Фредгольмовость краевой задачи для дифференциального уравнения специального вида

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Д. О. ДЕГТЯРЁВ, С. В. РЕПЬЕВСКИЙ
ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В статье рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка с нулевым коэффициентом при первой производной и коэффициентом специального вида при неизвестной функции. Указываются условия, при которых решение данного уравнения при любой непрерывной правой части и при произвольных заданных значениях искомой функции на концах некоторого промежутка вещественной прямой существует и единственно.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение второго порядка, краевая задача, нетривиальное решение, средняя функция.
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
Ьп = п& quot- + д (х)п = f (х) (1)
на отрезке [-а, а], где д (х)^ (х) Е С [-а, а], и краевые условия следующего вида:
п (-а) = п (а) = 0. (2)
Хорошо известно, что в случае отрицательного коэффициента д (х) задача
(1), (2) имеет единственное решение, так что спектр самосопряжённого оператора + д (х)Е с условиями (2) целиком лежит на отрицательной полуоси. Условие д (х) & lt- 0 является существенным, так как при его нарушении могут появиться неотрицательные собственные значения. Предположим, что условие отрицательности нарушается на малом отрезке [-5,5]. Нетрудно указать достаточные условия для д (х) на этом отрезке, при выполнении которых задача (1), (2) имеет единственное решение. Цель статьи состоит в получении точных, в определённом смысле, условий на коэффициент д (х) как в метрике С[-5,5], так и в метрике
Ь1-ё, 5].
Более точно: будет указана постоянная М (а, 5) такая, что при выполнении условия \д (х) ||с[-г, г] & lt- М2(а, 5) однородная задача (1), (2) имеет только тривиальное решение (а значит, неоднородная задача всегда имеет единственное решение). Далее будет показано, что при достаточно малом 5 для любой постоянной М (а, 5) & gt- М (а, 5) существует непрерывная функция д (х) такая, что \д (х) ||с[-г, г] & lt- М^(а, 5), а однородная задача (1), (2) имеет ненулевое решение.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10−01−96 002 р-урал-а), НШ-2215. 2008.1.
Аналогичное (и менее очевидное) условие на коэффициент д (х) будет получено в метрике ЬХ[-8,8].
Лемма 1. Если в уравнении
Ьи = и& quot- + р (х) ¦ и'- + д (х) ¦ и = /(х) (3)
с краевыми условиями
и (-а) = Лх, и (а) = Л2 (4)
коэффициент д (х) & lt- -^ & lt- 0, а д (х), р (х) Е С [-а, а], то решение краевой задачи (3), (4) при любых Л, Л2, / (х) Е С [-а, а] существует, единственно, и для него справедлива оценка
и (х) ^ тах + |А11 + |А2|.
х?[-а, а] '-у
Лемма 2. Рассмотрим краевую задачу (3), (4), причем д (х), р (х) Е С [-а, а]. Если существует функция 1^(х) Е С2[-а, а], 1^(х) & gt- 0 при х Е [-а, а] такая, что Ьw & lt- 0, то решение краевой задачи (3), (4) при любых Лх, Л2, / (х) Е С [-а, а] существует и единственно.
Доказательство первой леммы можно найти в [1], вторая же лемма является следствием первой, для этого достаточно сделать замену и (х) = v (x)w (x) и рассмотреть новое уравнение относительно неизвестной функции v (x).
Далее перейдем к формулировке основных утверждений.
Теорема 1. Если в уравнении (1) выполнены условия:
д (х) ^ 0 при 8 ^ х ^ а, д (х) ^ М2 при х ^ 8, (5)
а & lt- 8 (----- + 1), где р = М8 & lt- П, (6)
р Ыр'-)) 2
то существует единственное решение краевой задачи (1), (2).
Доказательство. Достаточно показать, что однородная задача имеет только нулевое решение. Построим положительную, непрерывную на отрезке [-а, а] функцию w (x), которая имеет вторую производную всюду на отрезке, кроме точек
сх = 8 и с2 = -8. Положим, а = 8 (-------- -¦---- +. Константу Мх выбираем
Мг8 Ьё (Мх8))
П
таким образом, что Мх & gt- М и, а & lt- а, при этом сохраняя неравенство Мх8 & lt-.
Такой выбор Мх возможен ввиду условий (5), (6). Далее рассмотрим функцию
w (x):
-Мх 8 т (Мх8)х + (соз (Мх8) + Мх 8 т (Мх8)8 + к82) — кх2, 8 & lt- х ^ а, w (x) = ^ оояМх), х ^ 8,
Мх 8 т (Мх8)х + (со8(Мх8) + Мх 8 т (Мх8)8 + к82) — кх2, -а ^ х & lt- -8.
к & gt- 0.
Заметим, что т (х) Е С[-а, а]. Кроме того, функция т (х) имеет вторую производную всюду на отрезке [-а, а], за исключением точек с1, с2. Также для функции т (х) выполнены условия
т'-(-5 — 0) & gt-т'-(-5 + 0), (7)
т'-(5 + 0) & lt- т'-(5 — 0), (8)
Ьт (х) & lt- 0
в тех точках, в которых существует т'-'-(х). Выберем к достаточно малым, таким, что выполняется неравенство т (±а) & gt- 0. Это возможно поскольку, а & lt- ц.
Пусть у (х) — решение уравнения (1). Сделаем замену V = -т, где т & gt- 0. Так как V дважды дифференцируема, то для -(х) выполняется равенство
-• (т'-(х — 0) — т'-(х + 0)) = -(х + 0) — г'-(х — 0), (9)
т (х)
а также сохраняется условие — (±а) = 0.
Для окончания доказательства достаточно показать, что — = 0. Действительно, предположим, что -(х) имеет положительный максимум. Он не может достигаться в точках гладкости функции -(х), т.к. в этих точках дифференциальный оператор для функции — (х) принимает вид -X + 2т'- ^ • Е, причем
Ьт & lt- 0, т & gt- 0. Но тогда для промежутков, на которых сохраняется гладкость функции -(х) справедлива Лемма 2, более того решение — (х) не может принимать положительного максимума во внутренних точках этих промежутков в силу знаков коэффициентов дифференциального оператора. Но из (7), (8), (9) следует, что -(-5 — 0) & lt- - '-(-5 + 0), — (5 — 0) & lt- - (5 + 0), следовательно, он не может достигаться и в точках ±5. Значит, положительный максимум не достигается. Теперь предположим, что достигается отрицательный минимум. Из (7), (8), (9) получаем: -(-5 — 0) & gt- - '-(-5 + 0), -(5 — 0) & gt- -(5 + 0) и, рассуждая аналогично,
приходим к выводу, что отрицательный минимум тоже не достигается. Получаем,
что — = 0. ?
Теорема 2. Для любых постоянных М & gt- 0- 5 & gt- 0 таких, что
а & gt- 5 (ттг-/",-гч + 1), М5 & lt- П,
М5 tg (M5)) 2
существует функция д (х), удовлетворяющая условиям
д (х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а, д (х) ^ М2 при |х| ^ 5,
и существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (1), (2).
Доказательство. Пусть 51 = 5 — е, где 0 & lt- е & lt- 5, выбираем настолько малым,
что и1 = 51 (^. + 1) & lt- а. Определим функцию v (x):
И1 ^ М51 Ьё (М5^) К '-
'- СОЪ (М51) (Л ^
--------(х — а), 51 & lt- х ^ а,
51 — а
v (x) = ооз (Мх), х ^ 5Ь
СО8(М51)
-------- (х + а), -а ^ х & lt- -о1.
а — 51
В силу построения функции v (x) выполняются следующие условия:
v (±a) = 0,
^(-51 — 0) & lt- ^(-51 + 0),
5 + 0) & gt- ^(51 — 0).
Также заметим, что v (x) дважды дифференцируема всюду на отрезке [-а, а], за исключением точек с1 = - 51, с2 = 51, причем ^'-(х) & lt- 0 при |х| & lt- 51. Обозначим через, а к, вк достаточно малые окрестности точек ск:
ак = {х: ^ - Ск| & lt- а}, вк = {х: ^ - Ск| & lt- ,
где к = 1, 2. Рассмотрим неотрицательные функции и1, и2 Е Сгх[-а, а] такие, что
V = 1, х Е вг,
иг = 0, х = аг.
Далее построим бесконечно дифференцируемые функции иг (х), где г = 1, 2, 3, исходя из условий
3
2шг (х) + щ (х) + щ (х) = 1, иг (х) ^ 0
г=1
на отрезке [-а, а]. Тогда по построению справедливо тождество
3
v (x) = иг (х^(х) + У]^(х^(х) + У2 (х^(х)
г=1
при х Е [-а, О]. Рассмотрим функцию т (х):
3 а а
т (х) = ^ шг (ф (х)+ [ Кн (х — ^(?) ^ + [ Кн (х — ^)^2(СМ?) ^,
і=1
где К^(х) — усредняющее ядро. Тогда при достаточно малых к и, а можно добиться того, что у (х) = т (х) вне интервала (-8,8). Определим функцию д (х) следующим образом:
™& quot-(х)
, х Е (-8,8),
д (х) = ^ т (х)
0, 5 ^ х ^ а.
Заметим, что данная функция удовлетворяет условиям теоремы в силу того, что и'-'-(х) ^ 0 при |х| ^ 51 — а [2]. Рассмотрим краевую задачу (1), (2) при f (х) =
0. Тогда по построению получаем, что т (х) является нетривиальным решением однородной задачи. ?
п
Замечание. Условие М5 & lt- ^ является существенным, поскольку при его нарушении можно построить ненулевое решение однородной задачи. Сформулируем это утверждение более точно.
п
Предложение. Пусть М5, тогда существует коэффициент д (х) Е
С [-а, а] такой, что
д (х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а, |д (х)| ^ М2 при |х| ^ 5, (10)
при этом однородная краевая задача (1), (2) имеет ненулевое решение.
п ~ ~
Доказательство. Пусть, а = -^М'- Положим р = Мб, где 6 = а — ?, при-
чем 0 & lt-? & lt- 5. Заметим, что
М* & lt-п
6 | ~-------- + 1 | ---------------------------& gt- 6 & lt- а.
уМ61%(М5)) ?^0
Таким образом, при достаточно малом? мы попадаем в условия теоремы 2. Следовательно, существует функция д (х) такая, что выполнены условия:
д (х) ^ 0 при 6 ^ х ^ а, |д (x)| ^ М2 при х ^ 5,
и существует нетривиальное решение однородной краевой задачи (1), (2). Но 6 & lt- 5, значит, построенная функция д (х) будет удовлетворять и условиям (10).
?
Далее получим условие на коэффициент д (х) в метрике Ь[-5, 5]. Оказывается, что справедливы следующие утверждения.
Теорема 3. Если для коэффициента д (х) Е С [-а, а] выполнены условия
д (х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а, ё
[ 2
д (х) йх & lt-
а + 5 -ё
то существует единственное решение краевой задачи (1), (2). Доказательство. Умножим обе части уравнения (1) на и (х) и проинтегрируем:
а, а а
1ф) ¦ и'-(х) ь + 1¦, 2(х)йх = ! !(х) ¦ ф) йх.
-а -а -а
Заметим, что справедлива оценка
а ё
1д (х) ¦, г (х) Лх */д (х) ¦, г (х) Лх
-а -ё
в силу того, что д (х) ^ 0 вне отрезка [-$,$]. В результате получим следующее неравенство:
a й
22
J /(х) ¦ и (х) йх = (/, и) ^ - J и (х) йх + J д (х) ¦ и (х) йх. (11)
-а -а -ё
Учитывая, что и (±а) = 0, получаем:
х а
и (х) = ! и'-(Ь) йЬ, и (х) = - ! и'-(Ь) йЬ.
-а х
Тогда для х Е [-5, 5] справедливы оценки:
х х х
и (х) = | I и (Ь) йЬ ] и'-2(Ь) йЬ ^ 12 йЬ ^ (а + 5^ и'-2(Ь) йЬ,
-а -а -а
а, а а
и (х) = (-J и (Ь) йЬ ] и'-2 (Ь) йк ^ 12 йЬ ^ (а + 5^ и'-2(Ь) йЬ.
х / х х х
Сложив неравенства, получим:
а
2и2(х) ^ (а + 5) (и'-2(Ь) йЬ, х Е [-5,5] ,
2u2(x) a + б
2
^ u'- (t) dt, x Є [-б, б]
a + б Vxe-й, й] В силу принципа максимума
max |u (x)| ^ u (t) dt
max |u (x)| ^ max |u (x)|,
x^-a^] xG — й, й]
а значит,
2
max |u (x)| I ^ u'- (t) dt.
a + 8 ж€[-a, a]
Правую часть этого неравенства оценим из соотношения (11):
2 2 ^ max |u (x)|) ^ I max |u (x)| I q (x) dx + (f, u) —
a + б yxG -a, a] J yxG -a, a]

a
a
2 a
2 a
2 II II 2 ё
2 '-'-и'-С[-а, а ^ и ц2
а + 5' & lt- НС-а, а] д (х) йх + -

ё
22
^ I и2(х) йх
а
Таким образом, получаем, что

а
2
/2(х) йх ^ 2а ||/||с-а, а] ¦ Ыс[-а, а].
ё
2
и
С[-а, а] I а+5 — д (х) йх ] ^ 2а 1/1 С[-а, а]

но по условию теоремы
ё
2
д (х) йх & lt-
а + 5 -ё
Следовательно, однородная задача имеет только нулевое решение. ?
Теорема 4. Существует 5 & gt- 0 и функция д (х) Е С [-а, а], удовлетворяющая
ё 2
условиям д (х) ^ 0 при 5 ^ |х| ^ а и J д (х) йх & gt- при которой однородная
-ё а
краевая задача (1), (2) имеет ненулевое решение.
Доказательство. Построение коэффициента д (х) и функции 1^(х) аналогичны
построениям в теореме 2. Для этого выберем константы М & gt- 0 и 5 & gt- 0 и прове-
рим, что При этом а& gt-" =МЩЩ + 0 '-
ё 2
Пусть д (х) = М2 при |х| ^ 5, тогда / д (х) йх = М225 & gt- -. Кроме того,
-ё а
п
потребуем, чтобы М5 & lt-. Таким образом, получаем неравенства для М и 5:
М25 & gt- 1, М5& lt-П, а & gt- --тг + 5. а 2' М Ьё (М5)
Легко видеть, что существуют достаточно большое М и достаточно малое 5, при которых выполняются эти неравенства, а следовательно, выполняются условия теоремы 2. ?
Список литературы
1. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М.: Физматлит, 2009.
2. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в вопросах математической физики / С. Л. Соболев. — М.: Наука, 1988.
а

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой