Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе.
III

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физика


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

6. Заключение
В цилиндрической системе координат получена функция Грина уравнений Максвелла для плоского волновода. С помощью этой функции записано четырехмерное интегральное уравнение для поля в волноводе, заполненном холодной изотропной плазмой, возникающей в нулевой момент времени. Получено явное представление резольвентного оператора в случае аксиально-симметричного распределения поля. При возбуждении волновода линейным источником получено первичное и пре-
образованное поле. Установлено, что структура поля зависит от последовательности моментов включения источника и возникновения плазмы. Показано, что после возникновения плазмы поле приобретает осциллирующий характер.
Литература: 1. Nerukh A., Scherbatko I., Marciniak M. Electromagnetic wave frequency shift by temporal variation of medium parameters// Pr. Inst. Lacznosci., 110, 1998. 3. 7−27. 2. Hepyx А.Г., Хижняк Н А. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. Харьков: НПО"Тест-радио". 1991. 279с. 3. Борисов В. В. Неустановившиеся поля в волноводах. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та. 4. Сахненко Н. К., Hepyx А. Б. Нестационарное аксиально-симметричное излучение источника в плоском волноводе //Вісник Харківського національного університету. 2000. № 467. С. 144−147.
Поступила в редколлегию17. 05. 2000
Рецензент: д-р физ. -мат. наук, проф. Буц В. А.
Сахненко Наталия Константиновна, ассистент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распространение электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40−93−72.
Нерух Александр Георгиевич, д-р физ. -мат. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40−93−72.
УДК 537. 877
РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. III
здесь u (r, z) и v (r, z) должны быть известными (заданными по условию задачи) функциями- и граничному условию Ez = 0 при r = а, т. е.
8 2П (а, z, t) 1 8 2 П (а, z, t) _
r = a ----v ' ' 7--------v ' ' 7 = 0. (4)
8 z
2
2
81
2
Решение задачи
Искомую функцию ищем в виде интеграла Фурье
ЧУМАЧЕНКО С.В.
Предлагается решение задачи о распространении электромагнитного импульса по круглому волноводу с произвольной огибающей [1,2]. Используемый математический метод — интегральное преобразование Фурье. Рассматривается случай заданного распределения электромагнитного поля в пространстве.
Постановка задачи
Требуется найти электромагнитное поле, представимое потенциалом Герца:
П (г, z, t) = zoП (г, z, t), (1)
где функция П (г, z, t) удовлетворяет уравнению
АП (г, z, t)-А АЩуЛ = 0
8 Ґ
начальным условиям
(2)
c
t = 0 П (г, z, 0) = u (r, z), (3а)
t = 0
d П (г, z, t)
dt
t=0
v (r, z) ,
(3б)
П (г, z, t)
1 & lt-X
-= J A (h, r, t)
& quot-V2^ -Ж
eihzdh
(5)
Подставим искомое решение в виде (5) в уравнение (2):
Д-
1 82 ^ c2 a t2
(82
1 8
П (г, z, t) = 2 ^
1 8Z
к8r2 r 5r 8z2 c2 812 j
П (г, z, t) =
1 & lt-Ю
-JT/k _x
82 A 1 8A, 2л 1 82 A
1-------h 2 A —
8r
2 r 8r
c2 at2
eihzdh = 0
a2 a 1 8A 1 a2 a, 2/ln
---±---------------h A = 0 (6)
ar2 r 8r c2 at2 ¦ (6)
Поскольку переменные в цилицдрической системе координат разделяются, то решение уравнения (6) должно иметь вид
A (h, r, t) = A (h)R (h, r) T (h, t)
(7)
2
25
РИ, 2000, № 2
где A (h) — пока будем рассматривать как произвольную константу.
Подставив (7) в (6), получим
A (h)
T + T- - R-2 — h 2 RT
dr
2
dr
c 2 dt2
1 d2R 1 dR, 2 11 d2T or
------±-------h =-----------=------(h) (8)
R dr2 rR dr T c2 а2 '• (8)
= 0
c dt
Из (8) следуют два уравнения:
2
, 2
1 d 2 R
^IT2
A. dR
rR dr
1 d 2T
Tit2
b (h) — h2 c 2
= -& lt-a2(h).
Обозначим
2
Y2 =(h) — h 2-Y 2(h) c2
2
Тогда, умножив (9) на r R, будем иметь
(11)
2 2 d2R
у r -----
П (г, z, t) =
J A+ (h) J o[ Y (h)r ] ei
и заменяя h на — h во втором слагаемом равенства (15), получаем
і & lt-Х)
П (г, z, t) =-j= J A+ (h) J0[ y (h)r ] eihz ~ ia (h)tdh +
1 & lt-x>-
+ - JA_ (-h)Jo [y (h)r] e~ihz+ira (h)tdh (16)
V2^ v '
Формула (16) для П (г, z, t) определяет электромагнитное поле в комплексных амплитудах. Реальный физический процесс определяется вещественными функциями. Для того чтобы (16) была вещественной функцией, необходимо обязательное выполнение условия
A_ (-h) = A+ (h),
= 0, (9)
(10) где * означает комплексное сопряжение. Обозначим: A+ (h) = - A (h). Тогда искомая функция примет окончательный вид:
dR 2 2 (yr)-- + Y r = 0
d (yr У d (Yr)
R (h, r) = a (h)J0 (yr) + b (h)H1 (yr), (12)
где b (h) = 0, так как поле не должно иметь особенностей внутри волновода- a (h) выберем равным единице, поскольку в искомом решении общего вида (7) уже есть произвольная константа A (h) (или иначе — a (h) включим в константу A (h)).
Аналогично решение уравнения (10) представим в виде
T (h, t) = a (h) e_iro (h)t +p (h) eia (h)t. (13) Итак, согласно (7), (12), (13) имеем
A (h, r, t) = A (h)a (h) J0 (yr) e ~ia (h)t +
+ J~(h)P (h) J 0 (yr) eia (h)t =
= A+ (h) J0 (yr) e _iro (h)t + A_ (h) J0 (yr) eira (h)t. (14) Искомая функция u (r, z, t) согласно (5) имеет вид
і ГО
1 г '- ^ r ' Jhz-ia (h)tdh +
1 ГО
П (г, z, t) = -= J A (h) J0 (yr) ei (hz _ro (h)t) dh + 22% _& lt-Xi
і ГО
+ J A* (ft)J0(yr) e ~) dh (17)
2Ы2п '-
До сих пор A (h), а следовательно, и A*(h) были произвольными константами. Определим их, воспользовавшись начальными условиями (3а) и (3б). Согласно (17) и (3а) имеем:
П (г, z, 0) = ^= J A (h) J0 (yr) elhzdh +
22%
1 «h
+ і- A* (h) J0(yr) e"ihzdh = u (r, z). (18*) 22%
Или, меняя h на — h и пределы интегрирования во втором слагаемом
1 «h
J A (h) J 0 (yr) eihzdh +
242 м j
1 «h
J A* (-h) J0 (yr) elhzdh = u (r, z)
242m 1
1 ® A (h) + A* (-h). ihzj7..
J -------------- J0(yr) e n dh = u (r, z) (18)
л/2л j
2
42m _z
1 & lt-X)
2= J A_(h)J0[y (h)r]eihz+ira (h)tdh. (15)
42n _ж
Известно, что во всех волноводах, кроме заполненных гиротронными средами, ra (h) = ra (-h). Принимая во внимание, что у (-h) = y (h) согласно (11)
26
Умножая (18) на .- e и интегрируя по z в
yJ2%
пределах от — да до да (обратное преобразование Фурье), получаем
A (h) + A*(-h) т ,_ч 1 _ч_-ihz.
2
J0 (Yr) = ^= Ju (r, z) e dz (19)
«2л -да
Аналогично используем начальное условие (3б) и (17). Найдем сначала производную по времени от функции П (г, z, t), определенной формулой (17):
РИ, 2000, № 2
dn (r'zt) =-^ f (~ia (h))A (h)J0(yr)ei (hz~at)dh + dt 2/2я
і ГО
+ -^ J (i^(h))A* (h)Jc (yr) e-i (hz"rof)dh. (20)
22% _да
Подставим в (20) t = 0 и воспользуемся (36):
1 «h — J (~i& lt-a)A (h)J0 (yr) elhzdh —
2 -Ж
1 ж 4
----1= J (-ira)A* (h)Jo (yr) e lhzdh = v (r, z) (21)
22k _x '-v 7
Преобразуем интеграл (21) так же, как и (18*). Применяя обратное преобразование Фурье, получаем
1 1 «7
— [і®Ш~ [-A (h) -AA (-h)]Jo (yr) =-= Jv (r, z) e lhzdz
2 -да '
(22)
Итак, (19) и (22) можем записать в виде
A (h) + A (-h) 2
A (h) — A* (-h) _
1 r U (r, z) e-ihz
^ JOT^rre dz • (23)
yf-K-ю J0 (Yr)
2
J
i v (r, z) ihz
V-^jL& lt-a (h) Jo (yr)
dh
(24)
Получим систему алгебраических уравнений относительно A (h) и AA (-h). Складывая и вычитая (23), (24), соответственно, получаем
A (h) = !- J ---[u (r, z) н-l-v (r, z)]e~ihzdz
'-І-К-ж J0(Yr) 1
ra (h)
(25)
і ¦*-
A*(-h) =^L J
__. [u (r, z)---1-v (r, z)]e ihzdz
J0(vr) Ф) •
(26)
1
Напомним, что y (-h) = y (h), a (-h) = & amp-(h). Заменим в (26) параметр (-h) на h (так как — да & lt- h & lt- да по определению), а также заменим z на — z и порядок интегрирования по z, тогда получим из (26)
A* (h)
1 ® 1 4-л__ж J0(Yr)
[u (r, z)
---v (r, z)]e ihzdz ®(h) •
(27)
Действительно, (27) есть комплексно-сопряженное от (25). Если известны функции u (r, z) и v (r, z) (а они должны быть заданы по условию задачи), то тогда по ним находим A (h) и A*(h) по формуле (25).
Пока у нас оставалась неизвестной постоянная разделения переменных в уравнении (8) — ю (h). Определим ее. Это можно сделать, воспользовавшись граничным условием (4) в постановке задачи:
Ez =
2 1 д2^
я — - ~, 2
ydz с dt j
П (г, z, t). (28)
Подставим сюда выражение П (г, z, t) из (17) и учтем обозначение (11):
Ez =-= Jy 2 A (h) J 0 (yr) ei (hz ~af) dh +
22к -да
+ -^= Jy2A*(h)J0(yr)e& quot-l (hz_rat)dh. (29) -yJ2%
Потребуем выполнения граничного условия (4)
Ez = 0,
zlr=a '
1 I 1 ®
2 J-k
Jy2A (h)J0(ya)ei (hz~at)dh ¦
1 ^ I
+ -= Jy2A*(h)J0(ya)e& quot-i (hz_rat)dh = 0. (30) y]2% J
Это граничное условие должно выполняться при любых значениях z и t (- да& lt- z & lt- & lt-х>- , — & lt-х>-<- t & lt- & lt-х>-). Его можно обеспечить только при условии
J0(ya) = 0. (31)
Отсюда следует, что
ya = р0п, п = 1,2,3,…, (32)
где р 0п — один из корней функции Бесселя (р 0п — известные числа). Отсюда согласно (11) и (32):
2 2 2 Y a =^0п,
Л
(2 V h2
Vc J
— 2 ю- =^0п, h2
с2~ а-
a~ =^0п ,-- = '--A!L + h г0п — 2
а = rn (h) =
Ц 0пс
, 2 2 ha
«0п
а согласно (33)
Y =
Ц 0п
(33)
(34)
(35)
Из (35) видно, что для выполнения граничного условия при любых z и t необходимо, чтобы у зависела от h и определялась величиной по формуле (35).
Перепишем основные формулы (17) и (25) с учетом результатов (35) и (34):
і ГО
П (г, z, t) = -^ J A (h)Jo (^0nL)e-(hz~a (h)t)dh +
2уі-ж_х a
і ГО
+ -^ J A* (h)J0(p0пГ~) e& quot--(hz~a (h)t)dh (36)
2у-К _да a ,()
1
a
a
РИ, 2000, № 2
27
A (h) =
1
І
1
J0(МПГ-)L a
u (r, z) —
& amp-(h)
v (r, z)
(
где
ra (h) =
Ц 0nc
1
, 2 2 h a
2
^ On
e~ihzdz
(37)
(38)
& amp-(h)
Ц 0nc
a
1
22
ha
(45)
Вернемся к начальным условиям (3) в целях их уточнения. До сих пор было существенно только то,
что функции u (r, z) и v (r, z) должны быть известными. Эти функции по своему смыслу есть потенциал Герца и его производная по t в фиксированный момент времени t = 0, который определяет электромагнитное поле внутри волновода.
Естественно, что и при t = 0 должно выполняться граничное условие. Отсюда следует, что
0 0n
v (r, z) = J0(ЦOn
где v (z) и V (z) уже могут быть произвольными (но должны быть известными по постановке задачи).
Учитывая (39), (40), формулу (37) следует переписать в виде
ч 2^ 0n-
Применяемую процедуру можно строго обосновать, производя оценку интеграла методом стационарной фазы.
Вводя в (45) обозначения
2
В 0nc 2 a
v n =¦
формулу (45) перепишем в виде
^ 0n
(46)
& amp-n (h) = vt
22 h a n
2
^ 0n J
(47)
Подставляя (47) в интеграл (43) и пользуясь готовым результатом Джексона, получаем:
r) v (z), a (39)
r -)V (z), a (40)
П (г, z, t) = -і Re
exp|-(z — va2h0t)2/21? (1+ia2vt /1?'-)]
д/і + (ia2vt /1?)
22
x exp[ih0z — iv (1 + h0 a /2)t] + exp[-(z + va2h01)2 /2I?(1 + ia2vt /I2)]
(48)
A (h) =
1
42? j
J
v (z)
ra (h)
V (z)
e ~ihzdz
Рассмотрим [3] пример, когда «2
v (z) = e 21 cos h0 z, V (z) = 0. Подставив (41) в (37), получим
(37*)
(41)
¦j1 + (ia 2 vt /12)
21 r
x exp[-ih0 z — iv (1 + h0 a / 2) t] J0 (P0n _)
0 ' a
Физический анализ огибающей электромагнитного импульса будет приведен в следующей статье.
В частности, групповая скорость (по точной формуле (38)) равна
2
I
2
I
2
A (h) =-(exp--(h — h))
2
2
I2 2
+exp 2 (h+h0)2
vrp =-
dro (h)
dh
& gt-=A (h).
p0nc h0a*
1
h=h0
2
«0n
ф + h02 a 2/Ц 2n
(42)
= c-
h0 a
P 0n
Для вычисления П (г, z, t) подставим (42) в (36):
і
1 + h0 a / P 0n
1
П (г, z, t) = -1= Re J (exp
242? _Q
I 2 2
~ - (h — h0)2
exp
I2
(h +h0)2
J0(H0n -)ei[hz~°m'-]
dh
(43)
Если волновое число h0, задаваемое в условии (4) таково, что при заданном радиусе волновода
1 V_ «1
8 и0» '- & lt-44)
то (38) можно заменить приближенной формулой
Литература: 1. Чумаченко С. В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. I // Радиоэлектроника и информатика. 1999. № 4. С. 10−12. 2. Чумаченко С. В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. II // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 1. С. 19−23. 3. ДжексонДж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 702с.
Поступила в редколлегию 19. 02. 2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И. В.
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ. -мат. наук, ассистент кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61 166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40−93−26.
i
a
a
1
i
a
1
2
a
28
РИ, 2000, № 2

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой