К вычислению модуля комплексного числа и огибающей аналитического сигнала

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Общие и комплексные проблемы технических и прикладных наук и отраслей народного хозяйства


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

INFORMATION SOCIETY TECHNOLOGIES
His
HERE A It i: II
К вычислению модуля комплексного числа и огибающей аналитического сигнала
Предложен алгоритм вычисления модуля аналитического сигнала, представляющий собой итерационную процедуру для выполнения операции & quot-поворота"- вектора на плоскости. Широкий диапазон вариаций точности алгоритма позволяет расширить возможности оптимизации компромиссных решений по совокупности таких параметров как скорость вычислений, их точность и сложность реализации с приемлемыми для инженерной практики результатами. Описан алгоритм сокращения итерационной процедуры вычисления огибающей модуля аналитического сигнала. Оптимизация начальных условий при представлении модуля вектором на комплексной плоскости.
Ключевые слова: цифровая обработка, модуль, аналитический сигнал, алгоритм CORDIC, начальные условия, моделирование, вектор, точность, масштаб времени, затраты.
Конев Д. С. ,
Северо-Кавказский филиал Московского технического университета связи и информатики
Вычисление модуля комплексного числа представляется одной из наиболее востребованных задач, которую при цифровой обработке сигналов нужно решать в реальном масштабе времени с высокой точностью. Оригинальный подход к решению этой задачи используется в С01^!С-алгоритме, представляющем собой итерационную процедуру для выполнения операции & quot-поворота"- вектора на плоскости. Такой подход позволяет повысить быстродействие вычислений модуля комплексного числа с высокой точностью и упростить его программно-аппаратную реализацию. Как известно, базовые С01^!С-операции по определению координат х и у определяются соотношениями
х-+1 = К. [х. — О. у. !дф] (1)
У-+1 = К У + О- х,'-дф] ,
где / шаг итерации (/ = 0, 1, … п), а 1дф = ±2-/ представляет собой всего лишь операцию сдвига на / разрядов в двоичной системе счисления, К — коэффициент, характеризующий деформацию вектора на / - шаге О-.
В общем виде С01Ж! С-алгоритм по числу операций представляется избыточным и для ускорения вычисления модуля комплексного числа его можно упростить. Представление комплексного числа в виде вектора на комплексной плоскости позволяет уточнить начальные и завершающие приближения к истинному значению искомого вектора. Так, возможно ограничить неопределенность начального положения вектора на плоскости сектором углов 45о путем присвоения большей проекции вектора координате, к которой будет выполняться стяги-
вание вектора, поскольку угол между вектором и его большей проекцией всегда меньше 45о. Далее, можно ограничить размещение этого сектора в более удобном первом квадрантом плоскости. Это достигается путем присвоения координате Х положительного значения большей проекции, а координате У положительного значения меньшей координаты вектора так, как величина вектора не зависит от знаков абсолютных значений его проекций на координатные оси.
Кроме того, путем присвоения полученному после каждой итерации значению координаты У положительного знака можно исключить операции по принятию решения о направлении поворота в последующей итерации. Присвоение величине У положительного значения автоматически переводит вектор в изначальный первый квадрант, в котором направление последующего его поворота к оси Х для любой итерации одинаковое.
Таким образом, указанными уточнениями начальных условий фактически исключается из итерационного цикла начальный шаг поворота вектора на 45о и сокращается количество логических операций по определению квадранта размещения вектора, а также направления его поворота при каждой итерации.
Поскольку итерационные шаги однотипны, то при реализации вычислительного цикла алгоритма целесообразно использовать конвейерную схему. При этом, учитывая, что К — коэффициент деформации вектора, не влияет на величину его угла поворота, этот коэффициент достаточно учесть только один раз в последней итерации.
To computation of the complex number module and analytical signal envelope
Konev D.S. ,
North-Caucasian branch of the Moscow technical university relationship and informatics
Abstract
The algorithm of calculation of the module of an analytical signal is offered, I represent-shchy itself iterative procedure for performance of operation of & quot-turn"- of a vector on a plane. The wide range of variations of accuracy of algorithm allows to expand optimization possibilities decisions on set of such parameters as speed of calculations, their accuracy and complexity of realization with results comprehensible to engineering practice. The algorithm of reduction of iterative procedure of calculation bending around the module of an analytical signal is described. Optimization of entry conditions at predstavle-nii the module a vector on a complex plane.
Keywords: digital processing, the module, analytical signal, algorithm CORDIC, entry conditions, modeling, a vector, accuracy, time scale, expenses.
High technologies in Earth space research № 3−2012
His
II К К Б, А И i: II
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
С учетом указанных преобразований, итерационные соотношения (1) приводятся к более простому виду:
[& gt-V o-X,(T)]. J
Xf + /
у
(2)
где i = 1,2, ,.п.
По результатам последней итерации N= i модуль вектора С вычисляется по формуле
iq=x.v к,
где К- К, Кг. Кг. — суммарный коэффициент деформации.
В соответствии с соотношениями (2) математическая сложность выполнения типовой итерации сведена к двум простым операциям — сложению и сдвигу, что позволяет минимизировать время одной итерации до десятка не.
Проведенные программно — аппаратное моделирование показало, что потенциальная точность алгоритма не имеет принципиальных ограничений и повышается по мере увеличения числа итераций. Так, например, при использовании 3 итераций ошибка вычислений составляет менее 1%, а при 8 итерациях она подает до десятитысячных долей процента. При этом, сложность реализации алгоритма выражается в наращивании простых идентичных итерационных звеньев. С другой же стороны, столь широкий диапазон вариаций точности, включоя прецезионную, позволяет расширить возможности оптимизации компромиссных решения по совокупности таких параметров как скорость вычислений, их точность и сложность реализации с приемлемыми для инженерной практики результатами.
Таким образом, указанные преобразования алгоритма расширяют возможности решения задачи вычислений модуля комплексного числа в реальном масштабе времени с высокой точностью и более низкими затратами.
К вычислению огибающей аналитического сигнала
В радиоэлектронике для выделения огибающей информационного сигнала широко используют понятие аналитического сигнала, который определяется известным выражением:
u (f) = x (t) + jX (l).
где E (l) = u (t) = л/ y?(f) + X2(t) мгновенное значение огибающей сигнала, а I) = cut + & lt-p (l) = arc! gfx (t)/x (t) мгновенная фаза сигнала *{/).
На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала. Подсчитать большое количество необходимых мгновенных значений огибающей информационного сигнала непосредственным вычислением этой нелинейной функции сложно и мало пригодно для практического использования. Оригинальный подход для упрощения указанных вычислений используется в известных алгоритмах CORDIC, для реализации которых требуется простой набор
операции: сдвиги, сложение [вычитание), определение знака числа и выборки из памяти. Алгоритм ССЖ01С представляет Собой итерационную процедуру для выполнения операции «поворота» вектора на плоскости на произвольный угол. Представляя некоторый угол б виде суммы углов & lt-р, = ±агс%(2), I = 0,1,2. л, операцию поворота раскладывают в серию последовательно выполняемых элементарных поворотов. Таким образом получают итерационные формулы для 1-го шага (/= ?, 2… п):
+1 = К, [х, —
У? ч= К, [V, + ЩХ& amp-]
где К- - коэффициент, характеризующий деформацию вектора на гшаге & lt-т, € (-1, +1) — оператор, определяющий направление поворота.
Этот метод привлекателен прямой зависимостью числа итераций от числа разрядов в представлении угла поворота, т. е. от точности вычислений. Стремление повысить скорость вычисления огибающей аналитического сигнала требует поиска компромиссных решений между количеством итераций и точностью. Анализ особенностей представления итерационных углов поворота показывает, что точность вычислений не зависима от начального положения вектора и определяется последним шагом итераций. При этом начальное угловое положение вектора оказывает влияние на уровень приближения в каждой итерации к его истинному значению. На рисунке 1 приведена рассчитанная зависимость ошибки вычислений при начальных угловых положениях вектора 0- 15- 30 и 45 градусов от числа итераций.
Ошибка б 0. 1,
0. 01-
1Е-3-:

1Е-5-
1?-б-=
1Е-7-
V4
Ч & quot-
л N V4 6 М -максимальная
/ Ч — Чч N ^ V- л Ч i ошибка метода / ^ч
V у & gt- V i v — л * / л '- ^ V / -
/ V / *, f * Чв& quot-, У * ! 1
V * / ¦
30° * / / «/ * % «'-
0 12 3 4 5 6 7
номер итерации ¦
Рис, I. Зависимость ошибки вычислений модуля вектора от его начального углового положения
Приведенные результаты расчетов подтверждают вывод о том, что точность вычислений не зависима от начального положения вектора и определяется последним шагом итерационного цикла. При этом начальное угловое положение вектора оказывает влияние на уровень приближения в каждой
Наукоёмкие технологии в космических исследованиях Земли № 3−2012
INFORMATION SOCIETY TECHNOLOGIES
Hi S
В E S E A R & gt-: Il
Литература
итерации к его истинному значению, В зависимости от начального положения вектора возможно получить ошибку вычислений не более заданной в промежуточных итерациях. Например, при начальном угле вектора 30° минимальная ошибка достигается не в последней 7, а в 5 итерации. Это объясняется использованием одинакового набора шагов аппроксимации для любых начальных углов размещения вектора. В тоже бремя эта особенность показывает на возможность сокращения количества итераций при учете начального углового положения вектора.
Поскольку итерационные шаги однотипны, реализация алгоритма поддается свертыванию в цикл, что позволяет прервоть цикл при достижения заданного критерия. В качестве такого критерия можно использовать нормированное значения меньшей проекции вектора. При заданной точности вычислений нормированная величина этой проекции известна. В результате сравнения с ней полученного значения меньшей проекции вектора можно ограничить цикл данным числом итераций. Например, при начальном угле 30 вычислительный цикл будет ограничен 5-ю итерациями. При этом ошибка вычислений не будет превышать допустимой ошибкой полного цикла из 7-ми итераций.
Таким образом, используя такой подход при вычислении огибающей аналитического сигнала, представляющей собой поеледоеотельность комплексных чисел с различными исходными угловыми положениями на плоскости, можно минимизировать время вычислений без ухудшения точности.
1. Солонина А. И., Улахович Д А., Арбузов С. М., Соловьёва Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов: Учеб. пособие для вузов. Изд. 2-е испр. и перераб. — СПб.: БXВ-Петербург, 2005.
2. Лайонс Ричард. Цифровав обработко сигналов: Второе издание. Пер. англ. — М.: ООО «Бином-Пресс», 2006.
3. Дьяконов В. П. Компьютерная математика. Теория и практика. -М.: Нолидж, 2001.
4. Захаров A.B., Хачумов В. М. Алгоритмы CORDIC. Современное состояние и перспективы, — Пересловль-Залесский: проект РФФИ,. 2004.
5. Бройдо В. Л., Ильина О П. Вычислительные системы, сети и телекоммуникации, 3-е издание: Питер, 2008.
6. Айфичер Эммануил С. Плимутский университет, Джервис Борри Y. Университет Шеффилда Халлама Цифровая обработка сигналов: практический подход, 2-е издание: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2004,
7. Куприянов М. С., Матюшкин Б Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. — 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: Политехника, 2002.
8. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. — СПб.: Питер, 2007.
9. CORDIC-Википедия. hl[p: //ru/wikipedia. 2006.
10. Ивченко В, Г. Применение языка VHDL при проектировании специализированных СБИС. — М.: COLON-P, 2002.
High technologies
in Earth space research — _
№ 3−2012 25

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой