak) = spV = y (Vfk, fk), (i)
k=1 k=1
то есть
те
Y 0& quot-k — Ak — (Vfk, fk)) = 0. (2)
k= 1
Далее были многочисленные попытки доказать формулу (2) для неядерных возмущений V. Отметим наиболее существенные работы в этом направлении.
Kh. Kh. Murtazin, Z. Yu. Fazullin, Formula of the regularized trace for perturbation in the Schatten-von Neumann of discrete operators. © МуртАзин Х.Х., ФАзуллин З.Ю. 2015.
Работа выполнена при поддержке гранта № 1 201 456 408 Минобрнауки Р Ф. Поступила 26 ноября 2015 г.
В работе [2] для произвольных ограниченных возмущений V (не обязательно самосопряженных), если резольвента R0(z) = (L0 — z)-1 ядерный оператор, то доказано, что
Г 1 го
существует подпоследовательность натуральных чисел {nm}m=1 такая, что
nm
lim V (^ - Afc — (Vfk, fk)) = 0. (3)
k=1
В работе [3] для произвольных ограниченных самосопряженных возмущений V, формула (2) доказана при более слабом ограничении, а именно, когда N (A) = o (A), A ^ то.
Далее для произвольных компактных возмущений V справедливость формулы (3) в работе [2] была установлена при выполнении следующих двух условий:
1) существует 8 & gt- 0 такой, что оператор VL0 продолжается до ограниченного-
2) L0 ядерный оператор.
В работе [3] для произвольных компактных V = V* возмущений формула (3) доказана при условии, что N (A) = O (A), A ^ то.
Как видим из вышеприведенных утверждений для произвольных ограниченных и компактных возмущений, для доказательства справедливости формулы (3) приходится накладывать условие на функцию распределения спектра N (A) невозмущенного оператора L0, в то время как для возмущений V Е а1 нет необходимости накладывать условие на рост функции N (A) (см. формулу (2)).
Следующее продвижение в этом направлении было сделано в работе [3], где получен аналог формулы (1) для возмущений Гильберта-Шмидта (V Е a2), и доказано, что формула (3)(равенство нулю регуляризованного следа с вычетом первой поправки теории возмущений) для возмущений V = V* Е a2 справедлива без ограничений на функцию N (A). Следовательно, естественно возникает вопрос: сколько поправок теории возмущений нужно вычесть для равенства нулю регуляризованного следа, в случае возмущений из класса ap, Р & gt- 3, и при этом не накладывать ограничения на рост функции N (A). Частичный ответ на этот вопрос был дан в работе [2], где авторы доказали равенство нулю регуляризованного следа с вычетом (p — 1) поправок теории возмущений (см. формулу (4) в данной работе) для возмущений из класса ap, p & gt- 2 при условии существования системы расширяющихся лакун в спектре невозмущенного оператора L0. Последнее означает, что существует подпоследовательность {пт}ГО=1 такая, что Anm+1 — Anm ^ то при m ^ то, и является довольно жестким условием в теории возмущений. В данной работе нам удалось снять это условие и ответить на поставленный выше вопрос.
Для формулировки основного результата работы введем обозначения
R0(z) = (L0 — z)-1, R (z) = (L — z)-1,
r = АПт + 1+ЛПт Г = Г: II = r -1
'- m 2 jJ-m {^ • |^ | '- m} •
Справедлива:
Теорема. Пусть существует 8 & gt- 0 и подпоследовательность {nm}^=1 С N такая, что Anm+1 — Anm & gt- 8. Тогда для V = V* Е ap, 3 ^ p, p Е N
nm / p-1
lim V U — Ak — V «И =0, (4)
k=1 1=1 /
где a (m) = (2ni)-1(-1)'-Sp j& gt- z (R0(z)V)'-R0(z)dz — l-я поправка теории возмущений.
Предварительно докажем вспомогательные утверждения, касающиеся расстановки скобок суммирования.
Лемма 1. Пусть существует 8 & gt- 0 и подпоследовательность {nm}^=1 С N такая, что Anm+1 — Anm & gt- 8. Тогда для любого компактного оператора V в H
lim max ||VRo (z)|| = 0. (1. 1)
т^те |z|=rm
Доказательство. Пусть f G H, поскольку для любого N G N и z G Гт
Ro (z) = Е ff, k=i k
N 2 2
№(*)/12 = Е ^ + Е Й2.
к=1 1 1 к=^1 1 к 1 те
При данном /, так как |Ак — & gt- |, к С N и Е |(/, /к)| = ||/1| & lt- го, за счет выбора N
к=1
второе слагаемое можно сделать сколь угодно малым, т. е.
? & lt- /42 |(/,/к)12 & lt- 2 (1. 2)
k=N+1 |Ак k=N +1
Зафиксируем N, тогда при z G Гт, m & gt->- N имеем
& quot- l (f, fkCn ?
2-
^?AffF & lt-)|2 & lt- 2'- (1. 3)
k=1lAk — Z| |AN — Z| k=1
поскольку |AN — zl -У то при m — то.
Следовательно, из (1. 2) и (1. 3) заключаем, что для произвольного f G H
lim max ||Ro (z)f || = 0. (1. 4)
т^те |z|=rm
Далее, так как V — компактный оператор, его можно представить в виде [4, гл: IX, лемма 9. 11]
V = Kin + K2ra, (1. 5)
где K1n — конечномерный оператор, а оператор K2n такой, что ||K2n|| - 0 при n — то. Поскольку, для любого конечномерного оператора справедливо представление
n
Kin = EO^j Vi, j=i
имеем
KinRo (z) = E (^, Ro (z)^j, z G rm. j=1
Следовательно,
|К1"Дс (г)| ^ Е |№ 1| 1|, г е Гт, ^=1
отсюда, согласно (1. 4) и представления (1. 5), заключаем справедливость соотношения (1. 1).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть V — произвольный компактный оператор в Н и предположим, что существует подпоследовательность {пто}^^ С N такая, что АПт+1 — АПт & gt- 8, 8 & gt- 0. Тогда внутри контуров Гт содержится одинаковое количество собственных чисел операторов Ь0 и Ь = Ь0 + V.
Доказательство. Поскольку Д (Ь0) С) = Н, семейство операторов Ьх = Ь0 + XV, X е [0,1] является голоморфным семейством типа (А)[6, гл: VII]. Следовательно, согласно
аналитической теории возмущений [6, гл: VII], собственные значения Ап (х) операторов Ьж, по крайней мере, являются непрерывными функциями параметра х. Далее, пусть т & gt->- 1 и г Е Гт тогда в силу леммы 1
||жуадц ^ |^ад|| & lt- 1,
поэтому все г Е Гт при т & gt->- 1 принадлежат резольвентному множеству операторов Ьх, так как
оо
Я* (г) = (Ь — г/)-1 = ЕМ)'-ад [хУДс (г)]'-, г Е Гт
к=С
сходится. Следовательно, согласно теорем 3. 16 и 3. 18 гл: IV из [6], собственные значения Ап (х) (непрерывные функции параметра х) семейства операторов Ьх не пересекают контура Гт, при х Е [0,1]. Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы. Согласно лемме 1, при т & gt->- 1, г Е Гт ||УДс (г)| & lt- 1. Следовательно, для резольвенты возмущенного оператора Ь справедливо представление
те
ВД = Е (-1)г (Дс (г)У)гДс (г).
1=о
Так, что для р & gt- 3 имеем
р-1
Я (г) — ад — ^(-1)г (Яс (гДс (г) = Ср (г) г Е Гт, (1. 6)
1=1
где
те
) = ^(-1)г (адюг Дс (г) = (-1)р (Дс (г)У)рД (г) =
1=Р
= (-1)р (Дс (г)^)р-1Д (г)УДс (г). (1. 7)
Отсюда следует, что Ср (г) — ядерный оператор, поскольку V Е ар.
Справедлива
Лемма 3. При т & gt->- 1
$ 5рСр (г= 0.
Гт
Доказательство. Согласно (1. 7) достаточно показать, что при I & gt- р
i
Для этого введем операторы
вр (Яс (г Дс (г)Ог = 0. (1. 8)
Гт
Ьх = Ьс + XV,
Дж (г) = (Ьж — г)-1, 0 ^ х ^ 1.
Хорошо известно [6, гл. 1,§ 4, п. 5 и § 5, п. 2], что существует Дг (г) в равномерной топологии при г Е Гт и
а
-ад = в^ад^Я* (г), (1. 9)
ах5
причем при х = 0 Яж (г) = Яс (г), а при х =1 Яж (г) = Я (г). Далее, легко заметить, что при т & gt->- 1
вр Дл (г) = 0, (1. 10)
г,
следовательно, дифференцируя (1. 10), согласно (1. 9), находим, что для всех I & gt- р
)У]гЯ* (г)Жг = 0. (1. 11)
г
г т
Полагая в (1. 11) х = 0, получим (1. 8). Лемма 3 доказана.
Далее, поскольку V е ар, р & gt- 3, оператор СР — ядерный, применяя к обеим частям
равенства (1. 6) оператор $р I — ^ $ (¦ I, получим
V & quot- гт /
Пт / Р-1, Л /
Ек — Ак — Е «(М = вРт), к=1 1=1 /
где врт) = - (2пг) -1 §
гт
Следовательно, для доказательства теоремы, достаточно показать, что
Иш вРт) = 0. (1. 12)
С этой целью введем проекторы
= - (2^) -1 / Я (г)^г, ^ = - (2пг) -1 / Я0(г)^, гг
гт гт
и операторы
Ят1(г) = Я (г)^т, Ят2(г) = Я^)^,
(г) = Я0(г, ДЩ2(г) = Я0(г^т1.
Для наглядности изложения докажем (1. 12) при р =3 Лемма 4. Если V е а3, то
^р {(С^Ж)2Ят*(^Ят. Дг)} ^ = г
гт
= ^ 5р {(Я^О2^^Я^^Я^О*)} ^ = 0, ^ = 1, 2. (1. 13)
гт
Доказательство. Справедливость соотношений (1. 13) при 5 = 2 следует из того, что оператор-функции ЯЩ2(г) и Ят2(г) внутри контура Гт не имеют особенностей.
Пусть /(г) = г1 $р {(ДЩ1(г)V)2Яm1(z)VЯml (z)}, I = 0,1. Поскольку все особенности функции /(г) расположены внутри контура Гт и
^ ге8/(г) = -ге8г=те/(г).
Поэтому, справедливость соотношений (1. 13) следует из разложения при г е Гт
/(г) = г1 {+ + … }, I = 0,1.
Лемма 4 доказана.
Заменяя интегрирование по контуру Гт на интегрирование по прямой = {гт +? е Я}. Из (1. 7), лемм 3 и 4 находим, что
, Пт ОО
в3т) = (2пг)-1 ЕЕ / ?(Ак — Гт — й)& quot-2[(^т 1(Гт + Й) Ящ2
к=1 -те
(Гт + Й^/к, /к) + ^ЯЩ^Гщ + Й^Ят^Гт + ^/к, //к) +
+ + И) ^т2^т + Й) V/*, /)]^+
те те
+ (2пг)-1 Е I ?(А* - Гт — й)-2[^Ят^Ят2(гт + г^//) +
А: =ГОт+1 -те
+ (^2^ + г^Ят! (гт + г^Д, /к) +
+ (^1^ + г^Ят1(гт + ??)V/, /к)]^. Докажем, что каждое из шести слагаемых стремится к нулю при т ^ то. Ограничимся доказательством утверждения для первого слагаемого вго^, для остальных слагаемых рассуждения и выкладки доказательства совершенно анологичные.
Итак, используя полярное представление ограниченного оператора, поскольку [6, с. 421]
и IV| и* = IV*| = IV|
и неравенство Коши-Буняковского, имеем оценку
I (VЯт (г)VДт2(г)V/, /)|2 ^ (^2^) IV| Ят2(г^Д, Д) ¦ (^(г) IV| Дт^Д, Д).
На основе этой оценки и неравенства Гельдера находим, что
яМ в31
где
, ч Пт те
«(т) — 1 ^ Г 1 + 1 /V. _ «^, +2-
1, _ 1
& lt- ь3ту ¦ 4тТ, (1. 14)
т3Г = ± Е /И ((А* - Гт)2 + «2)-1(УД-, 2(г) IVI Я,"2(Ф7*, /*)& lt-Й,
к=1 -те
, ч Пт те
# = пт те м ((а* - ^)2+?2)-1^ятс1(г) IVI ят^жд,/*э,
*=1 -те
г Гт ++
Теперь покажем, что 7(т) ^ 0 при т ^ то. Для этого, используя интегральное представление, при г = Гт + И
те те
(^(г) IVI Ят2(г^д,/*)= / ж / ат (у т!/,/к)
и оценку
|(V[е (в) — дт] IVI [е (т) —д, д) ^ ^ 1 {(V [е (в) — дт] IVI [е (в) — дт] V/*, д) + (V [е (т) — дт] IVI [е (т) — дт] V/*, /*)},
находим, что (г = Гт + И)
те
К^^) IVI Ят2(г)V/*,/*) ^ § те (у)ж,
+1
следовательно,
те
т3т) ^ П /, 1, 3 вр^[Е (в) — дт] IVI [Е (в) — ад^в. (1. 15)
8 ] (в — Гт)3
Мпт + 1
Далее, пусть {аг}°=1 =) — спектр оператора V, {^г}°=1 — соответствующая последовательность собственных функций, тогда согласно неравенству Гельдера
те
вр^[Е (в) — ^т] IVI [Е (в) — ^т] V) = Е I12 (IVI [Е (в) — [Е (в) — ^
г=1
тете
^ (? Н3)1 ¦ I [Е (в) — [Е (в) — ^т]^г)3)1. (1. 16)
г=1 г=1
Так как
(|V| [E (s) — Qm]^, [E (s) — ^ (|V|3 [E (s) — [E (s) —
и
Sp[E (s) — Qm] |V|3 [E (s) — Qm] ^ Sp (Qm |V|3 Q4), из (1. 15)-(1. 16) получим, что
Y3m) ^ Sp (Qm |V|3 Qm)1, C& gt- o.
Откуда, поскольку — rm ~ 2(A"m+1 — Anm), при m ^ го, заключаем, что Y3m) ^ 0
при m ^ го. Аналогично устанавливается, что ^ CSp (Qm |V|3 Qm). Следовательно, согласно (1. 14) доказано, что взТ^ ^ 0 при m ^ го. Совершенно аналогично исследуются слагаемые), i = 2, 6. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений // Матем. сб. 1953. Т. 33(75). № 3. С. 597−626.
2. Садовничий В. А., Поольский В. Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 129−152.
3. Муртазин Х. Х., Фазуллин З. Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов // Матем. сб. 2005. Т. 196. № 12. С. 123−156.
4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Т.2. М.: Мир, 1966.
5. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, Физматлит, 1965.
6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
Хайрулла Хабибуллович Муртазин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450 074, г. Уфа, Россия Зиганур Юсупович Фазуллин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450 074, г. Уфа, Россия E-mail: fazullinzu@mail. ru

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой