Расчет теплового поля в однородном шаре при нестационарном режиме аналитическим методом математического моделирования

Тип работы:
Реферат
Предмет:
Физико-математические науки


Узнать стоимость

Детальная информация о работе

Выдержка из работы

парных сравнений объектов. Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа / Н.И. Киселев// Ученые записки по статистике. — М.: Наука, 1980. — Т. 36. — С. 111−122.
7. Bohnenblast, H.P. Solutions of Discrete Two-person Games / H.P. Bohnenblast, S. Karlin, L.S. Shapley// Con-
tributions to the Theory of Games 1. — Princeton, 1950. — S. 51−72.
8. Gruber, J. Constructing an Objective Function of Economic Policy / J. Gruber, A.S. Tanguiane // FernUniversitat
Hagen. — Preprint, 1994.
9. Domansky, V. Game Theoretic Model for Constructing Linear Objective Functions / V. Domansky // Econometric De-
cision ModelsLecture Notes Economics and Math. Systems. -Springer-Verlag, 1997. — V. 453. — Р. 156−167.
УДК 519.7 Н. В. Цугленок, Ю.Ф. Курмачев
РАСЧЕТ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ В ОДНОРОДНОМ ШАРЕ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В статье рассмотрена математическая модель теплообмена однородного сплошного шара в нестандартном режиме. Полученные результаты сравниваются с аналитическим решением этой же задачи. Предложенная модель при дальнейшем развитии может использоваться при моделировании тепловых полей зерна, обеззараживаемого в ВЧ- и СВЧ-полях.
В работе Н. В. Цугленка [1] выделены основные задачи исследований по интенсивному развитию электротермических ВЧ- и СВЧ-комплексов подготовки семян к посеву. Основной задачей была и остается до сих пор разработка теоретических моделей ВЧ- и СВЧ-обработки семян. В предлагаемой работе строится принципиальная модель распространения тепла в неоднородном шаре и рассматривается частный случай однородного шара. Такую модель можно использовать для получения теплового поля некоторых семян растений при их обеззараживании на установках ВЧ и СВЧ.
Рассмотрим температурное поле в телах простейшей формы при объемном тепловыделении для случаев, когда внутренние источники теплоты равномерно распределены по всему объему тела. Такого вида задачи решаются при расчете тепловыделяющих элементов атомных реакторов, при нагреве тел за счет внутренней энергии химических реакций, при нагреве тел токами высокой частоты и в других случаях.
Из технических задач, требующих расчетной оценки нестационарных режимов теплообмена, можно назвать: определение температурного состояния стенок ракетного двигателя твердого топлива за период его работы для оценки их надежности- определение времени прогрева деталей до заданной температуры при термообработке- определение температурного поля семян при их обработке токами ВЧ, СВЧ и других.
При оценке нестационарного режима теплообмена цель расчета состоит в определении температурного состояния тела и количества полученной или отданной телом теплоты за определенный промежуток времени.
В качестве примера рассмотрим однородный шар при одномерном температурном поле, т.к. распространение тепла в этом случае происходит только по радиусу шара. Задача состоит в определении температурного поля шара в любой момент времени г при заданных начальных условиях. Из курса теплотехники [2] известно аналитическое решение задачи о температурном поле и количестве переданной теплоты в нестационарных условиях теплообмена для сплошного однородного шара радиуса Я0. Пусть Я — текущий радиус шара. Избыточная температура в любой точке шара на расстоянии [1 от центра в произвольный момент
времени г
в = Х-Хй, (1)
где t — температура рассматриваемой точки- /0 — температура окружающей среды. Для начального момента времени:
@нач. = ?нач. ~О 1 (2)
Безразмерная избыточная температура:
в
Безразмерный радиус шара:
в"
R,
Математическая постановка задачи состоит из нестационарного уравнения теплопроводности:
dt
дт
= а
ґ d2t d2t я2^
+ ¦
dLt dz2
(3)
(4)
(5)
кдх ду ^ ,
которое для одновременного случая (температура измеряется только по радиусу шара) имеет вид:
— = а-7, 6
дт дЯ2
где, а — -- коэффициент температуропроводности- Л, с, р — теплопроводность, теплоемкость и ср
плотность шара соответственно. Аналитическое выражение, определяющее температурное поле шара имеет вид:
в =2^
~M"cosjun
& lt-/"R
1=1 //" - Sin //" • COS//,
n q-Af"
(7)
ат
где = - - число Фурье- /и2, ?и3,… — бесчисленное множество решений корней трансцен-
дентного уравнения
где Bi =
а R0
~Л~
/л ctg ц = - Bi,
— число Био- а — коэффициент теплоотдачи к наружной поверхности.
(8)
Тогда температура в любой точке шара, отстоящей от центра на расстоянии Я, в момент времени т
равна:
t = tn
(9)
Сложная форма тела, неоднородность его теплофизических характеристик, сложный характер граничных и временных условий однозначности часто не позволяет оценить температурные поля аналитическим методом. Для решения таких задач применяются численные методы расчета температурных полей.
При численных методах изучаемое тело разделяется на элементы (слои, параллелепипеды, объемные секторы и т. п.), а рассматриваемый отрезок времени — на небольшие периоды. В течение каждого периода времени теплообмен между соседними элементами тела или между поверхностью тела и окружающей средой считается стационарным. Составляя баланс теплоты для каждого элемента тепла, определяется изменение его энтальпии (тепловой функции) за каждый отрезок времени. Последовательный расчет температуры всех элементов позволяет определить температурное поле исследуемого тела при нестационарном режиме.
Построим математическую модель нестационарного теплообмена неоднородного шара. Для этого рассмотрим многослойный неоднородный шар радиуса Я, состоящий из и слоев. Каждый /-Й слой в момент времени т характеризуется внутренним и внешним радиусами Я^х и Я1 соответственно (первый слой имеет внутренний нулевой радиус), температурой, удельной теплоемкостью сг., плотностью рЛ, теплопроводностью Яг., влажностью Щ, плотностью тепловыделения / 4?^ ?^Т, р~2 {р- мощность
источника тепловыделения), т. е. количеством тепла, выделяемым / - м слоем в единицу времени на единицу объема.
Пусть, а — коэффициент теплоотдачи к наружной среде для внешнего п -го слоя, /0 — температура окружающей среды, Т- общее время нагрева шара, т — текущее время, Ат — величина временного шага, Т
N = -------число шагов расчета. Очевидно, что при увеличении числа разбиений на элементы (в данном
случае на слои) точность решения увеличивается.
Рассмотрим задачу Объем і -го шарового слоя
«_ Я
Рассмотрим задачу распространения тепла в данном шаре при постоянной толщине слоя Ак = -.
п
Vi = ^(3 — ii-l (10)
или
4
Vi = -x& lt-? -Rl ^ (11)
(12)
(13)
AO& lt-+°=^4+1^ (14)
?a& lt-"-°=JzTTr4- (15)
Внешняя площадь сферы / -го слоя
Т7/ = 4ж 4& amp-Л ¦ /
внутренняя площадь сферы / -го слоя
= 4л- -1
Количество тепла, получаемое / -м слоем от внешнего С + 1-го слоя
АЯ
Количество тепла, получаемое / -м слоем от внутреннего С — 1-го слоя,
/- /,
Заметим, что для внешнего п -го слоя шара количество тепла, получаемое от внешней среды,
А^+0="-4^Ч-^Л (16)
Количество тепла, выделяемое / -м слоем,
К& gt- = УГ /{р"е"х, р (17)
Тогда изменение температуры /-го слоя за время Ат составит:
А а& lt-+0+ А 0& lt-1:+ АО
АГ =-^----------^^ -А т. (18)
V, — с, ¦ рг
Таким образом, температура / -го слоя в момент времени т + Ат будет равна
*,. +А*, (19)
Анализ предложенной модели показывает, что удовлетворительные результаты получаются при
С/Р
Ar & lt- -г-^, (20)
2 а
где, а = -- - коэффициент температуропроводности- /I = шах Д = min efр = min 4 ¦ cp
В противном случае, число Фурье F0 & gt- 1, ряд (9) расходится и решения не существует.
Рассмотрим конкретный пример решения задачи определения температурного поля однородного шара аналитическим методом и методом предложенной математической модели, используя компьютер, а затем сравним полученные результаты.
Пусть дан однородный шар: радиус R = 0,003м- число слоев шара n = 400-
толщина слоя АЯ = 0,75м- плотность р= 1000 —
удельная теплоемкость с = 1400
теплоотдача (к поверхности) а — 30 теплопроводность Л = 0,3
кг-К Вт
м2 -К Вт
м2 -К'
величина временного шага Ат = 0,0001 с (условие (20) выполняется) — температура окружающей среды постоянна и равна t0 = 40° С-
температура шара, а значит, всех его слоев (шар однороден) в момент времени т = 0 равна =20° С.
Так как температура шара ниже температуры окружающей среды, то, естественно, температура шара будет постепенно повышаться. Аналитическое решение предложенной задачи приведено в табл. 1 (здесь и далее температура представлена в град. С0).
Таблица 1
Температурное поле однородного шара (аналитическое решение)
Время, с Кол-во шагов Безразмерный радиус, Я — Я/Я^
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2 20 000 20,1 514 20,2 937 20,9 842 20,31 083 20,80 853 21,70 295
5 50 000 20,55 379 20,63 513 20,89 056 21,34 716 22,3 004 22,94 377
15 150 000 23,92 621 24,1 669 24,28 644 24,73 022 25,39 925 26,10 145
30 300 000 28,12 437 28,19 138 28,39 105 28,71 934 29,17 061 29,75 276
Согласно предложенной математической модели, получено приближенное решение вышеуказанной задачи. Полученное тепловое поле шара приведено в табл. 2.
Таблица 2
Температурное поле однородного шара (решение, полученное математическим моделированием нестационарного теплообмена)
Время, с Кол-во шагов Безразмерный радиус, Я — Я/Я^
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2 20 000 20,1 521 20,2 922 20,9 971 20,30 894 20,80 453 21,69 670
5 50 000 20,55 390 20,63 434 20,88 868 21,34 409 22,2 574 22,93 838
15 150 000 23,92 636 24,0721 24,28 557 24,72 839 25,39 660 26,9 807
30 300 000 28,12 459 28,19 177 28,39 166 28,72 017 29,17 158 29,75 434
Сравнение температурных полей точного и приближенного решений в одинаковых точках шара сведено в табл. 3.
Таблица 3
Абсолютные разности температур, полученных точным решением и в результате реализации математической модели
Время, с Кол-во шагов Безразмерный радиус, Я = Я/Я^
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2 20 000 0,7 0,15 0,129 0,189 0,400 0,625
5 50 000 0,11 0,79 0,188 0,307 0,430 0,539
15 150 000 0,15 0,52 0,87 0,183 0,265 0,338
30 300 000 0,22 0,39 0,61 0,83 0,97 0,158
Относительно погрешности приближенного решения задачи приведены в табл. 4.
Таблица 4
Относительные погрешности приближенного решения вычисления температур, %
Время, с Кол-во шагов Безразмерный радиус, R = R!
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
2 20 000 0,34 0,74 0,642 0,930 0,1 923 0,2 881
5 50 000 0,54 0,383 0,900 0,1 439 0,1 953 0,2 350
15 150 000 0,62 0,217 0,358 0,740 0,1 043 0,1 295
30 300 000 0,78 0,139 0,215 0,289 0,332 0,531
Максимальная относительная ошибка не превышает 0,03%. При разбиении шара на 800 слоев точность решения увеличилась на 0,002%, т. е. результат практически не улучшился. Таким образом, оценка результатов вычислений аналитического решения и результатов по приведенной математической модели позволяет сделать вывод о достаточной адекватности построенной математической дискретной модели.
Расчет теплового поля по предложенной модели полностью отвечает задаче распределения температуры зерна после обработки токами СВЧ при так называемой «отлежке».
В случае однородного шара при отсутствии внутреннего тепловыделения аналитическое решение, как указано выше, существует. Тем не менее, даже совершенные аналитические методы позволяют получить точное решение задач теплопроводности только в простых случаях.
Построенная модель позволяет рассчитать температурное поле и для неоднородного объекта при наличии внутренних источников тепловыделения. Более того, при достаточной мощности современных компьютеров появляется возможность построения математических моделей получения температурного поля для тел произвольной геометрии, используя метод конечных элементов.
Литература
1. Цугленок, Н. В. Энерготехнологическое прогнозирование / Н. В. Цугленок. — Красноярск, 2004. — 275 с.
2. Болгарский, А. В. Термодинамика и теплопередача / А. В. Болгарский [и др.] - М.: Высш. шк., 1975. — 495 с.

ПоказатьСвернуть
Заполнить форму текущей работой