Расчет силовых конструкций минимального веса и максимальной жесткости при наличии конструктивных ограничений

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц, А Г И Т о м X 197 9
№ 2
УДК G29.7. 015. 46. 24. 07
РАСЧЕТ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА И МАКСИМАЛЬНОЙ ЖЕСТКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ КОНСТРУКТИВНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
Т. Г. Зураев
Рассматривается задача проектирования силовой конструкции ири оптимизации ее по одному критерию при ряде ограничений типа равенств и неравенств на параметры распределения силового материала. Дан алгоритм решения задачи. Рассмотрена задача минимизации объема силового материала при наличии ограничений на прочность и при конструктивных ограничениях.
1. Для простоты изложения обратимся к примеру трехслойной пластины. Задачу определения силовой конструкции минимального веса с ограничениями на прочпостные параметры и с конструктивными ограничениями сформулируем
следующим образом: …
min V, (1)
s (¦*. У)
з"кв (х, у) сдоп (*, у), (2)
«(*. У) & gt- (х, у). (3)
Здесь К-объем силового материала- о (х, у) — искомая функция распределения силового материала- чэкв (х, у) — эквивалентные напряжения в конструкции- Здоп — допускаемые эквивалентные напряжения- В* (х, у) — конструктивные ограничения для о (х, у).
В зависимости от выбора теории прочности задается & lt-з10п (х, у) и вычисляется аэкв (х, у). Допустимые напряжения по всей конструкции могут быть в виде таблицы. Когда материал конструкции неоднороден, ограничения можно задать также в виде таблицы.
Задачу определения конструкции, обладающей максимальной жесткостью (минимальной потенциальной энергией) при ограничениях на объем и на параметры распределения силового материала сформулируем так:
min U, (4)
5 (X, у)
j ^ 8 (х, у) ds = V — const (5)
S (X, у)& gt-Ъ* (х, у), (6)
где U — потенциальная энергия деформации конструкции.
Сочетая решения приведенных выше задач, можно найти минимальный объем силовой конструкции, обеспечивающий условия прочности и жесткости.
Отметим, что задачи (1)-(3) и (4)-(б) относятся к классу неклассических вариационных задач. Для этих задач в силу замкнутости области (снизу) допустимых переменных нельзя приравнивать частные производные от функции Лагранжа по 6 (х, у) на границе В (х, у) — В*. Следовательно, в общем случае равенство частных производных от функции Лагранжа по искомой функции В (х, у) не является необходимым для решений задач (1)-(3) и (4)-(6). А для задачи (4)-(6), кроме того, можно показать, что равенство частных производных от функции Лагранжа по В (х, у) внутри области допустимых переменных (В & gt- В*) не является достаточным условием для определения функции В (х, у) удовлетворяющего всем условиям (4)-(6). Дело в том, что необходимость учета локальных ограничений типа неравенств (6) приводит к нарушению интегрального ограничения типа равенства (5).
Решение задачи (1)-(3) [2, 4, 5] определялось из условия равнопрочности. Однако равнопрочная конструкция не всегда соответствует конструкции минимального веса. Автором [3] разыскиваются конструкции максимальной жесткости без удовлетворения условия (6). В статье [6] условие (6) учитывается после решения классической вариационной задачи (4) -(6). Но после такого учета условие постоянства объема силового материала (5) нарушается.
2. При решении задач (I)-(3) и (*)~(6) используется способ, изложенный в статье [2]. С помощью этого способа получаем равнопрочную конструкцию, за исключением мест, в которых вступают в силу конструктивные ограничения на распределение силового материала. Но, как было отмечено, равнопрочная конструкция не обязательно имеет допустимый минимальный вес. Поэтому в методе [2] вместо допускаемых напряжений задаются допускаемые удельные энергии деформации. Исходя из установленного Васютинским [7] и Прагером [8] положения: для того, чтобы силовая конструкция заданного объема (или заданной энергии деформации) под заданной нагрузкой обладала минимальной энергией деформации ('-или минимумом объема), необходимо и достаточно, чтобы удельная энергия деформации была постоянной величиной. Однако, как известно [1], энергетическая теория недостаточно хорошо характеризует работу конструкции. Следовательно, величину удельной потенциальной энергии нельзя использовать в качестве критерия прочности.
Поэтому для того, чтобы гарантировать минимальный объем (или максимум жесткости) силовой конструкции, нужно исходить из удельной энергии деформации, а для того, чтобы лучшим образом учесть ограничения на прочность, следует опираться на другие критерии прочности. Это обстоятельство усложняет решение задачи. Чтобы преодолеть эту трудность, прибегнем к трехэтапному решению задачи оптимизации.
Согласно [2], задача оптимизации состоит из двух этапов. На первом этапе при заданном нулевом приближении распределения силового материала определяется напряженное состояние. На втором этапе на основе полученного и заданного напряженных состояний уточняется распределение силового материала. Далее счет повторяется до тех пор, пока процесс не сойдется. В данном случае задачи (1) -(3) и (4)-(6) решаются в три этапа: 1) решение прямой задачи,
2) решение задачи оптимизации по методу [2]- 3) уточнение допускаемых значений удельной энергии.
Прежде чем переходить к изложению алгоритма решения этих задач, установим необходимые условия существования решения.
Теорема. Пусть ^ - область, на которой Ъ (х, у) & gt- В* (х, у), S-2 — область, на которой В (х, у) В* (х, у).
Решение задачи (1)-(3) или (4)-(6) удовлетворяет следующим условиям:
и [В (х, у)] = const, х, у? S], (7)
В (х, у) = 8* (х, у), х, у g 5:. (8)
Проведем доказательство относительно задачи (4)-(6). Допустим, функция
А
В (х, у) является решением задачи (4) -(6), но не удовлетворяет условиям (7), (8), Uтп — полная энергия деформации конструкции, соответствующая оптимальному распределению В (х, у). Пусть в окрестностях точек (xlt уг), (х. 2, у2) ё Si имеем соответственно удельные энергии «] И причем иг^& gt-и2. Перенесем бесконечно малый объем силового материалаV из окрестности точки (jc2, у2) в окрестность точки (. *!, yi). Тогда, используя теорему Васютинского [7], что
Д?/= - «ДК-иО (ДУ).
подсчитаем новую энергию Ь:
где
Шя
и'-і = итіп + Штіа,
¦ Д V, — «з Д V., + О (Д V).
Пренебрегая бесконечно малым более высокого порядка О (ДУ) и учитывая, что ДК,& gt-0, ДУ2& lt-0 и |ДК,| = |ДК2| = Дполучим
Д^гшп — Д V (-+ и2) & lt- 0.
(9)
Следовательно, Ь & lt- Ь’тп, что противоречит предположению, что со-
ответствует оптимальному распределению. Следовательно, решение задачи (4)-(6) 5 (х, у) удовлетворяет условию (7). Точно так же решение задачи (4)-(6) 5 (*, у) удовлетворяет условию (8). В силу требования задачи 8 (х, у) & gt-8* (х, у). Но при 5 (•*& gt- (•*¦ У) действует условие (7). Следовательно, для остальных точек
(х, у)? 52 выполняется условие (8). Это необходимое условие используется в алгоритме.
Ниже решение конкретных задач определяется в классе непрерывных и кусочно-гладких функций.
3. Алгоритм решения задач (1)-(3) и (4)-(6) состоит в следующем:
а) Задается нулевое приближение допускаемой удельной энергии деформации «(д^п (лг, у) и нулевое приближение распределения силового материала 8о, о (х& gt- У)• Из решения уравнения равновесия (прямой задачи) определяются значения удельной энергии деформации конструкции и00(х, у) = и [600 (х, у)].
б) Вычисляются значения первого приближения распределения силового материала по формуле
61, о (*& gt- У) =
& quot-о. о
«(0)
V («О* +
8* (х, у), если О10 & lt-
— «0,0 (X, у) ~1)2 + «о.о (•*¦ у) ]
если 8, 0 & gt- В*-
(10)
Определяется новый объем силового материала и проверяется выполнение условия сходимости
1,0 —0. 0
у,
0,0
& lt-«.
(II)
іде є-достаточно малое положительное число.
Если условие (II) не выполняется, то с новой уточненной исходной информацией 8[ о (х, у) повторяется первый этап. В противном случае переходим к третьему этапу решения задачи.
в) Вычисляется напряженное состояние, соответствующее распределению силового материала оп 0 (л, у) [где п-индекс, указывающий на количество итераций в соответствии с формулой (10)]. Определяется в зависимости от выбора критерия прочности максимальное значение компоненты соответствующего напряженного состояния Вычисляется новая величина для допускаемой
конструкции, но формуле
«(1) =и (0) -1Д°П-
ДОП ДОП (П. 0) ¦
(12)
Проверяется выполнение условия сходимости процесса
м (1) — в»»)
ДОП ДОП
«(0)
& lt-
(13)
При невыполнении условия (13) происходит возврат к первому этапу решения задачи, в противном случае решение задачи заканчивается.
Выше был изложен алгоритм решения задачи (1)-(3). При решении задачи (4) -(6) в формуле (12) вместо значений напряженного состояния используются значении объема силового материала, т. е.
«(л*) __ «(от-1) Ил, т-1
«ДОП ДОП Г7
узадан
(14)
В старом виде алгоритм решения задач (1)-(3) и (4)-(6) может быть записан следующим образом.
I. Решение уравнения равновесия.
II.
. «Й» — «4- (¦*. У) _ & gt-
1 — == ~, если о & gt- 5" —
п, т
V& lt-№ + 1& lt-т)(х. У)? _ Ъ* (х, у), если Ъп т (х, у) & lt- 9* (х, у)
V». т ^ л-1. т
л-1. т
& lt-з-
, Лт) _ «(т-1) _______________
доп доп (0, т — 1)
, для задачи (1) — (3) —
и[оп = «1оп 1) '- С'-т 1 «ДДЯ задачи (4)-(6) —
I, Ат) — /,(т-г& gt- I
доп доп !
«(т-1)
О
Сходимость алгоритма иллюстрируется ниже при решении конкретной задачи.
4. В качестве примера рассматривается задача о нахождении оптимального распределения силового материала в трехслойной трапециевидной пластине (рис. 1), удовлетворяющего минимуму веса силового материала при выполнении
В
Рис. 1
условий прочности и конструктивных ограничений. Пластина одним краем закреплена жестко. Нагрузка задается в виде постоянно распределенной q = = 0,5 даН/см2. Функция распределения силового материала ограничена постоянной величиной 5* (х, _у) = 0,01 см. В качестве критерия прочности рассматривается величина удельной энергии формоизменения, а = Иф. Величина допускаемого напряжения идоп = «ф доп = 5 даН/смг. Нулевое приближение н^п полагается равным 3 даН/см5. В качестве исходного приближения распределения силового материала выбирается постоянная величина, равная й00(д, у) = 0,1 см.
Заметим, что при решении задачи (I) -(3) условие (2) выполняется с точностью до е. Это обстоятельство следует иметь в виду при расчете.
Задача решается так, что на первых двух этапах выбирается оптимальное распределение силового материала под заданную удельную энергию и^п. На третьем этапе величина и^п уточняется и с уточненным значением допускаемой удельной энергии ц? Уп повторяются первые два этапа расчета.
Согласно формулам (10) и (II) первые два этапа решения задачи повторяются до тех пор, пока изменение суммарного объема силового материала не становится достаточно малым, после чего происходит переход к третьему этапу решения задачи. Кривая (рис. 2), описывающая изменение суммарного объема
Цел/
1200
¦ 1100 1000 900 800
700 В 00
500
т
300
200
100
0 2*68/0 Мтсл пр^
Рис. 2
силового материала '-1и т при последовательных приближениях соответственно первым двум этапам, монотонно убывает, если исходный объем силового материала У00 больше, чем необходимый минимум 1Лпт, в противном случае она сначала будет колебаться, а затем монотонно убывать. В нашем случае исходный объем 1/'-00 значительно больше, чем необходимый минимум, в силу чего кривая монотонно убывает и сходится к пределу У50 (см. рис. 2, приближения № 0ч-5). Для большей наглядности на рис. 2 масштаб графика изменения объема силового материала начиная с первого приближения увеличен в пять раз. При переходе к третьему этапу происходит резкое изменение кривизны кривой объема силового материала в том случае, если исходное значение допускаемой удельной энергии значительно отличается от необходимого ее уровня (рис. 2, приближения № 5-^10).
Оптимальные распределения силового материала, соответствующие различным уровням И™, получаются аналогичными (рис. 3). Удельная энергия, соот-


200 п. =0+5 т=0

I I
-150
п-640 т = 1 П=11 -13 —
1ПП Ч


Л& quot-

I П Ш
Рис. 4
ветствующая оптимальному распределению постоянна везде, за исключением тех точек, в которых распределение силового материала достигает конструктивные ограничении (рис. 4).
Расчет по нахождению оптимального распределения силового материала в пластине был проведен инженером Е. И. Крючковым.
ЛИТЕРАТУРА
1. Голден б лат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.,. Машиностроение», 1968.
2. Зураев Т. Г. Метод определения параметров равнопрочной пластины переменной толщины при заданных допускаемых напряжениях, нагрузках и конструктивных ограничениях.. Ученые записки ЦАГИ', т. 4, № 1, 1974.
3. Комаров А. А. Основы проектирования силовых конструкций. Куйбышевское книжное изд-во, 1965.
4. Комаров В. А. О рациональных силовых конструкциях крыльев малого удлинения. Сб. Куйбышевского авиационного института. Труды, вып. XXXII- 1968.
5. Старокадомская 3. М., Симонов В. Г. Оптимизация авиационных конструкций на несколько случаев нагружения с применением метода конечного элемента с учетом потери устойчивости сжатых панелей. Труды ЦАГИ, вып. 1777, 1976.
6. Украинцев Г. В., Фролов В. И. Метод оптимизации силовой конструкции крыла по жесткости при варьировании распределением относительной толщины профиля. «Ученые записки ЦАГИ'-, т. III, № 4, 1972.
7. W a s i u t у n s k i Z. On the congruency of the forming according to the minimum potential energy with that according to the equal strength. Bull. Acab. Folon Sei. Cl. IV, vol. 8, N 6, 1960.
8. Prager W., Taylor J. E. Problems of optimal streectural design. J. of Applied Mechanics, vol. 35, ser. F., N 01, 1988.
Рукопись поступила 14/XII1977

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой